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2022級高二學年上學期10月份月考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘分值：150分一、單選題（每小題5分，有且只有一個正確選項）1.過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.B.C.或D.或2.直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（）A.B.∪C.D.3.設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（）A.1B.2C.D.4.“”是“方程表示橢圓”的（）A充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件5.已知雙曲線的左焦點為為坐標原點，右焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且的周長為為線段的中點，則（）A.1B.2C.3D.46.已知，是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（） AB.C.D.7.已知點滿足方程，點．若斜率為斜率為，則的值為（）A.B.C.D.8.已知，則的最小值為（）A.B.C.D.二、多選題（每小題5分，有錯誤選項得0分，選項不全得2分）9.下列結(jié)論不正確的是（）．A.過點，的直線的傾斜角為B.直線恒過定點C.直線與直線之間的距離是D.已知，，點P在x軸上，則的最小值是510.設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（　　）A.不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B.所有圓均不經(jīng)過點C.經(jīng)過點的圓有且只有一個D.所有圓的面積均為411.設(shè)曲線方程為，下列選項中正確的有（）A.由曲線圍成的封閉圖形的面積為B.滿足曲線的方程的整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）有5個C.若，是曲線上的任意兩點，則，兩點間的距離最大值為D.若是曲線上的任意一點，直線l：，則點到直線的距離最大值為12.已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點，橢圓的離心率為，點 在橢圓上，點在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.不存在點，使得C.當時，的最大值為D.最小值為1三、填空題（每小題5分）13.已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為________.14.與橢圓有公共焦點，且離心率為的雙曲線方程為______．15.設(shè)點是圓：上的動點，定點，則的最大值為____．16.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點、距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，、，點滿足，則的最小值為___________.四、解答題（共6道，滿分70分，10+12+12+12+12+12）17.（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）若直線與直線垂直，求的值.18.直線l過點，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.（1）若，求直線l的方程；（2）當?shù)拿娣e為6時，求直線l的方程.19.在平面直角坐標系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程； （2）設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.20.黨的二十大報告提出要加快建設(shè)交通強國.在我國萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髨A弧的方程.（2）為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優(yōu)化了設(shè)計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.21.已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．22.已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過動點作直線交橢圓于兩點，且，過作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過定點，并求此定點的坐標． 2022級高二學年上學期10月份月考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘分值：150分一、單選題（每小題5分，有且只有一個正確選項）1.過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進行考慮，截距為零，直線過原點，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進行計算即可.【詳解】解法一當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為，即；當直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，解得，此時直線方程為.故選：解法二易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設(shè)直線方程為，則時，，時，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：2.直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（）A.B.∪ C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.【詳解】直線l的斜率，因為，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因為，所以或，所以直線l的傾斜角的取值范圍是故選：D.3.設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得.【詳解】對于橢圓，有.因為，所以，解得．故選：B4.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】 【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】等價于.若，則方程表示單位圓若方程表示橢圓，則橢圓方程可化為，則且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.5.