《浙江省紹興市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

紹興一中2023學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.已知向量，，若，則（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0計算即可.【詳解】因為向量，，，所以，解得，故選：D.2.已知過、的直線與過、的直線互相垂直，則點有（）A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的兩個已知點，求得斜率，結(jié)合垂直直線的斜率關(guān)系，建立方程，可得答案.【詳解】由與，則直線的斜率，由，則直線的斜率存在，即，且，由與，則，整理化簡可得，顯然該方程有無數(shù)個解.故選：D.3.“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（） A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B【解析】【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.4.已知拋物線的焦點在圓上，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)即可求解，由的幾何意義即可求解.【詳解】由于拋物線的焦點為正半軸上，與正半軸的交點為，故拋物線的焦點為，所以，因此拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，故選：C5.已知，，三點，直線l1：與直線l2：相交于點P，則的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C【解析】【分析】分析兩直線特征，恒過定點，聯(lián)立兩直線方程，消去，得到交點的軌跡方程，然后借助于的坐標(biāo)范圍，求出的最大值. 【詳解】直線l1：變形為直線恒過定點，直線l2：直線恒過定點，直線l1：與直線l2：相交于點P，聯(lián)立，消去，得所以是以為圓心，半徑為2的圓上一點，設(shè)且，，所以的最大值為88，故選：C.6.已知雙曲線的左焦點為F1，M為C的漸近線上一點，M關(guān)于原點的對稱點為N，若，且，則C的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在左支,由于，且，所以，由于關(guān)于原點對稱，所以,結(jié)合可得，所以故漸近線的傾斜角為，雙曲線的漸近線方程為．故選：B 7.如圖，由點P射出的部分光線被橢圓擋住，圖中光線照不到的陰影區(qū)域（包括邊界）為橢圓的“外背面”．若位于橢圓的“外背面”，則實數(shù)t的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)過點的切線方程為，進而可得切線方程，利用新定義可求的最值，進而可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立方程組，得，則，即，解得， 所以切線方程為：，即，切線的方程為：，即，若位于橢圓的“外背面”，則與相切時取最小值，由，解得或，結(jié)合圖形可得的最小值為，則與相切時取最大值，由，解得或，結(jié)合圖形可得最大值為，．故選：B.8.教材44頁第17題：在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點，點．（1）若直線l經(jīng)過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：；（2）若平面經(jīng)過點，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意一點，求證：．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面 所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出平面的法向量，再求出平面的交線方向向量，最后用線面角公式即可.【詳解】平面的方程為，平面一個法向量，同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，取，則設(shè)直線與平面所成角為，則故選：A【點睛】本題屬于創(chuàng)新題目，是數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境，具體是以平面方程為背景考查直線與平面所成的角，利用的法向量和方向向量的關(guān)系.二、選擇題（本大題共4題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點，且在軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線恒過定點D.直線，，若，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)直線方程，求得其斜率，利用斜率的定義，結(jié)合正切函數(shù)的定義，可得答案；對于 B，由題意，設(shè)出直線的點斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；對于C，整理函數(shù)的一般方程，建立方程組，可得答案；對于D，利用分類討論思想，結(jié)合垂直直線的關(guān)系，建立方程，可得答案.【詳解】對于A，由直線方程，可得其斜率，設(shè)其傾斜角為，則，由，則解得，故A正確；對于B，由題意，直線斜率一定存在，可設(shè)為，由過，則，令，則，令，則，由題意可得，整理可得，解得或，所以直線方程為或，故B錯誤；對于C，由直線方程，整理可得，令，解得，所以直線過定點，故C正確；對于D，當(dāng)時，直線，則，直線，則，由，則此時不符合題意；當(dāng)時，直線，則，直線，則，由，則，解得，則此時符合題意，故D正確.故選：ACD.10.已知點P在⊙O：x2+y2＝4上，點A（3，0），B（0，4），則（）A.線段AP長度的最大值是5B.滿足的點P有且僅有2個C.過直線AB上任意一點作⊙O的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過定點（12，1）D.2|PA|+|PB|的最小值為【答案】AD【解析】【分析】圓上點到圓外點距離最大值為圓心與圓外點的距離加上半徑，判斷A；利用找到直線，求出圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷B；作圖通過圖象分析判斷C；設(shè)設(shè) ，設(shè)存在定點，使得點在⊙O任意移動時均有，進而求出點的軌跡方程，結(jié)合點在⊙O上個求得答案，判斷D.【詳解】對于A，x2+y2＝4圓心，半徑，，所以，故A正確；對于B，由題意知，當(dāng)時，到直線距離等于，此時符合要求一共兩條，且直線與⊙O相交，故滿足的點P有4個，故B錯誤；對于C，如圖，顯然過直線AB上任意一點作⊙O的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN不過定點（12，1），故C錯誤；對于D，的最小值，即為的最小值，假設(shè)存在定點，使得點在⊙O任意移動時均有，設(shè)，則有，化簡得，因為， 則有，即，所以，，所以，所以D正確，故選：AD.11.如圖，已知拋物線，過拋物線焦點的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點，則（）A.B.C.當(dāng)直線斜率為時，D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)聯(lián)立直線方程與拋物線方程，即可得韋達定理，進而由向量的坐標(biāo)運算即可求解A，根據(jù)焦半徑即可求解BC，結(jié)合基本不等式即可求解D.【詳解】由題意可得設(shè)直線方程為，,則，所以，對于A，，故A正確，對于B，，B正確，對于C，當(dāng)直線斜率為時，直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得 ，解得，所以所以，故C正確，對于D，，將代入可得，所以，故D錯誤，故選：ABC12.已知棱長為1的正方體中，為正方體內(nèi)及表面上一點，且，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，與平面所成角的最大值為B.當(dāng)時，恒成立C.存在，對任意，與平面平行恒成立D.