《甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二第二學(xué)期第一次月考試卷數(shù)學(xué)試題一.單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【詳解】由，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選：D.2.下列式子錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列和組合數(shù)的公式即可求出答案.【詳解】對(duì)于A，B，由組合數(shù)公式：知，，，所以A、B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈茫?，所以C正確.對(duì)于D，，，，所以D不正確.故選：D.3.若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，求出，，求出.【詳解】由題意得：，設(shè)的公比為，則，，解得：，.故選：B4.開學(xué)伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫專家分別前往A，B，C三所中學(xué)開展防疫知識(shí)宣傳，若每個(gè)學(xué)校至少安排一名專家，且甲必須安排到A中學(xué)，則不同的安排方式有（）A.6種B.12種C.15種D.18種【答案】B【解析】【分析】由題意被安排到A中學(xué)的防疫專家有2種情況，結(jié)合分步乘法原理及分類加法原理即可.【詳解】①若甲單獨(dú)安排到A中學(xué)，則剩下的3名防疫專家分成兩組到兩個(gè)中學(xué)，共有：種方式，②若甲和另一名防疫專家被安排到A中學(xué)，則有：種方式，則剩下的2名防疫專家分到到兩個(gè)中學(xué)，有：種方式，由分步乘法原理有：種方式，又由分類加法原理可得：若每個(gè)學(xué)校至少安排一名專家，且甲必須安排到A中學(xué)，則不同的安排方式有：種方式，故選：B.5.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出．【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤．故選：B．6.函數(shù)的圖像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)排除選項(xiàng)A，C；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答．【詳解】由得，或，選項(xiàng)A，C不滿足，即可排除A，C由求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取極大值，在處取極小值，D不滿足，B滿足．故選：B 7.拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則（）A.3B.6C.4D.8【答案】B【解析】【分析】表達(dá)出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求解【詳解】由題意得：，，因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，所以，所以，將代入方程得：.故選：B8.已知函數(shù)，，若至少存在一個(gè)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】至少存在一個(gè)，使得成立，即在上有解，滿足即可，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷出單調(diào)性，代入最值可得實(shí)數(shù)的范圍． 【詳解】由題意知至少存在一個(gè)，使得成立，即在上有解，滿足即可，設(shè)，，∵，∴，∴在上恒為增函數(shù)，∴，∴，故選：B.二.多項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題（）A.是函數(shù)的極值點(diǎn)B.是函數(shù)的最小值點(diǎn)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在處切線的斜率小于零【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、切線的斜率，由此判斷出命題錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈（﹣∞,﹣3）時(shí)，，在時(shí)，，∴函數(shù)y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；則﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點(diǎn)，故A正確；∵在上單調(diào)遞增，∴﹣1不是函數(shù)y＝f（x）的最小值點(diǎn)，故B不正確；∵函數(shù)y＝f（x）在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，∴切線的斜率大于零，故D不正確；故選：AC10.下列說法正確的有（） A.直線過定點(diǎn)B.過點(diǎn)作圓的切線，則的方程為C.若圓與圓有唯一公切線，則D.圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，，得到直線過定點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；過點(diǎn)作圓的切線，考慮斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)切線方程為，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圓和圓有唯一公切線得到兩圓內(nèi)切，然后根據(jù)內(nèi)切列方程求解即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)圓心到直線的距離得到直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圓上點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值即可判斷圓上有幾個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為2，所以時(shí)圓的切線，故B錯(cuò)；因?yàn)閳A和圓有唯一公切線，所以圓和圓內(nèi)切，圓：，圓：，所以，即，解得，故C錯(cuò)；圓上的圓心到直線的距離，所以圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，則直線與圓的位置關(guān)系如下圖， 又因?yàn)?，，所以圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，故D正確.故選AD11.若，，則（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用賦值法和二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，令，得，令，得，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)選B，因?yàn)?，所以表示的各?xiàng)系數(shù)之和，令，則，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，令，則，則，故D正確.故選：BD 12.設(shè)函數(shù)，，則下列說法正確的有（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.當(dāng)時(shí)，總有恒成立；D.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，解不等式即可；B選項(xiàng)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性；C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值，最值進(jìn)行證明；D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)根，求導(dǎo)后結(jié)合單調(diào)性，極值等求出的取值范圍.