已知雙曲線的左焦點為為坐標原點，右焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且的周長為為線段的中點，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)右焦點為，得到，進而得到，再根據(jù)的周長為得到，然后利用三角形中位線求解.【詳解】解：因為右焦點為，所以，又因為，則，又因為，則，所以為坐標原點，且為線段的中點，所以，故選：B 6.已知，是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依題意得點的軌跡是以焦距為直徑的圓,因此,進而可求出離心率的取值范圍.【詳解】因為,所以點的軌跡是以焦距為直徑的圓,又滿足的點總在橢圓內(nèi)部,∴,故選:B【點睛】本題主要考查橢圓離心率的求法,結(jié)合了向量,軌跡等相關(guān)知識,難度不大.7.已知點滿足方程，點．若斜率為斜率為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可知點在以為焦點的橢圓上，結(jié)合橢圓方程運算求解.【詳解】設(shè)，則，可得，即點在以為焦點橢圓上，且，所以點的軌跡為，整理得， 由題意可知：，所以.故選：A.8.已知，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先對所求式子配方整理，把問題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點，到直線同側(cè)的兩點間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問題，先對其中一點作關(guān)于直線的對稱點，進一步把問題轉(zhuǎn)化為，求兩點間的距離，求解即可.【詳解】該式子是表示點到點、點的距離之和，又，上述式子表示直線上的點到點、點的距離之和的最小值（如圖）.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，即，所以， 所以直線上的點到點、點的距離之和的最小值為.故選：D.二、多選題（每小題5分，有錯誤選項得0分，選項不全得2分）9.下列結(jié)論不正確的是（）．A.過點，的直線的傾斜角為B.直線恒過定點C.直線與直線之間的距離是D.已知，，點P在x軸上，則的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】A選項，求出過點，的直線的斜率，進而得到傾斜角不為；B選項，變形后得到方程組，求出恒過點；C選項，直線變形為，利用兩平行線間距離公式求出答案；D選項，在坐標系中畫出點的坐標，利用對稱性求出的最小值.【詳解】A選項，過點，的直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，由于，故過點，的直線的傾斜角不為，A錯誤；B選項，直線變形得到，令，解得，故直線恒過點，B錯誤；C選項，直線變形為，故與直線之間的距離是，故C錯誤；D選項，在平面直角坐標系中畫出，，兩點都在軸上方， 畫出關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸交于點，則即為最小值，則，D正確.故選：ABC10.設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（　　）A.不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B.所有圓均不經(jīng)過點C.經(jīng)過點的圓有且只有一個D.所有圓的面積均為4【答案】AB【解析】【分析】對于AD：由題意可知：圓，的圓心，半徑，進而分析判斷；對于CD：分別將點，代入方程，通過解的個數(shù)分析判斷.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑.對于選項A：不論k如何變化，圓心始終在直線上，故A正確；對于選項B：令，整理得，因為，可知方程無解，所以所有圓均不經(jīng)過點，故B正確； 對于選項C：令，整理得，因為，可知方程有兩個不同的解，所以經(jīng)過點的圓有且只有兩個，故C錯誤；對于選項D：因為半徑，所以所有圓的面積均為，故D錯誤；故答案為：AB.11.設(shè)曲線的方程為，下列選項中正確的有（）A.由曲線圍成的封閉圖形的面積為B.滿足曲線的方程的整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）有5個C.若，是曲線上的任意兩點，則，兩點間的距離最大值為D.若是曲線上的任意一點，直線l：，則點到直線的距離最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，作出曲線的圖象，再數(shù)形結(jié)合依次討論各選項求解即可．【詳解】對于曲線，當，時，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；當，時，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；當，時，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；當，時，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；當時，曲線表示坐標原點；即其圖象如圖所示， 由圖可知，對于A，曲線圍成的圖形的面積為4個半圓與1個正方形的面積之和，其面積為，故A正確；對于B，曲線恰好經(jīng)過，，，，，，，，共9個整點，故B不正確；對于C，曲線上兩點之間最大距離為，故C正確；對于D，由直線恒過定點，由知曲線上兩點之間最大距離為，故D正確．故選：ACD．12.已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點，橢圓的離心率為，點在橢圓上，點在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為B.不存在點，使得C.當時，的最大值為D.的最小值為1【答案】ABC【解析】【分析】A：根據(jù)點在橢圓內(nèi)部可得，從而可得 的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對于B，由可知，點為原點，顯然原點不在橢圓上，故B正確；對于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，所以當且僅當，，三點共線時，取得等號．故的最大值為，故C正確；對于D，因為，所以 ，當且僅當，即時，等號成立．所以，的最小值為，故D錯誤．故選：ABC【點睛】本題考查點和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計算最值問題里面的應(yīng)用.三、填空題（每小題5分）13.已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由表示圓可得，點A（1，2）在圓C外可得，求解即可.【詳解】由題意，表示圓，故，即或，點A（1，2）在圓C：外，故，即故實數(shù)m的取值范圍為或，故答案為：.14.與橢圓有公共焦點，且離心率為的雙曲線方程為______．