《四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

敘州區(qū)一中2023年秋期高二期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．第I卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算求出，進(jìn)而可得的共軛復(fù)數(shù)．【詳解】解：由得，∴．故選：C2.已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A.30°B.60°C.120°D.135°【答案】B【解析】【分析】先由，求斜率，再求傾斜角.【詳解】設(shè)直線的斜率為k,則.令直線的傾斜角為，則，，.故選：B3.甲，乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為，則謎題被破解的概率為（）AB.C.D.1【答案】C【解析】 【分析】利用對(duì)立事件即可求得概率.【詳解】設(shè)甲，乙兩人破解出謎題分別為事件，則有，則，謎題被破解的對(duì)立事件是甲乙都沒有破解謎題，則故選：C.4.某公園對(duì)“十一”黃金周天假期的游客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人數(shù)（萬）則該公園“十一”黃金周天假期游客人數(shù)平均數(shù)和第百分位數(shù)分別是（）A.萬?萬B.萬?萬C.萬?萬D.萬?萬【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)的公式求出平均數(shù)，再將數(shù)據(jù)由小到大排列，根據(jù)，即可求出第75百分位數(shù)．【詳解】解：游客人數(shù)的平均數(shù)為，將數(shù)據(jù)由小到大排列0.6，1.4，1.5，2.2，2.2，2.3，3.8，，這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是2.3，故選：．5.若直線（）經(jīng)過第一、二、三象限，則系數(shù)滿足的條件為（）A.同號(hào)B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，再利用直線斜率與截距的意義即可得出.【詳解】由題意得，直線，即，直線經(jīng)過第一、二、三象限，所以,，即，，故選：B.6.已知點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：B7.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，由基本不等式即可求出的最大值.【詳解】解：由題意在圓中，∴圓心為，半徑為1在直線中，圓關(guān)于該直線對(duì)稱∴直線過圓心，∴，即：∵解得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴的最大值為.故選：D.8.已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)（點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部），則A.B.4C.3D.1【答案】C 【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】連接,設(shè)橢圓的基本量為，,故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題，關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合橢圓的定義計(jì)算.二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察這兩次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．記事件A為“第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”，事件B為“第二次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5”，事件C為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為8”，事件D為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）A.A與B相互獨(dú)立B.A與D相互獨(dú)立C.B與C為互斥事件D.C與D為互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】先求出,再利用公式判斷選項(xiàng)AB，利用概念判斷選項(xiàng)CD得解.【詳解】連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的結(jié)果用有序數(shù)對(duì)表示，其中第一次在前，第二次在后，不同結(jié)果如下： ．共36個(gè)．依題意，，事件C包括，共5個(gè)，，事件D包括，共6個(gè)，．對(duì)于選項(xiàng)A，事件只有結(jié)果，A與B相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，事件只有結(jié)果，A與D相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)?shù)谝淮蔚狞c(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)，第二次是5點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生了，所以事件不是互斥事件，所以選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，事件是不可能事件，即C與D是互斥事件，所以選項(xiàng)D正確．故選：ABD10.下列說法中，正確有（）A.過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為B.直線在軸的截距是2C.直線的傾斜角為30°D.過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線的截距、傾斜角、直線方程等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，直線過點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確. 故選：CD11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓，是橢圓上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則的面積為B.若為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為0C.橢圓的離心率為D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由橢圓的定義、勾股定理及三角形面積公式可求解；對(duì)于B，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化為圓心到右焦點(diǎn)的距離問題；對(duì)于C，直接用離心率公式求解即可；對(duì)于D，由可判斷.【詳解】對(duì)于A，由橢圓知，，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以的面積為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由知，所以.因?yàn)槭菆A上的動(dòng)點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，橢圓的離心率為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，顯然，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（） A.三棱錐的體積為1B.平面EFGC.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是D.平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)：用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)換成G為頂點(diǎn)，直接計(jì)算體積即可判斷；B選項(xiàng)：建系，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；C選項(xiàng)：補(bǔ)全完整截面為正六邊形，直接計(jì)算面積即可判斷；D選項(xiàng)：用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則平面，B正確； 對(duì)于C，作中點(diǎn)N，的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)T，連接，則正六邊形為對(duì)應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為，則截面面積為：，故C正確；對(duì)于D，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.兩條平行直線和的距離為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)平行線間距離公式可得，故答案為：214.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，則______.【答案】【解析】【分析】先計(jì)算長軸長2a，再根據(jù)橢圓定義，計(jì)算即可. 【詳解】橢圓中，，即，，因?yàn)?，所?故答案為：.15.若圓與圓外切，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)圓的方程得出圓心與半徑，根據(jù)兩圓外切的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，，，，因?yàn)閳A與圓外切，所以，解得.