【詳解】由題意得，則對(duì)于A：由，可得，解得，所以解集為，故A正確；對(duì)于B：，令，解得x=1，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，若，則，所以，即，令，則，， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以為減函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以當(dāng)時(shí)，總有恒成立，故C正確；對(duì)于D：若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)根，即在有兩個(gè)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，解得，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象上非常重要，很多問題看似與函數(shù)單調(diào)性無關(guān)，不過通過轉(zhuǎn)化或構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及極值，最值，就變的迎刃而解.三.填空題(每小題5分，共20分)13.江湖傳說，蜀中唐門配制的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由3種藏紅花，2種南海蛇毒添加煉制而成，其中藏紅花的添加順序不能相鄰，同時(shí)南海蛇毒的添加順序也不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)λ幮У挠绊?，則總共要進(jìn)行_____次試驗(yàn)．【答案】【解析】【詳解】分析：先考慮2種南海蛇毒，在考慮3種藏紅花可得到結(jié)果．詳解：先考慮2種南海蛇毒,再將3種藏紅花插空 故總共要進(jìn)行次試驗(yàn)．故答案為12點(diǎn)睛：本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，不相鄰問題用插空法，屬于基礎(chǔ)題．14.已知在數(shù)列中，，，則等于____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解．【詳解】解：因?yàn)?，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，故，所以．故答案為：．15.設(shè)橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的點(diǎn)，，，則C的離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理，得出、、，根據(jù)橢圓的定義以及離心率公式求解即可.【詳解】在中，設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以? 故答案為：.16.若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】(4，5)【解析】【分析】由已知得在上存在變號(hào)零點(diǎn)，參變分離后利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則在上存在變號(hào)零點(diǎn)，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.四.解答題(17題10分，其余每小題12分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.)17.已知（）的展開式中前項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于．（1）求的值；（2）若展開式中的一次項(xiàng)的系數(shù)為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)有，結(jié)合組合數(shù)公式整理成關(guān)于n的一元二次方程求解即可.（2）由（1）寫出二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，進(jìn)而判斷含的項(xiàng)，結(jié)合其系數(shù)列方程求的值．【小問1詳解】由題設(shè)，，整理得，解得（舍）或； 【小問2詳解】由（1）知：二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)為含的項(xiàng)，故，解得.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列滿足，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)條件求，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）利用組合求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以，所以?shù)列為等比數(shù)列；小問2詳解】由(1)，所以， ，，，19.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求在上的最值.【答案】（1）（2）最小值為，最大值為16.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得切線方程；（2）求出函數(shù)在上的所有極值和，通過比較即可得最值.【小問1詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以所求切線方程為，即.【小問2詳解】，令，得或.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，又因?yàn)椋?所以在上的最小值為，最大值為16.20.已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而求得圓心的坐標(biāo)，半徑，即得；（2）設(shè)，，進(jìn)而可得，然后代入圓的方程，化簡(jiǎn)求得點(diǎn)的軌跡方程.【小問1詳解】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，∵圓心C在直線上，∴，∵圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴，即，化簡(jiǎn)得：，又，所以，∴圓心C坐標(biāo)為，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)，，∵M(jìn)為OP的中點(diǎn)， ∴，∴，∵P在圓C上，∴，即，∴OP的中點(diǎn)M的軌跡方程為.21.已知雙曲線C的漸近線為，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為，代入可求得，整理可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦長(zhǎng)公式求即可【小問1詳解】由雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為：，又雙曲線過點(diǎn)，雙曲線的方程為：【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，化為． ∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴，化為．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．由弦長(zhǎng)公式可得22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，求解單調(diào)性；（2）參變分離，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，求出最大值，得到.【小問1詳解】.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】 的定義域?yàn)椋艉愠闪ⅲ瑒t恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；故在時(shí)取得極大值，也時(shí)最大值.所以，解得：，故a的取值范圍是.