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程求出焦點坐標，得出的值，再由雙曲線的離心率得出，進而可得雙曲線的標準方程． 【詳解】由橢圓方程，可得焦點為設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因雙曲線的離心率為，則故，所以，所以雙曲線的標準方程為：故答案為：15.設(shè)點是圓：上的動點，定點，則的最大值為____．【答案】10【解析】【分析】求出的坐標，表示出其模，根據(jù)P在圓上用x替換y，根據(jù)x的范圍即可求出最大值.【詳解】由題意知，，所以，由于點是圓上的點,故其坐標滿足方程，故，所以.由圓的方程，易知，所以當時，的值最大，最大值為.故答案為：1016.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系中，、，點滿足，則 的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點，利用已知條件求出點的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設(shè)點，由可得，整理可得，化為標準方程可得，因為為的中點，所以，，記圓心為，當點為線段與圓的交點時，取最小值，此時，，所以，.故答案為：.四、解答題（共6道，滿分70分，10+12+12+12+12+12）17.（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）1;（2）【解析】【分析】（1）利用兩平行直線間的距離公式直接求解； （2）根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)即可.【詳解】（1）根據(jù)平行線間的距離公式,得.（2）由題意可知，因為兩直線垂直，所以，解得或（舍去），經(jīng)檢驗時，兩直線垂直，滿足題意.18.直線l過點，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.（1）若，求直線l的方程；（2）當?shù)拿娣e為6時，求直線l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)直線的截距式，由題意列出方程組，求出截距即可得解；（2）利用截距表示出三角形面積，再聯(lián)立方程求出截距，即可得解.【小問1詳解】設(shè)直線l的方程為（，），（直線l與坐標軸的交點位于正半軸）由題意知，①.因為直線l過點，所以②.聯(lián)立①②，解得或，所以直線l的方程為或.【小問2詳解】由題意知，即③，聯(lián)立②③，解得或，所以直線l的方程為或. 19.在平面直角坐標系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由題意求出圓，圓的圓心和半徑，由兩圓外切，可得，即可求出答案.（2）由，可求出圓心O1到直線l的距離，再由點到直線的距離公式代入求解即可.【小問1詳解】圓：，則圓的標準方程為，即圓的圓心坐標為，半徑為，因為圓與x軸相切，與圓O1外切，則圓心，，則圓的半徑為，則，解得，即圓的標準方程為；【小問2詳解】由（1）知O2（﹣6，1），則，所以直線l的斜率為，設(shè)直線l的方程為，因為，則圓心O1到直線l的距離，所以，解得或， 所以直線l的方程為或．20.黨的二十大報告提出要加快建設(shè)交通強國.在我國萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓弧的方程.（2）為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優(yōu)化了設(shè)計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.【答案】（1）（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，分析可知圓心在軸上，設(shè)圓心坐標為，設(shè)圓的半徑為，將點、的坐標代入圓的方程，求出、的值，結(jié)合圖形可得出圓弧的方程；（2）求出貨車右側(cè)的最高點的坐標，代入圓弧的方程，可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、，由圓的對稱性可知，圓心在軸上，設(shè)圓心坐標為，設(shè)圓的半徑為，則圓弧所在圓的方程為， 因為點、在圓上，則，解得，。所以，圓弧所在圓的方程為，因此，圓弧的方程為.【小問2詳解】解：此火車不能通過該路口，由題意可知，隔墻在軸右側(cè)米，車寬米，車高米，所以貨車右側(cè)的最高點的坐標為，因為，因此，該貨車不能通過該路口.21.已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．【答案】（1）；（2）；或.【解析】【分析】（1）根據(jù)的周長為求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理表示出依次成等比數(shù)列，進而求出的值；再利用弦長公式和點到直線距離公式表示出的面積，求解即可得到的值，從而得到直線的方程.【小問1詳解】由題意，，解得，所以. 故橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，且，所以．由題意，，故..此時，，.又點O到直線的距離，故三角形的面積,解得或，所以直線l方程為或.22.已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過動點作直線交橢圓于兩點，且，過作直線，使與直線 垂直，證明：直線恒過定點，并求此定點的坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）分類討論直線斜率是否存在，若存在，設(shè)直線斜率，由得弦中點為，結(jié)合中點坐標公式，利用韋達定理得到關(guān)系，再求出直線方程探究定點即可.【小問1詳解】由已知得由解方程組得所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設(shè)AB的直線方程為，聯(lián)立，消得，，由題意，.設(shè)，則.因為，所以是的中點．即，得，①， 又，的斜率為，直線的方程為②，把①代入②可得：，所以直線恒過定點當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述，直線恒過點.【點睛】解答圓錐曲線的定點問題的常用策略：（1）參數(shù)法：參數(shù)法解決定點問題的關(guān)鍵思路在于以下兩個環(huán)節(jié).①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)（如引入動直線的斜率，截距，動點的橫或縱坐標等等）表示變化量，即確定題目中核心參數(shù)；②利用條件找到參數(shù)與過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于參數(shù)與的等式，再研究曲線不受參數(shù)影響時的定點坐標.（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).