當(dāng)時，的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意畫出正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行逐項求解判斷.【詳解】由題意得：以點為坐標(biāo)原點，所在直線為，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖： 則：，，，，，，，，，，得：對于A項：當(dāng)時，，，平面的一個法向量為：，設(shè)與平面所成的角為，所以：因為：，所以：，所以：當(dāng)時，有最大值，此時：，故A項錯誤；對于B項：，則：，所以：，所以：，故B項正確；對于C項：由題意知平面的一個法向量為：，，所以：當(dāng)時，，即：，且不在平面內(nèi)，此時：對于任意，與平面平行恒成立，故C項正確；對于D項：當(dāng)時，得：， ，當(dāng)時，有最小值，故D項錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4題，每小題5分，共20分）13.兩條平行直線與間的距離______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平行線間距離公式計算．【詳解】由題意．故答案為：．14.已知，，，且共面，則x的值為_____．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)，則，可得，解得.故答案為：.15.已知點，圓上恰有兩點滿足，則r的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得點的軌跡為以點為圓心，半徑為2的圓，即可根據(jù)兩圓有兩個交點求解.【詳解】設(shè)，則， 由得，故點的軌跡為以點為圓心，半徑為2的圓，要使圓上恰有兩點滿足，則與兩圓有兩個交點，故，解得，故答案為：16.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的值為____________．【答案】【解析】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得到關(guān)于的表達式，結(jié)合離心率的定義求解即可.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，則，則，，所以.故答案為：．四、解答題（本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.三棱柱中，，．設(shè)，，．（1）試用表示向量；（2）若，，求的長． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)乘與加法運算，結(jié)合題意，可得答案；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積運算，可得答案.【小問1詳解】由，則，由，則，由圖形知．【小問2詳解】由題設(shè)條件：，同理可得，則，∴.18.如圖，在平行四邊形OABC中，點O是原點，點A和點C的坐標(biāo)分別是為線段AB上的動點．（1）當(dāng)D運動到AB中點時，求直線CD的一般式方程；（2）求線段CD的中點M的軌跡方程．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率公式計算，即可由點斜式求解方程，（2）根據(jù)中點坐標(biāo)公式，代入方程中即可求解.小問1詳解】∵,故，．所以直線方程為，即∴所在直線方程一般式是．【小問2詳解】設(shè)點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，由平行四邊形的性質(zhì)得,∵是線段的中點，∴，于是有，直線的方程為，∵點在線段上運動，∴，∴，即．19.已知圓過點，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若半徑小于的圓與直線交于、兩點，____，求的值．從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】（1）或 （2）條件選擇見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)已知條件得出，，分、兩種情況討論，求出的值，即可得出圓的方程；（2）求出圓的方程，選①或選②，過點作于點，求出，即為圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求出的值.【小問1詳解】解：設(shè)圓的方程為，因圓過點，所以，又因為圓兩坐標(biāo)軸均相切，所以，若，則，整理可得，解得或，此時，圓的方程為或；若，則，整理可得，，方程無解.綜上所述，圓的方程為或.【小問2詳解】解：因為圓的半徑小于，所以，圓的方程為，如果選擇條件①：由，，得，過點作于點，則為的中點，則， 所以圓心到直線的距離，則，解得；如果選擇條件②：，在中，，過點作于點，則，所以圓心到直線的距離，則，解得.20.已知雙曲線C：的離心率為，點在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程；（2）雙曲線C上是否存在點B，使得對雙曲線C上任意一點P（其中），都有為定值？若存在，請求出該定值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，定值為1【解析】【分析】（1）由離心率，雙曲線所過點的坐標(biāo)，及列方程組求解可得；（2）設(shè)是雙曲線上任一點，取點，計算得定值．【小問1詳解】 由題意得，解得，故雙曲線C的方程為；【小問2詳解】法一：存在點B，使得對雙曲線上任意一點P（其中），都有為定值1，證明如下：設(shè)是雙曲線上任意一點P（其中），則，即=4∴．法二：設(shè)定點為，設(shè)是雙曲線上任意一點P（其中），則，即=4，，，由于，而是任意的實數(shù)，要使得它為常數(shù)，這個常數(shù)只有為1，由得，滿足，所以存在定點，使得為定值且定值為1.21.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記． （1）問a為何值時，MN的長最??？（2）當(dāng)MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點間距離公式、配方法進行求解即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為平面平面，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理易知，平面，于是，從而兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，．，，當(dāng)時，最小，最小值為；【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)，為中點時，最短，則，取的中點，連接，，則，，，，，是平面與平面的夾角或其補角．，， ．平面與平面夾角的余弦值是．22.已知橢圓的離心率為，且過點.點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）如圖過拋物線的焦點F作斜率為的直線交拋物線于A，B兩點（點A在x軸下方），直線交橢圓于另一點Q.記，的面積分別記為，當(dāng)恰好平分時，求的值.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）由橢圓離心率和經(jīng)過點可得答案；（2）設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，且A，F(xiàn)，B共線得，從而，，，可求出直線的斜率為.當(dāng)平分時，利用，求出，從而的值，由此直線，由于，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，再利用，可得答案.【小問1詳解】由于橢圓的離心率為，則，所以，故設(shè)，由于橢圓經(jīng)過點，從而，故橢圓的方程為.由于點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，故，從而拋物線.【小問2詳解】由于，設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，由于，則，，由于，，且A，F(xiàn)，B共線得， 故，從而，，從而，，由于，則直線的斜率為，當(dāng)平分時，則，即，即即，從而或，從而或，由于，故，由此直線.由于，考慮到，從而，從而，聯(lián)立，即，從而，則， 從而，由此，，