《浙江省杭州市北斗聯盟2023-2024學年高二上學期期中聯考數學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

2023學年高二年級第一學期杭州北斗聯盟期中聯考數學試題考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出．【詳解】解：集合，，．故選：B．【點睛】本題主要考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質等基知識，考查運算求解能力，是基礎題．2.若復數z滿足（其中i為虛數單位），則z的虛部是（）A.2iB.C.2D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法運算求出，再根據復數的概念可得結果. 【詳解】因為，所以，所以復數的虛部為.故選：D3.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據直線垂直求出范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4.物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（）A.25B.5C.D.【答案】A【解析】【分析】利用條件，先求出兩個力的合力及，再利用功的計算公式即可求出結果.【詳解】因為，，所以，又，，所以，故.故選：A.5.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則 的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】轉化為點與連線的斜率，數形結合后由直線與圓的位置關系求解，【詳解】記，則為直線的斜率，故當直線與半圓相切時，得k最小，此時設，故，解得或（舍去），即．故選：C6.已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期，再根據周期以及對應函數值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C. 點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．7.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四點共面，可得存在實數，使，再轉化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因為D，E，F，M四點共面，所以存在實數，使，所以，所以， 所以，所以．故選：D8.如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，先求出正四面體的內切球半徑，再利用三個球的半徑之間的關系得到另外兩個球的半徑，得到答案.【詳解】如圖，取的中點，連接，，則，，過點作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點為最大球的球心，連接并延長，交于點，則⊥，設最大球的半徑為，則，因為∽，所以，即，解得， 即，則，故設最小球球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設切點分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個球的表面積和為.故選：B【點睛】解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.有一組樣本甲的數據，一組樣本乙的數據，其中為不完全相等的正數，則下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若樣本甲的中位數是，則樣本乙的中位數是 D.若樣本甲的平均數是，則樣本乙的平均數是【答案】ACD【解析】【分析】根據統(tǒng)計中的相關概念和性質運算求解.【詳解】不妨設樣本甲的數據為，且，則樣本乙的數據為，且，對于選項A：樣本甲的極差為，樣本乙的極差，因為，即，所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；對于選項B：記樣本甲的方差為，則樣本乙的方差為，因為，即，所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；對于選項C：因為樣本甲的中位數是，則樣本乙的中位數是，故C正確；對于選項D：若樣本甲的平均數是，則樣本乙的平均數是，故D正確；故選：ACD.10.已知，是圓O：上兩點，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若點O到直線AB的距離為，則C.若，則的最大值為D.若，則最大值為4【答案】AD【解析】【分析】對于選項A，B，根據垂徑定理可判斷，對于選項C，D，根據點到直線的距離公式可求解判斷. 【詳解】對于A，若，則可知點到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯誤；對于C，D，的值可轉化為單位圓上的兩點到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，兩點到直線的距離之和為的中點到直線的距離的兩倍.點到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯誤，D正確..故選：AD.11.已知甲盒中有五個相同的小球，標號為1，2，3，4，5，乙盒中有五個相同的小球，標號為3，4，5，6，7.現從甲、乙兩盒中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標號相同”，事件B＝“抽取的兩個小球標號之和為奇數”，事件C＝“抽取的兩個小球標號之和大于8”，則（）.A.事件A與事件B是互斥事件B.事件A與事件B是對立事件 C.D.【答案】AC【解析】【分析】首先分別列舉三個時間包含的樣本點，再結合互斥，對立時間的定義，以及選項，即可判斷選項.【詳解】事件A的所有基本事件為甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3個；事件B的所有基本事件為甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12個；事件C的所有基本事件為甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10個.從甲、乙兩盒中各取1個小球共有25個基本事件.因為事件A與事件B不可能同時發(fā)生，所以事件A與事件B互斥，故A正確；因為，，，所以B錯誤；因為事件的所有基本事件共有12個，所以，所以，故C正確；因為事件的所有基本事件共有6個，所以，所以，故D錯誤.故選：AC12.如圖，在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面或內部一點，直線與底面所成的角分別記為，且，記動點P的軌跡與棱的交點為，則下列說法正確的是（）A.為中點 B.線段長度的最小值為5C.存在一點，使得平面D.若在正四棱柱表面，則點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用線面夾角的定義確定P在球上，結合球的特征可判定A、B、D選項，構造面面平行及球心到線段的距離可判定C項.【詳解】設在底面的投影為，連接，由題可知，所以，即，建系可得：，，，即化簡得：，即P在球心，半徑的球上，所以，故B正確；設，則，即，故A錯誤；取上一點上一點，使， 連接，易得，由正四棱柱的特征可知：，而平面，平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，易知球心到線段的距離為，故截面與球存在交點，所以存在一點，使得平面，故C正確；當位于側面上時，P軌跡為劣弧，易知，當位于側面上時，P軌跡為劣弧，易知，則點的軌跡長度,如下圖所示：故D正確. 故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點且方向向量為的直線的方程為___________．【答案】【解析】【分析】由題意可得直線的斜率，再由點斜式方程即可求解【詳解】因為直線過點且方向向量為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故答案為：14.已知，，且，則的最小值為______.【答案】1【解析】【分析】構造，展開，利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，即，因，，所以，，當且僅當，即時取等號. 所以的最小值為1.故答案為：115.某學校10位同學組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責，每次獻愛心活動均需該組織2位同學參加．