《重慶市楊家坪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶市楊家坪中學(xué)高2025屆高二上期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，從而可得直線的傾斜角.【詳解】由題知直線的斜率，故直線的傾斜角為．故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角的求法，可先求出斜率，再根據(jù)兩者之間的關(guān)系求出傾斜角，本題屬于基礎(chǔ)題.2.已知圓的方程是，則它的半徑是（）A.1B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得半徑的長．【詳解】圓的方程可化簡為則它半徑是故選：B3.直線和直線平行，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】 由直線的斜率存在，可得兩直線平行其斜率相等，且截距不相等；【詳解】直線的斜率存在，直線和直線平行，，且，解得，故選：D.4.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖是陽馬，，，，．則該陽馬的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題目條件有，則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.【詳解】因，平面ABCD，平面ABCD，則，又因四邊形ABCD為矩形，則.則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.又，，．則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為：，則外接球的表面積為：故選：B5.如圖，平行六面體中，，，， ，則與所成角的大小為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，表示出，，計(jì)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，三向量的夾角皆為，由題意可得，，故，即，所以與所成角的大小為，故選：C6.已知直線：過定點(diǎn)，直線：過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（）A.10B.12C.13D.20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，結(jié)合，得到，利用勾股定理，即可求解.【詳解】由直線過定點(diǎn)， 直線可化為，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，又由直線和，滿足，所以，所以，所以.故選：C.7.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由可得，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.而可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，由，得，即，所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.又，其中可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以，所以，即的最大值為.故選：D.8.如圖，已知正方體的棱長為4，是的中點(diǎn)，若，，，若，則面積的最小值為（） A.4B.8C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意知點(diǎn)M在平面內(nèi)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，取AB的中點(diǎn)N，連接，則點(diǎn)M的軌跡為線段，過點(diǎn)B作，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，知點(diǎn)M在平面內(nèi)，以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，即，取AB的中點(diǎn)N，連接，則點(diǎn)M的軌跡為線段，過點(diǎn)B作，則，又平面，故， 所以的最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】向量，，則，A正確；顯然，B正確；由數(shù)量積的定義得，C錯(cuò)誤；顯然，則，即有，D錯(cuò)誤.故選：AB10.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線可以用方程表示B.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為C.直線一定經(jīng)過第一象限D(zhuǎn).截距相等直線都可以用方程表示【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，直線的兩點(diǎn)式和截距式方程形式，以及直線系方程，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線，只有時(shí)，才可以用方程表示，所以A錯(cuò)誤； 對于B中，經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為且時(shí)，直線方程為，所以B不正確；對于C中，直線，可化為，由，解得，所以直線恒過點(diǎn)位于第一象限，所以直線一定經(jīng)過第一象限，所以C正確；對于D中，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距為時(shí)，不能用方程表示，所以D錯(cuò)誤.故選：ABD.11.已知梯形，，，，是線段上的動點(diǎn)；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項(xiàng)中正確的是（）A.不論何時(shí)，與都不可能垂直B.存在某個(gè)位置，使得平面C.當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大值為D.當(dāng)平面平面時(shí)，四面體的外接球的表面積為【答案】AD【解析】【分析】假設(shè)，可得，與為直角矛盾，即可判斷A；假設(shè)存在某個(gè)位置，使得平面，可得與當(dāng)且僅當(dāng)在BC上時(shí)，矛盾，即可判斷B；如圖，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則四面體的最大體積為，結(jié)合錐體的體積公式計(jì)算即可判斷C；由選項(xiàng)C的分析，由圖形可得O為四面體的外接球的球心，半徑，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：如圖1，取DB的中點(diǎn)E，連接，則，假設(shè)，有平面，得，與為直角矛盾，故A正確；B：假設(shè)存在某個(gè)位置，使得平面，則，，又，所以，如圖2， 當(dāng)且僅當(dāng)在BC上時(shí)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；C：如圖3，取BD的中點(diǎn)E，連接，則，由平面平面，平面平面，得平面，所以四面體的最大體積為，故C錯(cuò)誤；D：如圖4，取BC的中點(diǎn)O，連接，則，由選項(xiàng)C的分析可得平面，又平面，所以，由，平面，所以平面，故平面，則O為四面體的外接球的球心，半徑，故四面體的外接球表面積為，故D正確.故選：AD.12.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則下列正確的是（）A.重心的坐標(biāo)為或B.垂心的坐標(biāo)為或C.頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為或D.歐拉線將分成的兩部分的面積之比為【答案】BCD 【解析】【分析】由題意先求出AB的中垂線方程，再與歐拉線方程聯(lián)立可求出的外心，設(shè)，則可得三角形的重心為，代入歐拉線方程，再結(jié)合三角形的外心可求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)是或，從而可得三角形的重心坐標(biāo)，結(jié)合圖形可求出垂心的坐標(biāo)和歐拉線將分成的兩部分的面積之比【詳解】AB中點(diǎn)為，AB的中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得.∴的外心為，設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，代入歐拉線方程得：，整理得：①又外心為，所以，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)是或.重心的坐標(biāo)為或；由于或，所以垂心的坐標(biāo)為或. 因?yàn)橹本€與歐拉線平行，所以兩部分的面積之比是或.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓的方程是，則圓心到原點(diǎn)的距離為_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到圓心為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】，圓心，半徑.圓心到原點(diǎn)的距離.故答案為：14.