《新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第101中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

烏魯木齊市第101中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中測試卷（選擇性必修第一冊）數(shù)學(xué)試題總分100分考試時(shí)間120分鐘一、選擇題（12題每題4分共48分）1.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：A.2.已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有， ，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B3.已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的最大值為（）A.3B.5C.D.13【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合圖形即得.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，，則橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：， 當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)處，取等號(hào)，所以的最大值為5，故選：B.4.圓圓心和半徑分別是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.5.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長2，則， ，所以.故選：D6.已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.7.下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使空間中的、、、四點(diǎn)共面，只需滿足，且即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面； 對于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D8.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.9.已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示點(diǎn)與距離的平方，求出到直線的距離，即可得到答案.【詳解】表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故選：A10.已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．11.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（）A.6B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，， 在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B12.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即； 當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．二、填空題（共五題每題2分共10分）13.在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標(biāo)，半徑為，求得點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為： 14.若圓與圓有3條公切線，則正數(shù)a=___________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩圓外切半徑之和等于圓心距即可求解.【詳解】兩圓有三條公切線，則兩圓外切，∴∴故答案為：315.已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，求出，求出、的余弦值，由題意可知，可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可解得的值.【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，則， 因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，所以，，整理可得，即，因?yàn)?，解?故答案為：.16.從圓外一點(diǎn)向圓引切線，則此切線的長為______．【答案】2【解析】【分析】作圖，利用圓心到定點(diǎn)的距離、半徑、切線長滿足勾股定理可得.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則圓心，半徑1，如圖，設(shè)，，切線長．故答案為：2 17.若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.三、解答題（四題共42分）18.已知點(diǎn)，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線處，并作答．（1）求直線的方程；（2）求直線：關(guān)于直線的對稱直線的方程．條件①：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為； 條件②：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)且與直線垂直；條件③點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)且與直線平行．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算直線的斜率，根據(jù)直線的平行或垂直關(guān)系得到斜率，代入點(diǎn)得到直線方程.（2）計(jì)算直線的交點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，求其關(guān)于對稱的點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)和對稱點(diǎn)得到直線方程.【小問1詳解】選擇條件：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以是線段的垂直平分線．因?yàn)?，所以直線的斜率為，又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．選擇條件：因?yàn)?，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即．選擇條件，因?yàn)椋本€與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即．【小問2詳解】，解得，故，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樵谥本€：上，設(shè)關(guān)于對稱的點(diǎn)為， 則，解得，直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點(diǎn)，，代入兩點(diǎn)式方程得，即，所以：關(guān)于直線的對稱直線的方程為．19.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．20.已知點(diǎn)、，設(shè)過點(diǎn)的直線l與的邊AB交于點(diǎn)M（其中點(diǎn)M異于A、B兩點(diǎn)），與邊OB交于N（其中點(diǎn)N異于O、B兩點(diǎn)），若設(shè)直線l的斜率為k．（1）試用k來表示點(diǎn)M和N的坐標(biāo)；（2）求的面積S關(guān)于直線l的斜率k的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)k為何值時(shí)，S取得最大值？并求此最大值．【答案】（1）；.（2）（3）當(dāng)時(shí)，，S取得最大值，最大值為.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程組可解得結(jié)果； （2）利用兩個(gè)三角形面積相減可得結(jié)果；（3）換元，令，，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【小問1詳解】由已知得直線l斜率存在，設(shè)．由，得；又，所以.由，得．【小問2詳解】.【小問3詳解】設(shè)，則．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．21.已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓心在x軸正半軸上，且與直線相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)．①求k的取值范圍；②證明：直線OA與直線OB的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具體見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓心，進(jìn)而根據(jù)題意得到半徑，然后根據(jù)圓與直線相切求出圓心，最后得到答案；（2）（?。┞?lián)立直線方程和圓的方程并化簡，根據(jù)判別式大于零即可得到答案；（ⅱ）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過根與系數(shù)的關(guān)系與坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡，即可得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心為，因?yàn)閳AC過原點(diǎn)，所以半徑r=a， 又圓C與直線相切，所以圓心C到直線的距離（負(fù)值舍去），所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（?。⒅本€l代入圓的方程可得：，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以，即k的取值范圍是.（ⅱ）設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系：，