《遼寧省沈陽市第二中學2023-2024學年高二上學期第一次階段測試數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

沈陽二中2023——2024學年度高二（25屆）上學期第一次階段測試數(shù)學試題說明：1．測試時間：120分鐘總分：150分；2．客觀題涂在答題紙上，主觀題答在答題紙的相應位置上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如果直線l的一個法向量是，則其傾斜角等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用直線l的一個法向量，可得直線l的一個方向向量，可求直線的斜率，即得直線的傾斜角.【詳解】由于直線l的一個法向量為，所以直線l的一個方向向量為，因此其斜率，因為傾斜角范圍是，所以傾斜角等于．故選：C【點睛】本題主要考查了直線的法向量、方向向量、直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】 【分析】首先根據(jù)，可得，再根據(jù)向量垂直的判定條件即可求出參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題干條件，可知，即滿足，解得：.故選：A.3.直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.4.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，再次代換即可.【詳解】，故選：C5.已知平面內(nèi)的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補角，利用余弦定理可以計算.【詳解】作出如下圖形，令，則，，取中點，連接，則即為與平面所成的角的補角，在中，，在中，，，，與平面所成的角的余弦值是.故選：B.【點睛】本題考查線面角的求法，找出所成角，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵. 6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，，進而求出，根據(jù)，即可判斷B的大?。焕蒙鲜龇椒ㄇ蟮?，，即可判斷C和D的大小，進而可以判斷出三角形的形狀.【詳解】，，為銳角，同理：，，D和C都為銳角，∴為銳角三角形.故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量的加減運算法則與向量數(shù)量積的運算，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.7.如圖，將邊長為1的正方形沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足，則的值為（）A.B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積計算即可. 【詳解】取中點O，連接，，依題平面平面，平面平面，平面，平面，，則，所以，又，，則.故選：D8.如圖，在直三棱柱中，，，點G與E分別為線段和的中點，點D與F分別為線段AC和AB上的動點．若，則線段DF長度的最小值是（） A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】建立坐標系，設(shè)，由可得，然后結(jié)合空間兩點的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】建立坐標系，如圖，令則因為即，時，最小為，故選：C.【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設(shè)出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5 ）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】A：由題設(shè)，對；B：由題設(shè)，或，錯；C：由題設(shè)，對；D：由題設(shè)，對.故選：ACD10.下列說法中，正確有（）A.點斜式可以表示任何直線B.直線在軸上的截距為C.如果A、B、C是平面直角坐標系中的三個不同的點，則這三點共線的充要條件是與共線D.在軸和軸上截距相等直線都可以用方程（）表示【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點斜式的應用范圍即可判斷A；令，求出，即可判斷B；利用向量共線定理即可判斷C，舉出反例即可判斷D.【詳解】對于A，點斜式不能表示斜率不存在得直線，故A錯誤；對于B，令，則，所以直線在y軸上的截距為，故B正確；對于C，充分性：根據(jù)三點共線的性質(zhì)，若A，B，C三點共線，則，其中為非零實數(shù)，所以與共線，充分性成立； 必要性：若與共線，則，又因為有公共點B，所以A，B，C三點共線，必要性成立，所以A，B，C三點共線的充要條件是與共線，故C正確；對于D，舉例直線方程為，其在軸和軸上截距均為0，即截距相等，但是無法用方程（）表示，故D錯誤.故選：BC11.以下說法錯誤的有（）A.已知向量，，若，則為鈍角B.對于任意非零向量，，若則C.直線的方向向量為，且過點，則點到的距離為D.A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若則P，A，B，C四點共面【答案】AB【解析】【分析】A，考慮平角時；B，考慮分母為0；C，應用點到直線的距離公式求解；D，應用共面向量定理即可判斷.【詳解】A，當時，兩個向量共線，夾角為，A錯誤；B，中任意一個數(shù)為0，時，不成立，B錯誤；C，因為直線的方向向量為，所以其一個單位方向向量，由點，點可得，所以，，所以，C正確；D， ，，，由共面向量定理知與共面，又它們有公共點四點共面，D正確.故選：AB12.已知棱長為2的正方體中，E，M，N分別為，，的中點，則下列說法中正確的是（）A.平面B.直線與直線的距離為C.點A到平面的距離為D.到平面的距離為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)正方體特征直接建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法判斷線面平行，運用點面距離公式和異面直線的距離公式進而求得答案.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，即，又因為平面，所以平面，故A正確； 由已證可知，點到平面的距離即為直線到平面的距離，因為所以點到平面的距離為，即直線與平面之間的距離為，故C正確，D錯誤；因為，設(shè)，，則，令，則，又因為，所以直線與直線的距離為，故B正確.故選：ABC【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當?shù)妮o助線進而求解；（2）坐標法：通過建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，結(jié)合空間坐標運算公式求解；（3）基底法：通過向量的基底轉(zhuǎn)化以及向量的運算法則進行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.空間直角坐標系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點關(guān)于坐標平面對稱的特征求解作答.【詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標為.故答案為：14.若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【答案】【解析】 【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.15.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形最大內(nèi)角小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為.