假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立，隨機地發(fā)給2位同學，且所發(fā)信息都能收到，則甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為______．【答案】.【解析】【分析】問題的對立事件是甲同學既沒有收到李老師也沒有收到張老師的信息，而李老師和張老師的信息是相互獨立的，進而算出概率.【詳解】設甲同學收到李老師和張老師的信息分別為事件A，B，且相互獨立，∴，則甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知為：.故答案為：.16.已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數，的最小值是2，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，根據條件求得坐標，由二次函數求最值即可求得最小值.【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標系，則，由可設，由是單位空間向量可得，由可設， ，當，的最小值是2，所以，取，，，當時，最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據線面平行的判定即可證明線面平行；（2）取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和的坐標，利用向量法即可求得直線與平面所成角的正弦值． 【小問1詳解】取中點為，連接，，如圖所示，因為，分別是，的中點，所以且，又因為且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，設平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，又因為， 所以直線與平面所成角的正弦值為．18.亞洲運動會簡稱亞運會，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運動會，由亞洲奧林匹克理事會的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運會在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運動員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主.第19屆杭州2022年亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運知識競賽活動.活動分為男子組和女子組進行，最終決賽男女各有40名選手參加，右圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分數；（2）若計劃從男子組中105分以下的選手中隨機抽樣調查2個同學的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？（3）若女子組40位選手的平均分為117，標準差為12，試求所有選手的平均分和方差.【答案】（1），（2）（3）平均分為，方差為【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面積，再用1減去這個面積可得缺失部分的面積，除以10可得其高度，可求得第10名的成績是第75百分位數，然后利用百分位數的定義可求得結果；（2）求得105以下合計6個人，對這6人編號后，利用列舉法求解；（3）利用平均數和方差的定義求解即可.【小問1詳解】因為已有矩形的面積和為， 所以缺失的矩形面積為，所以高度為，由于，所以第10名記為第75百分位數，設第10名的成績?yōu)?，則位于第5組，且，解得，所以成績排名第10的選手分數為129；【小問2詳解】105以下合計6個人，將6人依次編號為1，2，3，4，5，6（95分以下的人編號為1，2），任選2個人的方法數，列舉出所有樣本點：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共計15種，包含1，2的有9種，故概率為；【小問3詳解】男子組選手的平均分，男子組得分的方差所有選手的平均得分為，所以所有選手得分的方差.19.已知函數.（1）若方程在上有且只有一個實數根，求實數m的取值范圍；（2）在中，若，內角A的角平分線，，求AC的長度.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導公式、輔助角公式化簡函數，再探討在 上的性質，畫出圖象，數形結合求解作答.（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，進而求出，再利用等腰三角形性質求解作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，則當時，單調遞增，函數值從增大到2，當時，單調遞減，函數值從減小到，方程在上有且只有一個實數根，即直線與函數在的圖象只有一個公共點，在同一坐標系內作出直線與函數在的圖象，如圖，觀察圖象，當或時，直線與函數在的圖象只有一個公共點，所以實數m的取值范圍是或.【小問2詳解】由（1）知，，即，在中，，即，則，解得，在中，，，由正弦定理得， 則，顯然，有，于是，即有，則，是等腰三角形，所以.20.已知圓：M：.關于直線對稱，記點，過點.的直線與圓相切于點.（1）求的最小值；（2）當取最小值時，求切點所在的直線方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)圓關于直線對稱則直線過圓心，再根據切線長可分析求解的最小值；（2）當取最小值時，直線垂直直線，進而可求兩個相交的圓的公切線即為切點所在的直線方程.【小問1詳解】因為圓關于直線對稱，所以直線過圓心，所以，即，故點的軌跡方程為，因為的最小值即為到直線的距離，由于，即，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，當取最小值時，直線垂直直線， 可得直線的方程為，即，聯立解得，因為，所以四點共圓，故以為直徑的圓的方程為，又已知圓，兩圓方程相減得的方程為.21.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內的射影為.（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求點到平面的距離；（3）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）法一：利用線面垂直、面面垂直的性質定理與判定定理可證；法二：建立空間直角坐標系，利用數量積為0，可證，從而得證；法三：如法二建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，證明其與平行，從而得證； （2）利用空間向量法求點到面的距離；（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數性質求值域.【小問1詳解】法一：連結，因為為等邊三角形，為中點，，又平面，平面，平面平面，又平面，由題設知四邊形為菱形，，分別為中點，，又平面平面.法二：由平面，平面，又為等邊三角形，為中點，，則以為坐標原點，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則又平面平面.法三：（同法二建系）設平面的一個法向量為 ，即不妨取，則，則所以平面的一個法向量為，，，平面【小問2詳解】由（1）坐標法得，平面的一個法向量為（或）點到F到平面的距離=【小問3詳解】設，則，；由（1）知：平面平面的一個法向量（或者由（1）中待定系數法求出法向量）；設平面的法向量，則，令，則；，令，則；， 即銳二面角的余弦值的取值范圍為.22.在區(qū)間上，如果函數為減函數，而為增函數，則稱為上的弱減函數.若（1）判斷在區(qū)間上是否為弱減函數（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍（3）若函數在上有兩個不同的零點，求實數的取值范圍【答案】（1）是上的弱減函數（2）（3）【解析】【分析】（1）利用初等函數的性質、弱減函數的定義，判斷是上的弱減函數．（2）根據題意可得，再利用函數的單調性求得函數的最值，可得的范圍．（3）根據題意，當，時，方程只有一解，分離參數，換元利用二次函數的性質，求得的范圍．【詳解】解：（1）由初等函數性質知在上單調遞減，而在上單調遞增，所以是上的弱減函數（2）不等式化為在上恒成立則，而由（1）知在單調遞增， ，解得所以（3）由題意知方程上有兩個不同根①當時，上式恒成立；②當時，方程只有一解令，則方程化為在上只有一解，令，，由在上單調遞增，在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知，在上單調遞減，，所以