《浙江省杭州第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

杭州二中2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出，再根據(jù)補(bǔ)集的概念求解即可.【詳解】由，得到，∴，由，得到，∴，∴，故選：D.2.設(shè)是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及純虛數(shù)的定義可求．【詳解】由，得，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，故選：D．3.為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測(cè)溫報(bào)告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則為（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合百分位數(shù)的概念分析運(yùn)算.【詳解】由，可得第25百分位數(shù)分別為和，則；由，可得第90百分位數(shù)分別為和，則，解得；故.故選：C.4.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）發(fā)明的對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)表（如下表），為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)N可以表示成，則，這樣我們可以知道N的位數(shù).已知正整數(shù)是35位數(shù)，則M的值為（????）N234511121314150.300.480600701.041.081.111.151.18A.3B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式，再取常用對(duì)數(shù)即可判斷作答.【詳解】因?yàn)?，則，所以，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，于是，即，所以.故選：C 5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，長(zhǎng)度為2的線段AB的端點(diǎn)分別落在x軸和y軸上，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由題建立關(guān)系式，令將問(wèn)題轉(zhuǎn)化利用參數(shù)方程求解【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系：由題意設(shè)，其中，所以令所以所以所以所以所以的取值范圍是故選：D.6.已知兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)均為6，它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半圓，若它們的側(cè)面積之比是1：2，則它們的體積之和是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐的母線長(zhǎng)和側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半圓得到兩個(gè)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)之和，再結(jié)合側(cè)面積之比為1:2得到底面圓的周長(zhǎng)比也為1:2，即可得到底面圓的半徑，然后利用勾股定理得到圓錐的高，最后求體積即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6，側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)半圓，所以兩個(gè)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和為6π，因?yàn)閭?cè)面積之比為1:2，所以底面圓的周長(zhǎng)比為1:2，則底面圓的周長(zhǎng)分別為2π，4π，底面圓的半徑分別為1，2，所以兩個(gè)圓錐的高分別為，，則體積之和為.故選：A.7.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用和差角公式展開(kāi)，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?.故選：A．8.已知，，，則p，q，r的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化得出，，，通過(guò)化簡(jiǎn)根據(jù)基本不等式得出，即，則再通過(guò)對(duì)數(shù)單調(diào)性得出，即可得出答案.【詳解】，，，，，，，由基本不等式可得：，則，，，則，，，故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在住小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，滿足，其中的分布列如下：012 若，則（）．A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)及期望公式解得，然后根據(jù)期望與方差的公式及性質(zhì)求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)，可得，解得①，因?yàn)?，所以，即②，?lián)立①②解得，，∴，因?yàn)椋裕?故選：ABD.10.已知，則函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】令，先分析函數(shù)的奇偶性，再分情況討論的奇偶性，然后逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)即可求解. 【詳解】令，則，故為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，且其圖象過(guò)點(diǎn)，顯然四個(gè)選項(xiàng)都不滿足.當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，易知函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則選項(xiàng)，符合；若為正偶數(shù)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)符合；若為負(fù)偶數(shù)，易知函數(shù)的定義域?yàn)?，排除選項(xiàng).當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，易知函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則選項(xiàng)符合，若為正奇數(shù)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)符合；若為負(fù)奇數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，不妨取，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速率比冪函數(shù)的快，所以趨向于正無(wú)窮；所以內(nèi)先減后增，故選項(xiàng)符合.故選：.11.已知點(diǎn)，，點(diǎn)P為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，則（） A.面積的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)時(shí)，面積的最小值，利用三角形面積公式；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取到最小值，通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于C，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；對(duì)于D，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解.詳解】，圓C是以為圓心，為半徑的圓.對(duì)于A，面積的最小值為點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)時(shí)，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接交圓于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取到最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為,，，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即在上的投影，，故選項(xiàng)D正確； 故選：BCD.12.過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（）A.、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值B.直線的斜率為定值C.線段AB的長(zhǎng)度為定值D.面積的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標(biāo)，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則，設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，故B正確；對(duì)于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確； 對(duì)于D，聯(lián)立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知變量和的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：6789103.54566.5若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，則時(shí)的殘差為_(kāi)________（注：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差）.