《浙江省浙東北聯(lián)盟(ZDB)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

浙東北聯(lián)盟（ZDB）2023-2024學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求直線的斜率，再求傾斜角.【詳解】直線的斜率，所以直線的傾斜角為.故選：A2.已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為該橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，則（）A.1B.5C.7D.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，所以，又所以， 故，故選：.3.已知為圓上的兩個動點(diǎn)，若，則的面積為（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，再利用三角形面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以.故選：B.4.幾何體是平行六面體，底面為矩形，其中，且，則線段的長為（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】將用來表示，然后向量求模即可.【詳解】因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，故選：D5.過雙曲線的右焦點(diǎn)作其漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.3D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中幾何條件及雙曲線的定義可求出，從而求解.【詳解】將點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)連接，從而得到，如下圖所示，因?yàn)榈狡湟粭l漸近線：的距離：， 因?yàn)椋海缘茫狐c(diǎn)為中點(diǎn)，且，，又因?yàn)樵c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以得：為的中位線，所以得：，由雙曲線的定義得：，化簡得：，因?yàn)殡p曲線的離心率：，所以得：，故B項(xiàng)正確.故選：B.6.已知，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，若存在點(diǎn)使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直線與都過定點(diǎn)且，可得交點(diǎn)的軌跡是圓，又點(diǎn)滿足，坐標(biāo)化可得點(diǎn)在另一個圓上，存在點(diǎn)滿足，即兩圓有公共點(diǎn)即可，由此得解.【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且，所以直線與的交點(diǎn)的軌跡是以，為直徑端點(diǎn)的圓，除去，所以點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)其圓心為，半徑，若點(diǎn)滿足，設(shè)，可得，化簡整理得，，設(shè)其圓心為，半徑，由題存在點(diǎn)滿足，即圓與圓有公共點(diǎn)即可，由于點(diǎn)的軌跡為圓除去點(diǎn)，所以得，即，所以故選：C. 7.如圖，長方體，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，如果，那么三棱錐的體積為（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】由題意可得，長方體的棱長分別為，，，利用等體積法即可求.【詳解】在長方體中，設(shè)，，，所以，,故，又因?yàn)?，所以，，，即，，，取中點(diǎn)，連接，，如圖：因?yàn)辄c(diǎn)是與的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以，在矩形中，如圖：，，所以，，，所以，所以，所以，所以，即.故選：B8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）?重心（中線的交點(diǎn)）?垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，且，則的歐拉線被橢圓截得的弦長的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出歐拉線的方程，聯(lián)立方程，表示出弦長，求出最值即可. 【詳解】因?yàn)?，由等腰三角形的性質(zhì)可得歐拉線一定過點(diǎn),當(dāng)斜率不存在時，被橢圓截得的弦長為2；當(dāng)斜率存在時，設(shè)方程為，直線與橢圓的交點(diǎn)為,與橢圓方程聯(lián)立可得，則，；令，則，且；，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，即，取到最大值，最大值為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.的最大值2D.的最小值【答案】AB【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，得，故A正確；B.若，則，即，得 ，解得：，故B正確；CD.，當(dāng)時，的最小值2，故CD錯誤；故選：AB10.已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則直線恒過定點(diǎn)B.若，則直線與圓相切C.若圓關(guān)于直線對稱，則D.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，直線系方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，以及圓的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，代入直線方程可得，即，由，解得，所以直線恒過點(diǎn)，所以A正確；對于B中，由圓，可得圓心，半徑為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)時，可得，所以直線與圓相切，所以B正確；對于C中，若圓關(guān)于直線對稱，可得直線經(jīng)過圓心，將圓心代入直線的方程，可得，即，所以C正確；對于D中，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則滿足，解得，所以D錯誤.故選：ABC. 11.已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）A.，曲線都不表示圓B.，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.，曲線都不表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.當(dāng)時，曲線的焦距為定值【答案】ACD【解析】【分析】A.由求解判斷；B.由求解判斷；C.由求解判斷；D.由當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在x軸上雙曲線求解判斷.【詳解】解：若方程表示圓，則，無解，所以，曲線都不表示圓，故A正確；若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，無解，所以不存在m，使得曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B錯誤；若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，無解，所以，曲線都不表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故C正確；D.當(dāng)時，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，故曲線的焦距為定值，故D正確，故選：ACD12.如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（包含線段的端點(diǎn)），則以下說法正確的是（） A.為線段中點(diǎn)時，B.存在點(diǎn)，使得平面C.與平面所成的角可能為D.與所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算即可判斷；利用空間向量解答B(yǎng)，D；對于C，由題意可得為與平面所成的角，當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)時，取得最大，且，從而即可判斷.【詳解】對于，，故錯誤；對于，以為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則，所以設(shè)平面的法向量為則，令，可得，設(shè)，則，所以，當(dāng)時，可得∥平面，所以，即.所以在線段上存在點(diǎn)，且，故B正確；對于C，在中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，可得，而，平面，平面，所以平面，與平面所成的角即為，由題可得當(dāng)運(yùn)動到點(diǎn)時，取得最大，且，所以與平面所成的角可能為，此時，故C正確.對于D，， 所以與所成角的正弦值為，故D正確；故選：BCD.非選擇題部分三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線的一方向向量與平面的一個法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為_________．【答案】【解析】【分析】由所求角與方向向量和法向量夾角互余即可求得結(jié)果.【詳解】直線與平面所成角與其方向向量與平面法向量的夾角互余，直線與平面所成的角為.