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是____________．【答案】【解析】【分析】點(diǎn)到平面的距離即三棱錐的高，利用三棱錐等體積即列式可得解. 【詳解】，是等邊三角形，又是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面，可得，又，是平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，，即三角形是直角三角形，又，，，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15.直線分別交軸和于點(diǎn)，，為直線上一點(diǎn)，則的最大值是__________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，結(jié)合 ，結(jié)合當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，即可求解.【詳解】由直線分別交軸和于點(diǎn)，可得，如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，又由，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，即的最大值為，即的最大值為.故答案：.16.定義：，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】由可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】對，，所以.則， 又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，其中點(diǎn)在直線上（1）若，求的邊上的中線所在的直線方程：（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由題意可得，AB的中點(diǎn)，利用兩點(diǎn)求斜率公式和直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）設(shè)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示，結(jié)合和平面數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出方程，解之即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，AB的中點(diǎn)為，則，由直線的點(diǎn)斜式方程得MC的方程為，即；【小問2詳解】設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得.18.如圖，多面體中，平面，且，，，是的中點(diǎn)． （1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，易證四邊形為平行四邊形，得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）分別取AB、EF的中點(diǎn)O、D，連接OD，OC，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明OC、OA、OD兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量法求線面角即可求解.【小問1詳解】由題意，取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，得，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】分別取AB、EF的中點(diǎn)O、D，連接OD，OC，則，由平面，得平面，則，又為正三角形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，得，而平面，所以平面，故OC、OA、OD兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 則，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，得，設(shè)ME與平面所成角為，，則，所以，故ME與平面所成角為.19.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為.（1）求直線的一般式方程；（2）在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求直線的一般式方程.①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】（1）（2）答案詳見解析【解析】【分析】（1）求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的一般式方程. （2）若選①，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直線的一般式方程.若選②，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段的中點(diǎn)在直線以及在直線上求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直線的一般式方程.【小問1詳解】邊上的高所在的直線方程為，斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得.【小問2詳解】若選①，角A的平分線所在直線方程為，，故.設(shè)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，即，由于是直線上的點(diǎn)，所以，所以直線的方程為，整理得直線的一般式方程為.若選②，邊上的中線所在的直線方程為，，故. 設(shè)，則的中點(diǎn)在直線上，即，整理得，在直線，即，，即，所以，所以直線的方程為，整理得直線的一般式方程為.20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若交平面于，用，，表示向量．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合棱錐的性質(zhì)求解即可；（2）連接，交于點(diǎn)，連接，則可得，由三點(diǎn)共線，設(shè),由三點(diǎn)共線，設(shè),而，代入化簡可求出的值，從而可表示出. 【小問1詳解】因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)，，，所以【小問2詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，則平面平面，因?yàn)榻黄矫嬗冢矫?，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè),所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè),所以,所以，因?yàn)椴还簿€，所以，解得，所以 21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面等邊三角形，底面為等腰梯形，且（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明和可得平面即可證明；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系即可建立關(guān)系求解.【小問1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，在等邊中，可得，在等腰梯形中，有又因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)椋云矫?又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以平面平面【小問2詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)依次為：，，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，由，令，得，易知平面的法向量為，由，解得或（舍?所以，故.22.正方形ABCD中，，點(diǎn)O為正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，且，設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若P為平面ABCD外一點(diǎn)，滿足，記，求的取值范圍.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系得到，坐標(biāo)，進(jìn)而寫出、坐標(biāo)，應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)表示求目標(biāo)式的值.（2）以A為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合換元法及三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【小問1詳解】構(gòu)建如下圖示的平面直角坐標(biāo)系，則，，當(dāng)，則，故，，所以，，則.【小問2詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，所以且，則， 所以，令，則，可得，若，則，此時(shí)在上遞增，所以