《浙江省“南太湖”聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023學(xué)年第一學(xué)期“南太湖”聯(lián)盟高二年級第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再求兩集合的并集【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C3.若m，n是互不相同的直線，是不重合的平面，則下列說法不正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D 【解析】【分析】由線面的位置關(guān)系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的關(guān)系逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A：由線面平行的性質(zhì)可知，故A正確；對于B：垂直于同一個平面的兩條直線平行，故B正確；對于C：平面內(nèi)兩條相交直線分別和另一個平面平行，則兩個平面平行，故C正確；對于D：，則或或或與相交，故D錯誤；故選：D4.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，所以.故選：B.5.如圖，生活中有很多球缺狀的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠面積公式為，球缺的體積公式為，其中R為球的半徑，H 為球缺的高．現(xiàn)有一個球被一平面所截形成兩個球缺，若兩個球冠的面積之比為，則這兩個球缺的體積之比為（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，，代入體積公式計算即可.【詳解】設(shè)小球缺的高為，大球缺的高為，則，①由題意可得：，即：，②所以由①②得：，，所以小球缺的體積，大球缺的體積，所以小球缺與大球缺體積之比為.故選：C.6.已知向量，，且，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.【詳解】由兩邊平方得， 所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C7.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.【詳解】在中，，，，在中，，由，，中，.故選：A8.棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在棱CD上運(yùn)動，點(diǎn)Q在側(cè)面上運(yùn)動，滿足平面，則線段PQ的最小值為（） A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，根據(jù)線面垂直得到方程組，求出，，從而求出，得到線段PQ的最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以，，因?yàn)槠矫妫?，故，，故，其中，故，故?dāng)時，，此時滿足要求，所以線段PQ的最小值為. 故選：A二、多選題：本答題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若，，，則事件與的關(guān)系錯誤是（）A.事件與互斥B.事件與對立C.事件與相互獨(dú)立D.事件與既互斥又獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)積事件概率不為零可確定與不互斥，不對立，可得ABD錯誤；根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可知C正確.【詳解】對于ABD，，事件與不互斥，不對立，ABD錯誤；對于C，，，事件與相互獨(dú)立，C正確.故選：ABD.10.對數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）A.B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】AB選項(xiàng)，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，推出，再判斷二次函數(shù)，從開口方向和其中一根與1的比較，得到A可能，B不可能；CD選項(xiàng)，從對數(shù)函數(shù)出發(fā)，得到，再判斷二次函數(shù)，也是從開口方向和其中一根與1的比較，得到CD均不可能.【詳解】選項(xiàng)A，B中，由對數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)，其對應(yīng)方程的兩個根為0，，選項(xiàng)A中，由圖象得，從而，選項(xiàng)A可能；選項(xiàng)B中，由圖象得，與相矛盾，選項(xiàng)B不可能．選項(xiàng)C，D中，由對數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；選項(xiàng)C中，由圖象與x軸的交點(diǎn)的位置得，與相矛盾，選項(xiàng)C不可能．故選：BCD．11.關(guān)于函數(shù)，下列命題是真命題的是（）A.函數(shù)的周期為B.直線是的一條對稱軸C.點(diǎn)是的圖像的一個對稱中心D.函數(shù)的最大值為2【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合輔助角公式可得，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】， ，則，故A正確；當(dāng)時，不是最值，故直線不是的一條對稱軸，故B錯誤；當(dāng)時，，終邊落在x軸上，故點(diǎn)是的圖像的一個對稱中心，故C正確；函數(shù)的最大值為，故D錯誤.故選：AC12.在棱長為2的正方體中，為棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.對于任意點(diǎn)，都有平面平面C.異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是D.若平面，則平面截該正方體截面圖形的周長最大值為【答案】AB【解析】【分析】利用線面平行的判定判斷A；利用面面垂直的判定判斷B；求出異面直線夾角的余弦范圍判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，為棱上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)）， 對于A，當(dāng)點(diǎn)與重合時，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正確；對于B，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，因此平面平面，B正確；對于C，由平面，平面，得，因?yàn)?，顯然是銳角，則是異面直線與所成的角，而，，C錯誤；對于D，當(dāng)點(diǎn)與重合時，與選項(xiàng)B同理得平面，當(dāng)平面為平面時，平面截正方體所得截面圖形為矩形，其周長為，D錯誤.故選：AB三、填空題三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若向量與平行，則______．【答案】或【解析】【分析】先求出和的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計算即可．詳解】由，，則，，又向量與平行，即存在使得成立，則有，解得或．故答案為：或．14.數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為______．【答案】 【解析】【分析】先利用平均數(shù)的性質(zhì)求得參數(shù)，再利用百分?jǐn)?shù)位數(shù)據(jù)定義即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)是7，所以，解得，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為第位數(shù)，即.故答案為：.15.若的面積為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用面積公式和余弦定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的面積為，則，由余弦定理可得：，整理得，且，所以；故答案為:16.正方體的棱長為2，若動點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，，，．，，．點(diǎn)在線段上運(yùn)動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應(yīng)給出文字說明、證明過程.17.已知，．（1）求與夾角的余弦值；（2）當(dāng)時，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求得正確答案.（2）根據(jù)列方程，從而求得的值.【小問1詳解】 .【小問2詳解】由于，所以，所以，，解得或.18.習(xí)近平總書記指出：“要健全社會心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個等級：調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少? 【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)列式求解，（2）由分層抽樣與對立事件的概率公式求解．【小問1詳解】由已知條件可得，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人，因?yàn)榻?jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級均達(dá)不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.19.在中，角的對邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換化簡已知條件，從而求得.（2）利用三角形的面積求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得，從而求得的周長.【小問1詳解】由得， ，，由正弦定理得，，.【小問2詳解】的面積為，即，得，，，，由余弦定理可得，，三角形的周長為.20.已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以． 此時，經(jīng)驗(yàn)證，，故．【小問2詳解】由（1）可知，任取，則，因?yàn)椋瑒t，所以所以是上的增函數(shù)．由恒成立，得恒成立，則，所以恒成立，因?yàn)?，所以．?shí)數(shù)的取值范圍為：．21.如圖，是⊙O的直徑，垂直于⊙O所在的平面，是圓周上不同于的一動點(diǎn)．（1）證明：是直角三角形； （2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由圓的性質(zhì)可得，再由平面，則，然后由面面垂直的判定可得平面，從而可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）過作于，可證得是直線與平面所成的角，在中求解即可.【小問1詳解】證明：∵是⊙O的直徑，是圓周上不同于的一動點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴．又，平面，∴平面，又平面，∴，∴是直角三角形．【小問2詳解】解：過作于，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∴是直線與平面所成的角，在中，，在中，， 故直線與平面所成角的正弦值為．22.如圖所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上(M，N不與A，B重合，M在A，N之間)，且．（1）若M在距離A點(diǎn)2km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，設(shè)∠AOM=，，試確定，當(dāng)θ為多大時△OMN的面積最小，并求出最小面積值．【答案】（1）km（2）時面積最小，最小值為【解析】【分析】（1）由條件根據(jù)余弦定理求得；再用余弦定理和正弦定理即可求得；（2）利用正弦定理表示出的長，利用三角形面積公式表示出的面積，化簡并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】依題意，，在中，由余弦定理得，，則,，在中，， 所以在中，由正弦定理，，得，即點(diǎn)M，N之間的距離為km.【小問2詳解】，在中，由正弦定理得，，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因?yàn)?，所以?/p>