《浙江省舟山中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

舟山中學(xué)高二第一學(xué)期第一次素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷（分?jǐn)?shù)：150分時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C2.已知方程表示的曲線是橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.3.點(diǎn)是圓內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.相切或相交【答案】C 【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，得到，再計(jì)算圓心到直線的距離為d，并與半徑作比較，即可得到答案．【詳解】M在圓內(nèi)，且不為圓心，則，則圓心到直線的距離為，所以相離．故選：C．4.若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由，所以，半徑，過(guò)圓心作直線的垂線交圓分別于A、B兩點(diǎn)，易知，當(dāng)圓心C到的距離時(shí)可得，此時(shí)圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為2，滿足題意，如圖所示，可知到的距離為：. 故選：A5.已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.[,]C.D.）【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓. 直線過(guò)定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求解與應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.已知原點(diǎn)到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由已知，直線滿足到原點(diǎn)的距離為，到點(diǎn)的距離為，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，因?yàn)檫@兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線.故選C.考點(diǎn)：相離兩圓的公切線7.橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距成等差數(shù)列，若點(diǎn)P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，且P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及橢圓的定義先計(jì)算，利用三角換元設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算范圍即可.詳解】由題意可知，即，結(jié)合題意不妨設(shè)， 則，所以，由題意得，令，則由二次函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，上式取得最大值，當(dāng)時(shí)，，故.故選：C8.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求） 9.已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)），且的周長(zhǎng)為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦距為1B.橢圓的短軸長(zhǎng)為C.面積的最大值為D.橢圓上存在點(diǎn)，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，解得可判斷AB；設(shè)，由知當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，設(shè)，求出、，可看作方程，求出判別式可判斷D.【詳解】由已知得，，解得，，對(duì)于A，橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)面積的最大，此時(shí)，所以面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，所以，，，所以是方程，其判別式，所以方程無(wú)解，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（）A.公共弦AB所在直線的方程為B.公共弦AB所在直線的方程為C.公共弦AB的長(zhǎng)為D.P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB的距離的最大值為【答案】AD 【解析】【分析】根據(jù)公共弦方程的求法計(jì)算即可判定A、B選項(xiàng)，利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可判定C選項(xiàng)，利用圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式可判定D項(xiàng).【詳解】由兩圓的方程作差可知公共弦AB方程為：，故A正確，B錯(cuò)誤；由，易知，半徑，則點(diǎn)到的距離為，故弦長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，并在如下圖所示位置時(shí)，P到直線AB的距離的最大，為，故D正確；故選：AD11.“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為 ．則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7C.若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為D.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，易得，，從而判斷；選項(xiàng)B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點(diǎn)間距離問(wèn)題；選項(xiàng)C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項(xiàng)D中分析蒙日?qǐng)A的關(guān)鍵信息，圓心是原點(diǎn)，找兩條特殊的切線，切線交點(diǎn)在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對(duì)于B，半圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是，半橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確； 對(duì)于C，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以cos∠APB的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點(diǎn)為，該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：，故D正確．故選：ABD．12.已知F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則（）A.的最小值為2B.的面積的最大值為C.直線BE的斜率為D.為直角【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A、P坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義、均值不等式、斜率坐標(biāo)公式逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)，由橢圓對(duì)稱性知線段AB，互相平分于點(diǎn)O，則四邊形為平行四邊形，如圖， 則，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，A不正確；設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即，因，垂足為E，則，B正確；因，有，由橢圓對(duì)稱性可得，而，則直線BE的斜率，C正確；設(shè)，由及得，，即，直線PA，PB的斜率有，而，于是得，有，所以為直角，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)橢圓中心的弦(除橢圓長(zhǎng)軸外)與橢圓二焦點(diǎn)圍成平行四邊形.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線，若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____，動(dòng)直線被圓 截得弦長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過(guò)定點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短.【詳解】由題意得，所以．當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故．因?yàn)閳A的方程可化為，即圓心為，半徑為5．由于直線過(guò)定點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，且最短弦長(zhǎng)為．故答案為：；14.若過(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】先將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，通過(guò)半徑的平方大于0可得到，再通過(guò)點(diǎn)能作兩條圓的切線，可得到點(diǎn)在圓外，能得到或，即可得到答案【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑的平方為，即，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作圓的切線有兩條，所以點(diǎn)在圓外，故點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，即，解得或， 綜上所述，的取值范圍是，故答案為：．15.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，那么的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴橢圓C的方程為考點(diǎn)：橢圓的定義及幾何性質(zhì)16.已知F1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓的焦點(diǎn)，M是橢圓上第一象限的點(diǎn)，若I是的內(nèi)心，G是的重心，記與的面積分別為S1，S2，則___________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)離心率確定，再根據(jù)條件用表示的面積，然后尋找及與的面積的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】由于橢圓的離心率為，所以，即，設(shè)的面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，則， 所以，所以，因?yàn)镚是的重心，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是及和的面積建立聯(lián)系.四、解答題（本大題共6小題，共73.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合圓內(nèi)切的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，由得，即動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)，的距離之和等于定圓的半徑，∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，則，.∴的軌跡方程是． 18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上.（1）若圓心C也在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使得，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）所求切線方程為或；（2）【解析】【分析】（1）先求得圓心，再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程.分類(lèi)討論斜率不存在和存在時(shí)的情況，由圓心到切線的距離等于半徑求得切線方程；?（2）可設(shè)圓心?，設(shè)點(diǎn)，則由可得，設(shè)此圓為圓D，由題意可得，圓C和圓D有交點(diǎn)，故兩圓相交，由此有，解之可得的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，知圓心C是直線和的交點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為，滿足條件；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由題意得，解得，所以切線方程為.故所求切線方程為或.（2）因?yàn)閳A心C在直線上，所以設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即， 所以點(diǎn)M在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點(diǎn)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則，即，解得.所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓相切的等價(jià)條件和圓與圓相交的等價(jià)條件是解題的關(guān)鍵，此題屬綜合性較強(qiáng)的中檔題.19.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線斜率不存在時(shí)弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，即可得解；【小問(wèn)1詳解】 解：依題意，解得，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；20.已知橢圓及直線，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)；（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)點(diǎn)、，列出韋達(dá)定理，由，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并代入韋達(dá)定理，進(jìn)而可計(jì)算得出的值，由此可求得直線的方程.【詳解】（1）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得，由于直線與橢圓有公共點(diǎn)，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，， ，所以，，解得.因此，直線的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，﹣1)，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B(1，0)，求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫(xiě)出橢圓方程；（2）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立直線與橢圓，寫(xiě)出韋達(dá)定理，將用表示出來(lái)，證明即可.【詳解】（1）解：由題意可知，解得，所以橢圓C的方程為.（2）證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)， 由得，所以.所以當(dāng)k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有.所以，.因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為M，所以，，因?yàn)锽(1，0)，所以，.所以.又因?yàn)閗0，，所以，所以點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.22.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，，且．（1）求的方程．（2）若，為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)且垂直軸的直線平分，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結(jié)合，可得答案.（2）由條件先得出，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，代入結(jié)論中可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以，又，所以，，故的方程為．?）證明：由題意可知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，則，，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則，，所以，即，所以，所以，化簡(jiǎn)可得，所以直線的方程為， 故直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出，設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達(dá)定理代入解決，屬于中檔題.