故答案為：.14.直線與之間的距離相等，則直線的方程是__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后根據(jù)平行線間的距離公式即可列式求解.【詳解】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設(shè)直線的方程為，則由平行線間的距離公式得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.15.與雙曲線有公共漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】 【分析】設(shè)所求雙曲線方程為，代入，求出的值即可.【詳解】設(shè)所求的雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，所以，解得，所以，，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即.故答案為：.16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外），的角平分線交橢圓長軸于點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由角平分線定理得到，再根據(jù)求解.【詳解】解：由橢圓知：，如圖所示：由角平分線定理得：， 即，因?yàn)?，所以，解得，故的取值范圍是，故答案為：?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若直線經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.【答案】17.18.或【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)出直線方程，根據(jù)題中條件可求得圓心到直線的距離為，建立方程，解出即可，特別要考慮直線的斜率不存在的情況.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，根據(jù)題中條件知，,解得,所以圓的方程為，即.【小問2詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)， 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離又被圓截得的弦長為2，圓的半徑為，則，故，即，解得，則方程為，又當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，圓心到直線的距離為，符合題意，故所求直線的方程為或者.18.已知直線，直線（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求直線的方程.【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由一般方程求截距，根據(jù)條件，列式求解；（2）代入兩直線平行的公式，即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，直線在軸的截距為，在軸的截距為，則，解得：；【小問2詳解】若，則且，解得：， 此時直線的方程為.19.如圖，在幾何體中，底面為正方形，平面，為線段的中點(diǎn)，且，為線段上的動點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成的角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面與平面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，然后利用求面面角的步驟即可確定出點(diǎn)的位置，從而求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】當(dāng)與重合時，平面就是平面，易知平面與平面所成的角為，不符合題意；因?yàn)槠矫?，平面?所以，，又，所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以，因?yàn)槠矫媾c平面所成角為，所以，解得，所以為線段的中點(diǎn)，所以.20.已知雙曲線的漸近線斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線與圓相切于點(diǎn).（1）求雙曲線的方程：（2）若直線與雙曲線相切于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）； （2）．【解析】【分析】（1）由漸近線斜率與雙曲線所過點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組求得，得雙曲線方程；（2）設(shè)的方程為，由它與圓和雙曲線分別相切，分別得出的關(guān)系式，同時得出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后計(jì)算線段長，并化為的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得其范圍．【小問1詳解】由已知，又，故解得，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為，由得，，化簡得①，此時方程的解為，即為點(diǎn)橫坐標(biāo)，由得，，化簡得②，此時方程的解為，即為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，由①②代入得， 函數(shù)在時是減函數(shù)，所以由得．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與雙曲線位置關(guān)系中的范圍問題，關(guān)鍵是引入?yún)?shù)，建立函數(shù)式，可設(shè)直線方程為（有交點(diǎn)時可能還要設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），由直線與曲線的位置關(guān)系得出得出參數(shù)之間的關(guān)系，然后用參數(shù)表示出題中的量（本題中是線段長），并轉(zhuǎn)化為其中某個參數(shù)的函數(shù)，再利用函數(shù)知識、不等式知識等求得取值范圍．21.如圖，在四面體中，平面是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角大小為，求的長度.【答案】（1）詳見解析.（2）【解析】【分析】（1）取MD的中點(diǎn)G，易知，從而平面BCD，同理平面BCD，得到平面平面BCD，然后利用面面平行的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求得平面BCM的一個法向量為，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示： 取MD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镸是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，所以，又平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，同理平面BCD，又平面，所以平面平面BCD，又平面EFG，則平面；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，，所以，設(shè)平面BCM的一個法向量為，則，即，令，得，，則，所以，解得，即的長度. 22.已知橢圓與橢圓有相同的離心率，橢圓焦點(diǎn)在y軸上且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于干P，Q，直線AP?AQ與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為點(diǎn)M和N，若與的面積分別為和，求取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓確定離心率，設(shè)出其方程，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得，即可求得答案；（2）設(shè)，利用橢圓方程推出，從而設(shè)的方程，聯(lián)立橢圓方程，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到，，從而可求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求解答案.【小問1詳解】由題意知橢圓的離心率為，故橢圓的離心率也為，設(shè)橢圓的方程為，則，即，將代入得，則橢圓的方程為；【小問2詳解】由于A為橢圓的上頂點(diǎn)，故， 不妨設(shè)P在第一象限以及x軸正半軸上，，則，則，故，由題意知直線AP存在斜率，設(shè)其方程為，則AQ的直線方程為，聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，解得，即；聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，解得，即；故，同理可求得，所以，設(shè)，則，而，由于，故在時單調(diào)遞減， 即，故，即.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的參數(shù)的取值范圍問題，難點(diǎn)在于的取值范圍的求解，解答時要利用聯(lián)立直線和橢圓方程求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求出的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解答案，計(jì)算過程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大.