《北京市朝陽區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)答案Word版.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

北京市朝陽區(qū)2023~2024學(xué)年度高三第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，再由補(bǔ)集以及交集定義可得結(jié)果.【詳解】由題可知，易知，所以.故選：D2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，所以A錯(cuò)誤；對于B：令，則，所以是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，B正確；對于C：在上遞減，在上遞增，所以C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，，所以是偶函?shù)，所以D錯(cuò)誤，故選：B 3.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，再利用二倍角公式得到答案.【詳解】，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由，即.故選：A5.函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將各項(xiàng)對應(yīng)自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷是否成立即可.【詳解】時(shí)，不是對稱軸；時(shí)，不是對稱軸；時(shí)，是對稱軸； 時(shí)，不是對稱軸；故選：C6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意解出不等式比較兩范圍大小即可得出結(jié)果.【詳解】解不等式可得或；顯然是或的真子集，所以可得“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（）A.B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】將條件變形，得到的關(guān)系，進(jìn)而可得的值.【詳解】,,即,.故選：D.8.已知一個(gè)圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為．在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長為（） A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的高與底面圓的半徑為，作出組合體的軸截面，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A錐的高與其底面圓的半徑相等，設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，又因?yàn)閳A錐的體積為，可得，解得，則，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，則高為，與正方體的上底面交點(diǎn)為,在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，取其軸截面，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為，可得，由，可得，即，解得，所以該正方體的棱長為.故選：D.9.已知函數(shù)，設(shè)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為 ，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可函數(shù)的值域?yàn)?，設(shè)，若存在，使得成立，即，只需，即對于，滿足成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.已知點(diǎn)集．設(shè)非空點(diǎn)集，若對中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)（與不重合），使得線段上除了點(diǎn)外沒有中的點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)最小值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)，討論只有一個(gè)點(diǎn)得到矛盾，進(jìn)而有中元素不止一個(gè)，取分析是否滿足要求即可.【詳解】對于整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)，若只有一個(gè)點(diǎn)，取的點(diǎn)使和分別同奇偶，有公因子2（或重合），不合題意，故中元素不止一個(gè)，令，對于的點(diǎn)，當(dāng)或3時(shí)，??；當(dāng)或4時(shí)，?。挥捎?、橫坐標(biāo)之差為，故內(nèi)部無整點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，取，此時(shí)橫坐標(biāo)之差為，縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素； 當(dāng)，時(shí)，取，此時(shí)橫坐標(biāo)之差為，縱坐標(biāo)之差為，二者互素；綜上，中的元素個(gè)數(shù)最小值是2.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)分析出整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)為關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知函數(shù)，則的最小正周期是__________．【答案】【解析】【分析】化簡函數(shù)為，結(jié)合最小正周期的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，所以的最小正周期為.故答案為：.12.已知單位向量，滿足，則向量與向量的夾角的大小為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合單位向量模長為1，代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，均是單位向量，故可得，故可得，即，解得，又因?yàn)橄蛄繆A角的范圍為，故的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.13.設(shè)公差為等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，能說明“若，則數(shù)列是遞減數(shù)列” 為假命題的一組的值依次為__________．【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)找到一個(gè)滿足不是遞減數(shù)列的即可.【詳解】由，其對稱軸為，且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，只需，即，此時(shí)不是遞減數(shù)列，如，，則，顯然.故答案為：，（答案不唯一）14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓心角的弦長表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表．托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的作為單位來度量弦長．將圓心角所對的弦長記為．如圖，在圓中，的圓心角所對的弦長恰好等于圓的半徑，因此的圓心角所對的弦長為60個(gè)單位，即．若為圓心角，，則__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)度量弦長的定義，利用余弦定理求出時(shí)圓心角所對應(yīng)的弦長，結(jié)合的圓心角所對的弦長為60個(gè)單位即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，時(shí)圓心角所對應(yīng)的弦長為， 利用余弦定理可知，即可得又的圓心角所對的弦長恰好等于圓的半徑，的圓心角所對的弦長為60個(gè)單位，即與半徑等長的弦所對的圓弧長為60個(gè)單位，所以.故答案為：15.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓?。