《重慶市第十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

重慶市第十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.－2iB.－2C.2D.2i【答案】C【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，然后由復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，所以其虛部為：.故選：C.2.如圖，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為（）A.圓錐B.圓柱C.圓臺D.球【答案】A【解析】【分析】由圓錐的定義即可求解【詳解】由圓錐的定義可得直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為圓錐故選：A3.如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（）

1A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的作圖原則即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，，所以是直角三角形.故選：B.4.已知復(fù)數(shù)和，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件求解即可.【詳解】，復(fù)數(shù)和是實(shí)數(shù)，成立，當(dāng)時，例如，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.如圖，兩點(diǎn)在河的兩岸，在同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)，測得的距離，則兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.

2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】因?yàn)?，故，由正弦定理，，故m故選：D6.已知為單位向量，且則夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得到，將等式展開由平面向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】設(shè)的夾角為，因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄?，所以，所?故選：B.7.如圖，在矩形中，，分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則和四邊形法則，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：

3又所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的加法法則，熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，對向量用其它向量表示有很大的作用，屬基礎(chǔ)題.8.在中，，，，為線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意得，解得，，，，，又、、三點(diǎn)共線，，，

4當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是由已知條件求出后，再由三點(diǎn)共線，得，所以化簡后結(jié)合基本不等式可求出其最小值，二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列命題中正確的是（）A.四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體B.側(cè)面是全等等腰三角形的棱錐是正棱錐C.在中，若，則為銳角三角形D.長方體的長寬高分別為3、2、1，該長方體的外接球表面積為14π【答案】AD【解析】【分析】由六面體定義可判斷A的正誤，由正棱錐的定義可判斷B正誤，由可知為銳角，但無法判斷另外兩個角，可知C正誤，根據(jù)外接球的半徑公式可求得半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】四棱柱、四棱臺、五棱錐都有六個面，故都為六面體，故A正確；側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐，但無法保證等腰三角形的腰長為側(cè)棱長，故B錯誤；在中，若，則，解得，則為銳角，但另兩個角不一定為銳角，則不一定為銳角三角形，故C錯誤；長方體的長寬高分別為3、2、1，該長方體的外接球半徑為，球表面積為，故D正確.故選：AD.10.歐拉公式

5是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B.對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.D.的最大值為3【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式，結(jié)合復(fù)數(shù)模的幾何意義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)為純虛數(shù)，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋詮?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，而，所以對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，因此選項(xiàng)B不正確；所以選項(xiàng)C正確；，所以表示單位圓上的點(diǎn)到的距離，因此的最大值為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD11.下列命題中正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.中若，，，則有唯一解C.正四棱臺的上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，其體積為D.中，點(diǎn)O為外心，H為垂心，則【答案】BCD【解析】

6【分析】對于A，舉例不符合即可；對于B，由余弦定理解三角形只有一個解；對于C，先求出高，然后由四棱臺體積公式計(jì)算即可；對于D，作圖證明即可.【詳解】對于A，若復(fù)數(shù)，，則，故A錯誤；對于B，中若，，，由余弦定理得，所以，則，解得：或（舍去）.故B正確；對于C，正四棱臺的上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該四棱臺的高為，所以正四棱臺的體積為：.故C正確；對于D，如圖：作直徑，連接，，有，，，，.故，，得是平行四邊形，進(jìn)而，又，得.故D正確；故選：BCD.12.已知的內(nèi)角分別為，滿足，且，則以下說法中正確的有（）A.若為直角三角形，則；

7B.若，則為等腰三角形；C.若，則的面積為；D.若，則．【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化設(shè)a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，結(jié)合兩邊和大于第三邊求得2＜t＜8，討論t.判斷選項(xiàng)A,利用余弦定理得m的式子判斷BD;利用面積公式判斷C【詳解】根據(jù)題意，依次分析4個結(jié)論：對于A，根據(jù)題意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，則a：b：c＝ln2：ln4：lnt，故可設(shè)a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．則有b﹣a＜c＜b+a，則kln2＜c＜3kln2，變形可得2＜t＜8，當(dāng)時；c最大，若為直角三角形，則，即，解得；當(dāng)時；若為直角三角形，則，即，解得綜上：或，故A錯；由題意，abcosC＝abmc2，∴m．若，則解得t=4，故，為等腰三角形；B正確；對于C，當(dāng)t＝4，a＝kln2時，則b＝kln4，c＝klnt＝kln4，則有b＝c＝2a，此時等腰△ABC底邊上高為，三角形面積為，C錯；對于D，當(dāng),則有a2+b2﹣c2＜0，即解得由選項(xiàng)A,B的解析知kln2＜c＜3kln2綜合兩式得，故m選項(xiàng)D正確；

8綜合可得BD正確；故選：BD．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知方程的一個根z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為______．【答案】-1【解析】【分析】先計(jì)算出，從而計(jì)算出的值.【詳解】由題意得，則，則.故答案為：-114.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高是______m．【答案】【解析】【分析】利用圓錐表面積公式和扇形弧長公式解出圓錐底面圓半徑和母線長，然后依據(jù)母線長、底面圓半徑、圓錐高三者之間的勾股關(guān)系解出高.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為,母線長為,圓錐高為.由題意有,解得.則故答案為：.15.在中，角所對的邊分別為，且，當(dāng)取最大值時，___________.

