《湖北省荊州市沙市中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023—2024學(xué)年度上學(xué)期2022級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，其中某一個(gè)體“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是（）A.、B.、C.、D.、【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽樣中，每個(gè)個(gè)體在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可得出結(jié)果.【詳解】在抽樣過程中，個(gè)體每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為，故個(gè)體“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查抽樣中概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】B【解析】【分析】若三個(gè)向量非零不共線能作為基底，則滿足.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，則，，共面，不能作為基底，故A不符合題干.對于C項(xiàng)，因?yàn)?，則，，共面，不能作為基底，故C不符合題干.對于D項(xiàng)，，則，，共面，不能作為基底，故D不符合題干. 對于選項(xiàng)B，假設(shè)，，共面，則存在，，使，所以無解，所以，，不共面，可以作為空間的一組基底．故選：B3.已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.4.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式求解即可【詳解】在上投影向量故選：A5.如圖，元件通過電流的概率均為0．9，且各元件是否通過電流相互獨(dú)立，則電流能在M，N之間通過的概率是 A.0．729B.0．8829C.0．864D.0．9891【答案】B【解析】【詳解】試題分析：電流能通過的概率為，電流能通過的概率為，故電流不能通過也不能通過的概率為，所以電流能通過系統(tǒng)的概率為，而電流能通過的概率為，所以電流能在之間通過的概率為，故選B．考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件概率乘法公式．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．所求事件的概率與它的對立事件之間概率的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．求出電流不能通過也不能通過的概率，用減去此概率即得到電流能通過系統(tǒng)的概率，再根據(jù)電流能通過的概率，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求得電流在之間通過的概率．6.同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記事件“點(diǎn)數(shù)之和為7”，事件“點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則（）A.為不可能事件B.與為互斥事件C.為必然事件D.與為對立事件【答案】B【解析】【分析】先分析事件A、B的構(gòu)成，對四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】同時(shí)拋擲兩顆骰子，有36個(gè)結(jié)果，事件“點(diǎn)數(shù)之和為7”，包括：，，，，，.事件“點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，包括，，，，，，.所以為“點(diǎn)數(shù)之和為7或3的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯(cuò)誤；與為互斥事件，故B正確； 為不可能事件.故C錯(cuò)誤；事件A、B不能包含全部基本事件，故與不是對立事件.故D錯(cuò)誤.故選：B7.袋子里裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”，表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”，表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”，通過計(jì)算，則可以得出（）A.與相互獨(dú)立B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立D.與相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】分別求出事件A,B,C,D的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件計(jì)算概率的乘法公式計(jì)算判斷A,計(jì)算判斷B；計(jì)算判斷C;計(jì)算判斷D.【詳解】由題意可得：,有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，兩次取出的球上數(shù)字之和是5的情況有共4種，所以;兩次取出的球上數(shù)字之和是6的情況有共3種，故,對于A,,則，故與不是相互獨(dú)立事件，故A錯(cuò)誤；對于B,,則,故A與不是相互獨(dú)立事件，故B錯(cuò)誤；對于C,,則，故與是相互獨(dú)立事件，故C正確；對于D,則，故C與D不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤；故選：C8.在邊長為1的菱形ABCD中，，將沿對角線AC折起得三棱錐.當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，此三棱錐的外接球的表面積為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】體積最大時(shí)，即兩個(gè)面垂直時(shí)，然后利用幾何關(guān)系找到外接球圓心即可.【詳解】如圖所示，當(dāng)平面平面時(shí),三棱錐體積最大，取AC中點(diǎn)E，連接BE，DE，由條件知設(shè)分別為的外心，過作平面的垂線m，過作平面ADC的垂線n則m，n的交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心；所以所以，表面積為故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若空間中的，，，滿足，則，，三點(diǎn)共線B.空間中三個(gè)向量，，，若，則，，共面C.對空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面 D.設(shè)是空間的一組基底，若，，則不能為空間的一組基底【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可判斷A，根據(jù)向量的共面定理可判斷B、C、D．【詳解】對于A，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，若空間中的，，，滿足，則，即，則，，三點(diǎn)共線，故A正確；對于B，因?yàn)椋瑒t共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，，，共面，故B正確；對于C，對空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，又，則，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對于D，若，，共面，則，則共面，與是空間的一組基底矛盾，所以，，不共面，所以能為空間的一組基底，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．10.