虎趧?dòng)點(diǎn)的軌跡與沒有公共點(diǎn)；③三棱錐的體積的最小值為；④平面截該正方體所得截面的面積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】②③④【解析】【分析】作出與垂直的平面，即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段，可知①錯(cuò)誤；顯然，即②正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)到平面的距離最小時(shí)，此時(shí)最小值為，所以③正確；易知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截面為等腰梯形，此時(shí)面積最大為.【詳解】取的中點(diǎn)分別為，連接，如下圖所示： 由正方體性質(zhì)可知，又因?yàn)椋?，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以；同理可得，因此平面，若，所以平面，又點(diǎn)是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)；所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段，即，可知①錯(cuò)誤；由于是的中點(diǎn)，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡與沒有公共點(diǎn)；所以②正確；易知三棱錐的底面的面積為定值，即，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最小時(shí)，即與點(diǎn)重合時(shí)，距離最小為，此時(shí)體積值最小為，所以③正確；顯然當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截面面積最大，此時(shí)截面即為四邊形，如下圖所示：易知，且，；即四邊形等腰梯形，易知其高為， 所以其面積為；即④正確.故答案為：②③④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知是遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足．（1）求的通項(xiàng)公式及；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和的定義，建立方程，求得公比，可得答案；（2）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列是遞增數(shù)列，則，由，則，，由，整理可得，則，解得，易知，.【小問2詳解】由（1）可得：，整理可得，，，故的最小值為.17.在中，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積． 條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合題意.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：由（1）知，若選①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，則，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去）， 所以的面積為.若選①③：且，由，可得，因?yàn)?，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面積為.若選：②③：且，因?yàn)椋傻?，整理得，解得，不符合題意，（舍去）.18.如圖，在三棱錐中，平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判斷異面直線垂直，再由勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求法向量，求出二面角； （3）應(yīng)用等體積法求點(diǎn)到面的距離即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，又，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?平面，且，所以平面；【小問2詳解】過作//，則平面，又由（1）知，所以以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以令，則，則，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令，則，則，令二面角的平面角為，則，由圖知此二面角銳二面角，所以，故二面角為；【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， ，所以，又，所以，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的最小值和最大值；（2）若，求證：在處取得極小值．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，即可求最值；（2）由題設(shè)，易得，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)可得，得到在處有遞增趨勢，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，則，在上，即遞增，所以最小值為，最大值為.【小問2詳解】由題意，則，令，則，且.所以，即在處有遞增趨勢，綜上，若且無限趨向于0，在上，遞減，在上，遞增， 所以在處取得極小值．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可得解；（3）由（2）知，時(shí)，在區(qū)間上恒成立，取，可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為即.【小問2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，對，即，對，令，只需，，，當(dāng)時(shí)，有，則， 在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，其對應(yīng)方程的判別式，若即時(shí)，有，即，在上單調(diào)遞減，符合題意，若即時(shí)，，對稱軸，又，方程的大于1的根為，，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，在區(qū)間上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上恒成立，即，對，取代入上式得，化簡得.21.已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對任意，存在，使得，則稱為數(shù)表． （1）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（2）若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對任意數(shù)表，存在，使得．【答案】（1）是；（2）（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件討論的值，根據(jù)，得到相關(guān)的值，進(jìn)行最小值求和即可；（3）當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，得到橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.【小問1詳解】是數(shù)表，【小問2詳解】由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以 或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值.【小問3詳解】由于數(shù)表中共個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個(gè)數(shù)滿足設(shè)第行中的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)設(shè)第列中的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)所以,因?yàn)?所以.所以必存在某個(gè)既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在使得，所以，