《湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考五數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

數(shù)學(xué)試卷時(shí)景：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.設(shè)，向量，，.則“”是“”的A.充分不必要文件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.如圖所示，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.若，，，則為A.B.C.D.4.已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為A.B.C.D.5.甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價(jià)分別相同，但第一次與第二次加油的油價(jià)不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（）A.甲更合算B乙更合算C.甲乙同樣合算D.無法判斷誰更合算6.為參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”的演講比賽，某班從班級(jí)初選的甲乙2名男生和6名女生共8名同學(xué)中隨機(jī)選取5名組成班級(jí)代表隊(duì)參加比賽，則代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，男生甲被選中的概率為（）A.B.C.D.7.若直線與函數(shù)（且）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值不可以是（） A.B.C.D.38.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列說法正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的方差為9B.若隨機(jī)變量，，則C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱D.若事件A，B滿足，，，則有10.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M，N，P分別是線段，線段，線段上的動(dòng)點(diǎn)，且.則下列說法正確的有（）A.B.直線MN與AP所成的最大角為90°C.三棱錐的體積為定值D.當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，該四棱錐的外接球表面積為11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù)B.，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為C.若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則 D.若，且，則的最大值為12.已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè).過M作兩漸近線的垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.為定值C.若當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，則雙曲線的離心率為D.當(dāng)時(shí)，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值為第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中含的系數(shù)是_______.14.若直線：與曲線：有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15.已知數(shù)列滿足：對(duì)恒成立，且，其前項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的的值是_________.16.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，由直線上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線，切點(diǎn)分別是A，B，則與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之和的最小值是_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)；（2）若，，求的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知. （1）若，求；（2）若BC邊上的高是AH，求BH的最大值.19.（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，側(cè)棱與底面所成角為60°.（1）求三棱柱的體積；（2）在線段（含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為60°？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.（本小題滿分12分）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過以往的比賽分析，甲乙對(duì)陣時(shí)，若甲發(fā)球，則甲得分的概率為，若乙發(fā)球，則甲得分的概率為.該局比賽甲乙依次輪換發(fā)球權(quán)（甲先發(fā)球），每人發(fā)兩球后輪到對(duì)方進(jìn)行發(fā)球.（1）求在前4球中，甲領(lǐng)先的概率；（2）12球過后，雙方戰(zhàn)平（6：6），已知繼續(xù)對(duì)戰(zhàn)奇教球后，甲率先取得11分獲得勝利（獲勝要求凈勝2分及以上）.設(shè)凈勝分為（甲，乙的得分之差），求的分布列.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.22.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）曲線與直線交于，兩點(diǎn)，求證：；（3）證明：.參考答案 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A【解析】∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，∴且，故.∴.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選A.2.A【解析】因?yàn)?，即；，即，故選A.3.B【解析】因?yàn)榧?，，所以，，則.故選B.4.C【解析】角的終邊上有一點(diǎn)，所以，所以.5.A【解析】設(shè)兩次的單價(jià)分別是元/升，甲加兩次油的平均單價(jià)為，單位：元/升，乙每次加油升，加兩次油的平均單價(jià)為，單位：元/升，因?yàn)?，，，所以，即，即甲的平均單價(jià)低，甲更合算.6.D 【解析】記“代表隊(duì)中既有男生又有女生”為事件，“男生甲被選中”為事件，則，所以，所以，或者.故選D.7.D【解析】的圖象由的圖象向下平移一個(gè)單位，再將軸下方的圖象翻折到軸上方得到，分和兩種情況分別作圖.如圖所示：當(dāng)時(shí)，需要，即，即；當(dāng)時(shí)，有，都符合條件；所以綜上或，所以的取值不可以是D.故選D8.C【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得的圖象在處的切線的斜率為，由切線與直線平行，可得，解得.