已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)垂直得到數(shù)量積為0，列出方程，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)向量平行列出方程組，求出；C選項(xiàng)，根據(jù)向量運(yùn)算法則計(jì)算出，利用模長公式列出方程，求出；D選項(xiàng)，先利用向量夾角余弦公式計(jì)算出兩向量夾角的余弦，進(jìn)而計(jì)算出正弦值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；令，則，，故B正確； ，所以，解得：，故C正確；當(dāng)，，因?yàn)?，，故D正確．故選：BCD11.如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在一點(diǎn)，使得C.三棱錐的體積為D.若，則面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量數(shù)量積可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用錐體體積公式可判斷C選項(xiàng)；求出點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，.對于A選項(xiàng)，，，則，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，，若，則，解得，不合乎題意，所以，不存在點(diǎn)，使得，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，，若，則，可得，由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)槠矫?，平面，，，D對.故選：ACD.12.已知長方體的棱，，點(diǎn)滿足： ，、、，下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)，時(shí)，到的距離為B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的到平面的距離的最大值為1C.當(dāng)，時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為D.當(dāng)，時(shí)，四棱錐外接球的表面積為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系確定所在的位置或區(qū)域，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)求點(diǎn)線、點(diǎn)面距離，根據(jù)線面角的定義求直線與平面所成角的最大正切值，求棱錐外接球的半徑，進(jìn)而求外接球的表面積.【詳解】A：，則，即，故在上運(yùn)動(dòng)，所以到的距離為，即棱與的距離，錯(cuò)；B：，則，故在底面上運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)在上時(shí)，的到平面的距離最大，而，面，面，則面，所以，由長方體結(jié)構(gòu)特征，最大值問題化為到的距離，，則，錯(cuò)；C：，則，故在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)易知：當(dāng)與重合時(shí)，直線與面所成角正切值的最大值為，對；D：，則，故為中點(diǎn)， 如下圖，，，所以的底面為矩形，頂點(diǎn)在的投影為底面中心，即的交點(diǎn)，故外接球的球心一定在直線上，令球體半徑為R，所以，，且，可得，則外接球的表面積為，對.故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)各選項(xiàng)的條件，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義確定的位置或運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)殛P(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，且，則實(shí)數(shù)______________．【答案】．【解析】【分析】方法1：因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，可由共面向量充要條件得存在唯一得有序?qū)崝?shù)對，使得，可將題目中等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為，只有當(dāng)時(shí)，才滿足定理，所以.方法2：點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，O是平面ABC外的任意一點(diǎn)，則且，此推論為人教教材課堂思考，可將代入整理為即證明P與A,B,C共面．【詳解】方法1： ，即，由共面向量定理可得，故．方法2：因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，O是平面ABC外的任意一點(diǎn)，所以且，利用此結(jié)論可得，解得．【點(diǎn)睛】共面向量定理是解決此類問題的關(guān)鍵，要把定理掌握清楚靈活運(yùn)用．14.如圖，在二面角中，且，垂足分別為A，B，已知，，則二面角所成平面角為______．【答案】##120o【解析】【分析】在面內(nèi)，作，過作交于，連接，根據(jù)二面角定義找到對應(yīng)的平面角，應(yīng)用余弦定理求其余弦值，進(jìn)而確定大小.【詳解】在面內(nèi)，作，過作交于，連接，如下圖示，由，則為二面角的平面角，且，又易知為正方形，即，，面，則面，面，所以，中，故， 在中，則，由圖知：，可得.故答案為：15.如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點(diǎn)E，M是AC的中點(diǎn)，，則的最小值為______．【答案】##-0.125【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面PAB，將用表示出，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.【詳解】連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點(diǎn)，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”， 所以的最小值為.故答案為：16.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽馬的外接球的表面積等于______.【答案】【解析】【分析】求出鱉臑的外接球的半徑，可求出，然后求出正方形的外接圓半徑，利用公式可求出陽馬的外接球半徑，然后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】四邊形是正方形，，即，且，，所以，的外接圓半徑為，設(shè)鱉臑的外接球的半徑，則，解得.平面，，可得，.正方形的外接圓直徑為，，平面，所以，陽馬的外接球半徑， 因此，陽馬的外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積和體積的計(jì)算，同時(shí)也涉及了多面體外接球問題，解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，且的面積為，是的中線，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、輔助角公式等知識(shí)化簡已知條件，從而求得.（2）利用三角形的面積求得，結(jié)合余弦定理、向量的模、數(shù)量積等知識(shí)求得的長.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，又因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)?，所以，所以，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以得，由余弦定理得? 又，所以，得，故的長為.18.