《四川省瀘州市瀘縣瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

瀘縣一中2023年秋期高二期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某影院有60排座位，每排70個座號，一次報(bào)告會坐滿了聽眾，會后留下座號為15的所有聽眾60人進(jìn)行座談，這是運(yùn)用了A抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法【答案】C【解析】【詳解】由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，要求留下座位號為15的聽眾留下進(jìn)行座談，這樣選出的樣本是符合系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)的，故選C.2.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可求解.【詳解】由，可得，所以直線的斜率為，則傾斜角為，故選:C.3.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92 【答案】A【解析】【詳解】8個班參加合唱比賽的得分從小到大排列分別是87，89,90,91,92,93,94,96，中位數(shù)是91,92,的平均數(shù)91.5，平均數(shù)是=91.54.已知橢圓=1的離心率為，則k的值為（）A.4B.C.4或D.4或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論，由此求得值.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，且.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，且.故選：C5.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示判斷即可.【詳解】設(shè)，即，則，此方程組無解，故不平行，故A錯誤；設(shè)，即，則，此方程組無解，故不平行，故B錯誤；，則，故C正確；，則不垂直，故D錯誤. 故選：C.6.已知異面直線a，b分別為平面，的垂線，直線m滿足，，，，則（）A.與相交，且交線與m平行B.與相交，且交線與m垂直C.與平行，m與平行D.與平行，m與垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系判定即可.【詳解】若與平行，由可得，與條件矛盾，不符合題意，故C、D錯誤；所以與相交，如圖所示，作，且與直線相交，設(shè)，則由題意，故，同理，因?yàn)椋?，所以，故A正確.7.柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法列出所有可能情況，再找出符合題意的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事件有6種，即，，，， ，，故選：C8.若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】聯(lián)立，解得把(1,2)代入可得∴.∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離當(dāng)時，取等號．∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試成績統(tǒng)計(jì)的折線圖如下，則下列說法正確的是（）．A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)分別為，，則B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則C.甲成績的極差大于乙成績的極差 D.甲成績比乙成績穩(wěn)定【答案】AD【解析】【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，由平均數(shù)的計(jì)算公式以及方差的計(jì)算公式結(jié)合極差的定義對四個選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：由折線圖可知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)，其他次考試成績都高于乙同學(xué)，所以，故選項(xiàng)A正確；由折線圖的變化趨勢可知，甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)的成績穩(wěn)定，所以，故選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)D正確；極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，所以甲同學(xué)成績的極差小于乙同學(xué)成績的極差，故選項(xiàng)C錯誤．故選：AD．10.下列命題中，正確的是（）A.若事件A，B互斥，則B.若事件A，B相互獨(dú)立，則C.若事件A，B，C兩兩互斥，則D.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則【答案】ABC【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式判斷選項(xiàng)AC；利用獨(dú)立事件的乘法公式判斷選項(xiàng)B；舉反例判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷A正確；對于B，若事件A，B相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，所以，故B正確；對于C，根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷C正確；對于D，例如，從1，2，3，4中隨機(jī)選出一個數(shù)字，記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，則“取出的數(shù)字為1”，顯然，， 滿足，，，所以事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但是，故D錯誤.故選：ABC.11.平面上三條直線，，，如果這三條直線將平面劃分成六部分，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三條直線將平面劃分成六部分，可以確定三條直線的位置關(guān)系，然后分類討論求出實(shí)數(shù)的取值集合．【詳解】因?yàn)槿龡l直線將平面劃分成六部分，所以三條直線有以下兩種情況：（1）三條直線交于同一點(diǎn)，解方程組，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線也過該點(diǎn)，故；（2）當(dāng)直線與平行時，；當(dāng)直線與平行時，，綜上所述：．故選：ABD12.（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若的最大值為5，則（）A.橢圓的短軸長為B.當(dāng)最大時，C.離心率為D.的最小值為3【答案】ABD【解析】【分析】橢圓定義有，結(jié)合已知確定的最小值并確定此時 的位置，即可判斷D、B的正誤，此時設(shè)，結(jié)合橢圓方程求短軸長，即可判斷A、C的正誤.【詳解】由題意知，所以．因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最小值為3，故D正確．當(dāng)且僅當(dāng)軸時，取得最小值，此時，故B正確．由B的分析，不妨令，代入橢圓方程，得．又，所以，得，所以橢圓的短軸長為，故A正確．易得，所以，故C錯誤．故選：ABD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.橢圓的長軸長為_________.【答案】6【解析】【分析】直接由橢圓的定義得出.【詳解】由橢圓的定義可知，所以長軸長為，故答案為：614.三個元件獨(dú)立正常工作的概率分別是，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是__________.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)對立事件概率公式和獨(dú)立事件概率乘法公式依次計(jì)算每種接入方式對應(yīng)的概率，比較概率大小即可得到結(jié)果.