根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】函數(shù)表示的是點（x,y）到點C（1，0）的距離與到點B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，連接這三個點構(gòu)成了三角形ABC，由角DOB為，角DOC為，OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA，求和即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖像并建系，D為坐標原點 函數(shù)表示的是點（x,y）到點C（1，0）的距離與到點B（-1，0），到A（0，2）的距離之和，設(shè)三角形這個等腰三角形的費馬點在高線AD上，設(shè)為O點即費馬點，連接OB，OC，則角DOB為，角DOC為，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距離之和為：2OC+OA=+=2+.故答案為.【點睛】這個題目考查了點點距的公式，以及解三角形的應用，解三角形的范圍問題常見兩類，一類是根據(jù)基本不等式求范圍，注意相等條件的判斷；另一類是根據(jù)邊或角的范圍計算，解題時要注意題干信息給出的限制條件.16.四棱錐的底面是正方形，平面，，，點是上的點，且（），二面角的大小為，直線與平面所成的角為，若，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先找出和，因為平面知，二面角的平面角可由三垂線法作出，再用表示出和，代入，解方程即可. 【詳解】由平面，連接，則是在面內(nèi)是射影，則直線與平面所成的角為，平面，平面，；又底面是正方形，，而平面，所以平面，連接，過點D在平面內(nèi)作于F，連接故是二面角的平面角，即.在中，，在中，，從而；在中，.由，得，所以，由，解得，即為所求.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在第一象限的中，，，.（1）求邊AB的方程；（2）求直線AC與直線BC的方程，并把結(jié)果寫成直線方程的一般式. 【答案】（1）邊方程為，（2）直線的方程為，直線的方程為【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點的坐標求得直線的方程.（2）結(jié)合直線、的傾斜角和斜率，求得直線和直線的方程.【小問1詳解】因為，，所以軸，所以AB邊方程為，．【小問2詳解】因為，所以，所以直線AC的方程為，即，因為，所以，所以直線的方程為，即．18.已知空間三點，，，設(shè)，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若向量與互相垂直，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.（2）根據(jù)題意得到，再解方程即可.【小問1詳解】，.. 【小問2詳解】，.因為向量與互相垂直，所以，即，解得或.19.已知直線：．（1）求證：無論取何值，直線始終過第一象限；（2）若直線與，軸的正半軸交點分別為A，B兩點，O為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．【答案】（1）證明見解析（2）最小值為4；【解析】【分析】（1）由題可得，直線過定點且在第一象限，即證；（2）由題可，，再利用三角形面積公式及基本不等式即得.【小問1詳解】因為直線：，即，令，求得，，即直線過定點且在第一象限，所以無論取何值，直線始終經(jīng)過第一象限．【小問2詳解】因為直線與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，所以，令，解得，令，得，即，，∴面積，∵，∴， 則，當且僅當，即時，取得等號，∴，∴面積的最小值為4此時直線的方程為，即．20.如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，，底面，，M為的中點，N為BC的中點.（1）證明：直線MN//面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大??；（3）求點B到平面OCD的距離．【答案】（1）證明：見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】過A作交CD于點P.如圖示，分別以為x、y、z軸正方向建立坐標系.（1）用向量法證明MN//面OCD；（2）用向量法求異面直線AB與MD所成角；（3）用向量法求點B到平面OCD的距離. 【詳解】過A作交CD于點P.如圖示，分別以為x、y、z軸正方向建立坐標系，則，，，，，，.（1），，.設(shè)平面OCD的法向量為，則.不妨取，解得：.因為，直線面OCD所以MN//面OCD.（2）設(shè)直線AB與MD所成角為，則.因為，，所以，所以，即直線AB與MD所成角為. （3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對值，由，得.所以點B到平面OCD的距離為.21.如圖，四棱錐中，垂直平面，，，，為的中點.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見證明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）可證平面，從而得到平面平面．（Ⅱ）在平面內(nèi)過作的垂線，垂足為，由（1）可知平面，從而就是所求的線面角，利用解直角三角形可得其正弦值．【詳解】（Ⅰ）證明:平面，平面，故．又，所以．故，即，而，所以平面，因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）平面，平面，故．又，所以．在平面內(nèi)，過點作，垂足為．由（Ⅰ）知平面平面，平面，平面平面所以平面．由面積法得：即． 又點為的中點，．所以．又點為的中點，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等．連結(jié)交于點，則．所以點到平面的距離是點到平面的距離的一半，即．所以直線與平面所成角的正弦值為．另解：如圖，取的中點，如圖建立坐標系．因為，所以．所以有：，，，，，．．，．設(shè)平面一個法量為，則取，得，．即．設(shè)直線與平面所成角為，則．【點睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的． 由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.22.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的點，．（1）證明：；（2）當為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值.【答案】（1）證明見解析（2）當時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，最小值為【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可知，結(jié)合可證得平面，進而分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可證得.（2）[方法一]求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夾角公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；[方法二]：分別求出的面積，記面與面DFE所成的二面角的大小為，代入及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【小問1詳解】因為三棱柱是直三棱柱，∴底面ABC，因為底面ABC，∴，∵，，∴，又，平面．∴平面．所以BA，BC，兩兩垂直．以B為坐標原點，分別以BA，BC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系． ∴，，，，，，，．由題設(shè)．因為，，所以，所以．【小問2詳解】[方法一]設(shè)平面DFE的法向量為，因為，，所以，即．令，則，因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面DEF的二面角的大小為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以，此時．[方法二]：如圖，聯(lián)結(jié)，F(xiàn)N，在平面的投影為，記面與面DFE所成的二面角的大小為，則，設(shè)，在中，．在中，，過D作的平行線交EN于點Q． 中，．在中，由余弦定理得，，，，，，當，即，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值為．