某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）32.25，第80百分位數(shù)為37.5（2）10【解析】【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)和百分位數(shù)；（2）利用分層抽樣得第四組和第五組分別抽取人和人，進(jìn)而設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，進(jìn)而根據(jù)方差公式，代入計(jì)算即可得答案.【小問1詳解】設(shè)這20人的平均年齡為，則. 設(shè)第80百分位數(shù)為，由，解得.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，故各組中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取人和人，設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.19.為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩人同時(shí)答對的概率為，恰有一人答對的概率為．（1）求p和q的值；（2）求甲、乙兩人共答對3道題的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立、互斥事件概率公式得到方程組求解；（2）先求出甲、乙答對題目數(shù)為0、1、2的概率，再由甲乙總共答對3道題，等價(jià)于甲答對2道題乙答對1道題或甲答對1道題乙答對2道題，利用獨(dú)立、互斥事件概率公式計(jì)算求得.【小問1詳解】設(shè)A：甲同學(xué)答對第一題，B：乙同學(xué)答對第一題，則，．設(shè)C：甲、乙兩人均答對第一題，D：甲、乙兩人恰有一人答對第一題，則，．∵甲、乙兩人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨(dú)立，與互斥， ∴,．由題意得解得或∵，∴，．【小問2詳解】設(shè)：甲同學(xué)答對了i道題，:乙同學(xué)答對了i道題，．由題意得，，，．設(shè)E：甲、乙兩人共答對3道題，則，∴，∴甲、乙兩人共答對3道題的概率為．20.我省從2021年開始，高考不分文理科，實(shí)行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門。已知福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門。（1）從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；（2）假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，求這三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，（2）由概率乘法公式與加法公式求解【小問1詳解】 用a，b分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示選擇“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，∴，設(shè)“從所有選科組合中任意選取1個(gè)，該選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則，∴，∴.【小問2詳解】設(shè)甲、乙、丙三人每人的選科組合符合醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分別是，，，由題意知事件，，相互獨(dú)立由（1）知.記“甲、乙、丙三人中恰好有一人的選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則易知事件，，兩兩互斥，根據(jù)互斥事件概率加法公式得.21.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)． （1）證明：；（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）連接,可證是等邊三角形，，所以，易證，所以平面平面PAD,得證；（2）設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．由(1)知平面所以為與平面所成的角，以當(dāng)最短時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，最大．過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，解三角形，我們也可以利用空間向量的方法求解.【小問1詳解】證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,又，因此因?yàn)槠矫?，平面，所以而平面，平面且?所以平面．又平面所以.【小問2詳解】設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接．由(1)知平面，所以為與平面所成的角中，，所以當(dāng)最短時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，最大．因?yàn)?，此時(shí)，因此．又，所以，所以．解法一：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，在中，，，又是的中點(diǎn)，在中，，又，在中，即所求二面角的余弦值為． 解法二：由(1)知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以，，所以，設(shè)平面的一法向量為，則，故，取，則，因?yàn)?，，，所以平面，故為平面的一法向量，所以．因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為．解法三：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2，則，設(shè)，由三點(diǎn)共線可設(shè)，則， ，又平面的一個(gè)法向量.設(shè)與平面所成角，則.令,故當(dāng)時(shí)，，故，故，故，則，，易得平面的一個(gè)法向量；平面的一個(gè)法向量，，而二面角是銳二面角，故其余弦值為.22.如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.（1）當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，證明：平面；（2）求三棱錐的體積的最大值；（3）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值. 【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過證明和，證明平面；（2）設(shè)，由，可求最大值；（3）由幾何法找到和，表示出，利用函數(shù)方法可求最大值.【小問1詳解】當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，由題意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知，平面，平面，所以平面【小問2詳解】矩形中作，垂足為點(diǎn)O，折起后得，由平面，平面，可得，所平面，，所以平面，平面，可得，所以A，O，E三點(diǎn)共線，因此與相似，滿足，設(shè)，所以，，， ，，要使點(diǎn)射影落在線段上，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】過點(diǎn)做交于，所以直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，由（2）可知平面，平面，所以平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，可得平面，連接，是直線與平面所成的角，即，由題意可得，，因?yàn)?，，所以是二面角平面角，即，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立，故的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．2.求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．3.作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．