故答案為：216.點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為________.【答案】【解析】【分析】易知直線過定點(diǎn)，再由在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，得到，進(jìn)而得到的軌跡是以為直徑的圓求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，所以，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，. （1）求邊所在直線的方程；（2）求邊上中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線的兩點(diǎn)式方程求解即可；（2）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，由直線的兩點(diǎn)式方程可得：邊所在直線的方程，化簡可得；（2）由，，則中點(diǎn)，即，則邊上中線所在直線的方程為，化簡可得.【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，重點(diǎn)考查了直線的兩點(diǎn)式方程，屬基礎(chǔ)題.18.已知點(diǎn)，，，H是的垂心．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的外接圓的方程．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，求出直線的方程，聯(lián)立方程組求出兩直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）先得到邊和邊的中垂線方程，進(jìn)行聯(lián)立得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式算出半徑，即可得到答案【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直線的方程為即，又∵，∴所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為，聯(lián)立直線與的方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為；小問2詳解】邊的中垂線方程為，因?yàn)?，所以邊的中垂線的斜率等于，因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，故邊的中垂線的方程為：，所以聯(lián)立兩條中垂線得解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19.“星光大道”是觀眾喜愛的央視欄目．現(xiàn)有位周冠軍和甲、乙兩位挑戰(zhàn)者參加月冠軍比賽，比賽規(guī)則是：第一輪甲、乙兩位挑戰(zhàn)者從位周冠軍中各選一位進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第二輪比賽，未被選中的周冠軍直接進(jìn)入第二輪比賽；第二輪比賽從位選手中淘汰一位，勝者進(jìn)入第三輪比賽；第三輪比賽勝者為月冠軍．每位選手被淘汰的可能性相同．（1）求周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進(jìn)行第一輪比賽，且至少有一位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二輪比賽的概率； （2）求月冠軍是挑戰(zhàn)者的概率.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)“周冠軍進(jìn)入第一輪”和“至少有位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二輪比賽”是相互獨(dú)立的事件，由乘法公式計(jì)算概率.(2)月冠軍是挑戰(zhàn)者包括三種情況：恰有一位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二、三輪比賽并獲得月冠軍，兩位挑戰(zhàn)者都進(jìn)入第二輪比賽但只有一位進(jìn)入第三輪比賽并獲得月冠軍，兩位挑戰(zhàn)者都進(jìn)入第三輪比賽，分別求出概率再求和.【詳解】（1）周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進(jìn)行第一輪比賽的概率為，至少有一位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二輪比賽的概率為,所以周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進(jìn)行第一輪比賽，且至少有一位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二輪比賽的概率為.（2）恰有一位挑戰(zhàn)者進(jìn)入第二、三輪比賽并獲得月冠軍的概率是；兩位挑戰(zhàn)者都進(jìn)入第二輪比賽但只有一位進(jìn)入第三輪比賽并獲得月冠軍的概率是；兩位挑戰(zhàn)者都進(jìn)入第三輪比賽的概率是.故月冠軍是挑戰(zhàn)者的概率是.20.已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)，圓心在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓C與y軸相交于A，B兩點(diǎn)（A在B上方）.直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)T.請(qǐng)問點(diǎn)T是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】 【分析】（1）由已知設(shè)出圓心，再由圓心到的距離都為半徑列出方程解出答案即可；（2）聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線和的方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到答案.【小問1詳解】依題意可設(shè)圓心，則半徑，解，，故，即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，由（1）可知，，聯(lián)立方程組，消去x并化簡得，容易判斷直線所過定點(diǎn)（0,1）在圓內(nèi)，即直線與圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的方程為…①，直線的方程為…②，由①②可得：，由，化簡得，故點(diǎn)T在定直線上.【點(diǎn)睛】解析幾何壓軸題運(yùn)算量一般都比較大，這個(gè)需要平時(shí)加大練習(xí)力度.本題涉及定點(diǎn)問題，思路一定要直接一點(diǎn)，需要交點(diǎn)，那就解出交點(diǎn)；另外這種題往往和根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系緊密.21.如圖，已知直三棱柱中，，，??分別是??的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且 （1）證明：無論取何值，總有平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，位置滿足【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，??所在的直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，可得證；（2）假設(shè)存在，由空間向量法求二面角可得．【小問1詳解】證明：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，??所在的直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，由，可得，所以，，又所以，，所以，，.又，平面，所以平面，所以無論取何值，總有平面. 【小問2詳解】解：設(shè)是平面的法向量，則，即，令，所以是平面的一個(gè)法向量，取平面的一個(gè)法向量為假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則，化簡得，解得或（舍去）.綜上，存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，滿足平面與平面的夾角為.22.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是和，離心率為，以在橢圓上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若軸上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先判斷P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，得到，再結(jié)合，，即解得參數(shù)a，b，得到方程；（2）先聯(lián)立方程得到中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用已知條件得到，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，得到m，k的關(guān)系，討論m的取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，顯然當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立方程組，得，因?yàn)橹本€l恒過定點(diǎn)，故直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)中點(diǎn)為，則，，，設(shè)，則，化簡得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故；綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；