若存在，使得不等式成立，即為在時(shí)有解，故在時(shí)有解，令，， 則，易得，時(shí)，恒成立，故時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故時(shí)，取得最小值，則，可得的最小值為3.故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.BD【解析】由于，所以數(shù)據(jù)的方差為16，因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤；隨機(jī)變量，，則，因此選項(xiàng)B正確；線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于等價(jià)于“事件A與事件B相互獨(dú)立”，即，故必有.因此選項(xiàng)D正確.故選BD.10.ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)檎襟w是棱長(zhǎng)為2的正方體，連接，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是線段、線段的動(dòng)點(diǎn)，且，所以，而，所以，因此A正確；對(duì)于B，又，因此，因此直線MN與AP所成的角就是直線與AP所成的角，當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，直線與AP所成的角最大為90°，因此B正確； 對(duì)于C，，因此C正確；對(duì)于D，當(dāng)P為點(diǎn)時(shí)，四棱錐體積最大，該四棱錐的外接球即正方體的外接球，其表面積為，因此D不正確.故選ABC.11.ABD【解析】A項(xiàng)中，令，則在是單調(diào)增函數(shù)且；又函數(shù)，易知函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原理可知在上是增函數(shù)，所以A項(xiàng)正確；B項(xiàng)中，時(shí)，，又為正實(shí)數(shù)，所以，又，所以單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，對(duì)恒成立，即.令，知，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以B項(xiàng)正確；C項(xiàng)中，易知在上遞減，在上遞增，，所以，不妨設(shè)，則必有，若，則等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，令，，，即在上遞增，所以，則時(shí)，，所以不成立，即C錯(cuò)誤；D項(xiàng)中，由在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，易知有唯一的解，又，所以，由，即，即有，所以，即，所以，又，所以，所以D正確.12.BCD 【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭请p曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以由雙曲線性質(zhì)知：線段長(zhǎng)度的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，兩漸近線方程分別為：，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，而（為坐?biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，因此由知：，，所以由雙曲線的定義知：，即，即雙曲線的離心率，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)A，連接OA，則，且.作于點(diǎn)B，則.又因?yàn)?，所以，，因此在中?又點(diǎn)在雙曲線右支上，所以，整理得，即，因此雙曲線的漸近線的斜率的絕對(duì)值，故D正確.故選BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.-12【解析】略 14.【解析】由題意可得直線：恒過定點(diǎn)，曲線：圖象為以為圓心，2為半徑的上半圓，它們的圖象如圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，它們有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線與上半部分圓相切時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，由圖象可知，若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.15【解析】略16.【解析】略四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）若，而首項(xiàng)，則，，，不合題意，故.則，∴，則.（2）略18.【解析】（1）由有： ，即：.即，又，∴，由正弦定理得：.（2）方法一：由及知，頂點(diǎn)在的外接圓上，且在邊所對(duì)的優(yōu)弧上，外接圓的直徑.當(dāng)與外接圓相切且在的延長(zhǎng)線上時(shí)最大，此時(shí)，.方法二：，∵，∴時(shí)，取得最大值.19.【解析】（1）取中點(diǎn)M，連接AM，DM.因?yàn)闉檎切危瑸榈妊切吻乙訠C為底，故，（三線合一），所以平面.又平面，所以平面平面，故在平面的射影在射線AM上，為側(cè)棱AD與底面所成角，即.在中，，，由余弦定理知，故三棱錐為正三棱錐，高，底面的面積， 三棱柱的高也為2，故三棱柱的體積.（2）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA、MB為，軸建立如圖所示坐標(biāo)系.依題意，，，，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，，，.設(shè)平面的法向量為，則取，平面的法向量.依題意，，解得，故當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，滿足要求.20.【解析】（1）甲與乙的比分是4：0的概率為；比分是3：1的概率為. 故前4球中，甲領(lǐng)先的概率為，（2）依題意，接下來由甲先發(fā)球.繼續(xù)對(duì)戰(zhàn)奇數(shù)球后，甲獲得11分勝利，即甲11：6或11：8獲勝，即在接下來的比賽中，甲乙的比分為5：0或5：2，且最后一球均為甲獲勝.設(shè)甲發(fā)球的兩次對(duì)戰(zhàn)中，甲乙比分為“2：0”，“1：1”，“0：2”依次為事件，，；設(shè)乙發(fā)球的兩次對(duì)戰(zhàn)中，甲乙比分為“2：0”，“1：1”，“0：2”依次為事件，，.由條件可知，，，，，，.，故甲依題意獲勝的概率為.的所有可能取值為3，5，由條件概率有，，，故的分布列為：3521.【解析】∵，所以.設(shè)橢圓方程為，將代入，得.故橢圓方程為.（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，易得，；②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：， ∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.綜合②可知，的取值范圍為.22.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.（2），則，由題意，知有兩解，，不妨設(shè)， 要證，即證，①若，則；②若，由知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，也有，綜合①②知，，所以只需證（*）.又，，∴兩式相減，整理得，代入（*）式，得，即.令，即證.令，則，∴在其定義域上為增函數(shù)，∴，∴成立.（3）由（2）知，，故，，取，，所以，，累加，得.