【答案】##【解析】【分析】先求出回歸方程，再根據(jù)回歸方程求出預(yù)測(cè)值，最后計(jì)算殘差即可.【詳解】，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)的殘差為.故答案為：.14.已知多項(xiàng)式，則___________.【答案】16【解析】 【分析】令，運(yùn)用換元法將等式變成，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式、賦值即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開(kāi)式中一次項(xiàng)為，令可得的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為1，又因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以令可得的展開(kāi)式中一次項(xiàng)為，令可得的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，所以.故答案為：16.15.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，以線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合漸近線的斜率與離心率的關(guān)系列式求解即可.【詳解】因?yàn)橐跃€段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于兩點(diǎn)，故.又根據(jù)漸近線的斜率可得，故離心率.故答案為：16.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則___．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出，可得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，令可得，可得，令，則，所以，，所以，，所以，.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若的面積是邊上的點(diǎn)，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角恒等變換，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得：，，.【小問(wèn)2詳解】 方法一：由已知：，得.，.方法二：由已知：，得.由余弦定理..設(shè)，在中，；在中，；由，解得..18.已知數(shù)列成等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，若成等差數(shù)列.（1）證明：成等差數(shù)列；（2）比較與的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】 【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，，即，所以，即，所以，即，所以，，成等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，又因?yàn)?，所以，所?19.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別是，的中點(diǎn)．將沿折至（如圖2），使得．（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)在棱上，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過(guò)證明平面得平面平面．（2）（方法1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，將與平面 所成角的正弦值表示為的函數(shù)，利用二次函數(shù)求最大值即可；（方法2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為．即為與平面所成角且，當(dāng)最小時(shí)，MB最長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑冗吶切危裕驗(yàn)榈倪呴L(zhǎng)為4，所以．在中，，，，由余弦定理，得．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】（方法1）取的中點(diǎn)，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，因?yàn)椋?，所以．因?yàn)槠矫妫矫妫裕?又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為．記與平面所成角為，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，所以，所以．（方法2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．因?yàn)樵谥?，，所以．在平面?nèi)，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，所以此時(shí)取得最大值，也最大．因?yàn)椋裕?0.甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若，求甲學(xué)員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；（2）當(dāng)時(shí)，若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式分析運(yùn)算；（2）根據(jù)題意求出分布列，進(jìn)而求出期望，再由基本不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.【小問(wèn)1詳解】用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”或“平局”，則，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件，則事件包括事件共5種，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為，則，， .所以的分布列為245所以的期望，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故的最大值為.21.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的右支相交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，求的離心率；（2）當(dāng)?shù)慕咕酁?時(shí)，恒為銳角，求的實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，得到的式子，再由離心率的定義即可得出答案；（2）設(shè)其方程為與雙曲線聯(lián)立得到韋達(dá)定理由可得，由恒為銳角，得，均有，即恒成立，求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由對(duì)稱性知是等腰直角三角形， 于是，即，解得離心率.【小問(wèn)2詳解】若的焦距為2，則，即.由于直線的斜率不為零，可設(shè)其方程為.結(jié)合，聯(lián)立得.設(shè).由韋達(dá)定理，由于兩點(diǎn)均在的右支上，故，即..由恒為銳角，得，均有，即恒成立. 由于，因此不等號(hào)左邊是關(guān)于的增函數(shù)，所以只需時(shí)，成立即可.解得，結(jié)合，可知的取值范圍是.綜上所述，的實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：聯(lián)立直線與雙曲線的方程，由可得，再將恒為銳角，得，均有，即恒成立，求解即可.22.已知函數(shù)，其中．（1）設(shè)函數(shù)，證明：①有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)；②記是的唯一極小值點(diǎn)，則；（2）若，直線與曲線相切，且有無(wú)窮多個(gè)切點(diǎn)，求所有符合上述條件的直線的方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或.【解析】【分析】（1）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，并判斷在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)即可得證；②由①可得，再對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，借助分析法即可得證. （2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義推理可得切點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，再求解作答.【詳解】（1）①依題意，，求導(dǎo)得：，令，則，函數(shù)即在R上單調(diào)遞增，又，則存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為的唯一極小值點(diǎn)．②由①知，，即，，則，因此，要證，只需證，即證，因?yàn)?，從而只需證，即，而，所以.（2）依題意，，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線l的方程為，若直線l恰好與曲線相切且有無(wú)窮多個(gè)切點(diǎn)，任取兩個(gè)不同的切點(diǎn)，則在此兩點(diǎn)處的切線為同一直線，即，于是有，則或，若，從而得：，顯然，則，若，取異于A，B外的另一個(gè)切點(diǎn)，則有，，如果，則有，如果，則，因此，從而恒有，即，于是得直線l的方程為或，當(dāng)切線方程為時(shí)，切點(diǎn)為，當(dāng)切線方程為時(shí)，切點(diǎn)為，所以直線l的方程為或．