【詳解】若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；若接入，分別接入，則該電路正常工作的概率為；，此電路正常工作的最大概率為.故答案為：.15.已知球O的表面積為，A，B，C，D為球O的球面上的四個點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點(diǎn)．若，且，則直線AC與BD所成的角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件判斷出三點(diǎn)共線，構(gòu)造正四棱柱，利用異面直線所成角的定義求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為,由，解得,∵,且E分別為線段AB的中點(diǎn)，∴,在中，,同理可得，又∵,∴三點(diǎn)共線，作出球的內(nèi)接正四棱柱,,∵∥,∴為直線與所成的角，∵,∴,,∴,由余弦定理得, 故答案為：.16.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為____________【答案】【解析】【分析】在軸上取，由可得，可得，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖，在軸上取點(diǎn)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時取等號），.故答案為：. 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)，且與圓C相切，求直線l方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1)設(shè)出圓C的圓心坐標(biāo)，利用給定條件求出圓心和半徑即可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由條件可得直線l的斜率存在，設(shè)出直線l的方程，借助圓的切線性質(zhì)計(jì)算作答.【小問1詳解】因圓C的圓心C在x軸上，則設(shè)圓心，圓C的半徑為r，又圓C經(jīng)過點(diǎn)，，則有，解得：，即圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由(1)知，圓C：，因直線l過點(diǎn)，且與圓C相切，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，與圓C不相切，不符合題意，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，于是有，解得：或，所以直線l的方程為：或.18.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，所在直線方程為.求（1）點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線關(guān)于直線對稱的直線方程.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根據(jù)中線和均過點(diǎn)，可聯(lián)立方程求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求法可求得點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，由此可得直線方程，即為所求對稱直線方程.【小問1詳解】由得：，即.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則，解得：，，則直線方程為，即，即直線關(guān)于直線對稱的直線方程為：.19.如圖幾何體為圓臺一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，，體積為．（1）求；（2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并證明．【答案】（1）；（2）不存在，證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，由扇形的面積公式分別表示出上底的面積，下底的面積，再代入體積公式即可得，在中由余弦定理求解即可；（2）過作的垂線交劣弧于，以所在的直線分別為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可. 【小問1詳解】解：由題意可知，設(shè)，設(shè)上底的面積為，下底的面積為，則，，所以，解得，在中由余弦定理可得，所以；【小問2詳解】不存在，證明如下：證明：過作的垂線交劣弧于，由（1）可知，所以，以所在的直線分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，因，所以，取，則有， 如果平面，則有，即，即，矛盾，所以平面不成立，故劣弧上不存在使∥平面.20.某高校的人學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，甲同學(xué)答對每道題目的概率都是0.8，乙同學(xué)答對每道題目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同題目能否答對是獨(dú)立的.若每位面試者共有三次機(jī)會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直到第三次答完為止.（1）求在甲、乙兩人第一次答題中只有一人通過面試的概率；（2）求甲、乙兩人都通過面試且甲的答題次數(shù)少于乙的答題次數(shù)的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分甲通過乙不通過和甲不通過和乙通過兩種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解；（2）分甲第一次通過乙第二次通過、甲第一次通過乙第三次通過和甲第二次通過乙第三次通過三種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【小問1詳解】由題意，所求概率為；【小問2詳解】由題意，有甲第一次通過乙第二次通過、甲第一次通過乙第三次通過和甲第二次通過乙第三次通過三種情況，當(dāng)甲第一次通過乙第二次通過時，概率為，當(dāng)甲第一次通過乙第三次通過時，概率為，當(dāng)甲第二次通過乙第三次通過時，概率為，所以所求概率為.21.如圖所示，已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)，且 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在第二象限，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，從而可求，即可得出橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式，可求△的面積．【小問1詳解】解：依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，所在直線的方程為，即．解方程組，并注意到，，可得 ．22.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．現(xiàn)已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，圓的圓心在的歐拉線上，且滿足，直線被圓截得的弦長為．（1）求的歐拉線的方程；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由重心坐標(biāo)公式可求得重心，由垂直關(guān)系可分別求得邊上的高線所在直線，聯(lián)立可得垂心，由此可得所在直線方程，即為所求歐拉線方程；（2）設(shè)，由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得的值，由此確定圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得圓心到直線距離，根據(jù)垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由坐標(biāo)可得：重心，即；，，邊的高線所在直線為；邊的高線所在直線為，即；由得：，即的垂心； ，則歐拉線方程為：，即.【小問2詳解】設(shè)，圓的半徑為，，，，解得：或；當(dāng)時，，圓心到直線的距離，，解得：，圓的方程為：；當(dāng)時，，圓心到直線的距離，，解得：，圓的方程為：；綜上所述：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.