9【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意及余弦定理、正弦定理、兩角和的正弦公式，化簡整理，可得，根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，所以整理得，即，，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以取得最大值，所以當(dāng)取最大值時，.故答案為：16.托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且△為正三角形，則△面積的最大值為___________，四邊形ABCD的面積為________________.（注：圓內(nèi)接凸四邊形對角互補(bǔ)）【答案】①.②.【解析】【分析】

10先利用托勒密定理得出與的關(guān)系，然后利用基本不等式求解出的最值，得出△面積最值，再利用求解四邊形的面積.【詳解】如圖所示，設(shè)△邊長為，則根據(jù)托勒密定理可得：，得，根據(jù)基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.又△為等邊三角形，則，根據(jù)圓內(nèi)接凸四邊形對角互補(bǔ)得.所以△的面積;又因?yàn)?，，所?故答案為：；.【點(diǎn)睛】解答的關(guān)鍵在于根據(jù)托勒密定理得出，然后利用基本不等式求出的最大值.四、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，己知正三棱錐的底面邊長為，正三棱錐的高，為的中點(diǎn)，根據(jù)正棱錐信息知道，為中心.

11（1）求正三棱錐表面積；（2）求正三棱錐的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出的長，可求得的面積，再計(jì)算出等邊的面積，即可求得三棱錐的表面積；（2）求出等邊的面積，利用錐體的體積公式可求得正三棱錐體積；【小問1詳解】解：由題意可知，是邊長為的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則，且，則，因?yàn)闉榈冗叺闹行?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，故，因此，三棱錐的表面積為.【小問2詳解】解：在正三棱錐中，為的中心，則平面，

12又因?yàn)椋虼耍?18.已知向量，，，與夾角為90°．（1）若，求k的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)且復(fù)數(shù)滿足．在最大時，求此時的值．【答案】（1）（2）-100【解析】【分析】（1）先求出向量的坐標(biāo)，然后由向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；（2）先求出數(shù)量積得到復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可.【小問1詳解】∵，，且與夾角為90°，∴，∴，∴，∴，∵，，且，∴，∴．【小問2詳解】∵，，∴設(shè)，，∵，∴，即又∵可看作到原點(diǎn)的距離，∴圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為圓心到原點(diǎn)的距離加1，即，∴的最大值為10，此時，，∴，．19.已知，其中記且的最小正周期為．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間．（注意是寫成區(qū)間）

13（2）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且求的值，【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡得到，根據(jù)最小正周期得到，利用整體法求出單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)求出，從而得到，根據(jù)三角形面積得到，由正弦定理得到，結(jié)合得到答案.【小問1詳解】，又∵，∴，∴，令，，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問2詳解】

14∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴，由正弦定理得：，又∵，∴，∴．20.在①，②函數(shù)的最小值為，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，___________.（1）求；（2）若，且的平分線上的點(diǎn)滿足，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選條件①時，利用正弦定理及兩角和的正弦公式等化簡求解即可；選條件②時，先利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)化為“一角一函數(shù)”的形式，再結(jié)合最小值進(jìn)行求解；選條件③

15時，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式等化簡求解即可.（2）設(shè)，先根據(jù)已知條件求出，然后結(jié)合平分及余弦定理求出和，最后利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】方案一：選條件①.由及正弦定理可得，，得，因?yàn)?，得，所?又，所以.方案二：選條件②.，易知，所以，得，，因?yàn)?，所?方案三：選條件③.由可得，得，即，可得，易知，所以，結(jié)合可得.【小問2詳解】在中，設(shè)，則，結(jié)合余弦定理可得，，得.設(shè)，，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，解得，，

16所以在中，，，可得，所以.21.如圖直線與的邊分別相交于點(diǎn)D，E．設(shè)，，，．（1）若，F(xiàn)為的外心，求的值，（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為R，利用平面向量的數(shù)量積和正弦定理推導(dǎo)出，求值即可．（2）根據(jù)圖形易得，結(jié)合數(shù)量積可得，根據(jù)數(shù)量積的定義代入運(yùn)算整理，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】中，，F(xiàn)為的外心，設(shè)外接的半徑為R，

17所以【小問2詳解】證明：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，，所以?22.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，（1）求邊c的值（2）若BC，AC邊上的兩條中線AM，BN，相交于點(diǎn)P，，以P為圓心，為半徑的圓上有一個動點(diǎn)T，求的最大值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，進(jìn)而有，化簡即可得，從而；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得，進(jìn)而可得重心，由題意，設(shè)

18，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模長公式即可求解.【小問1詳解】解：由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；【小?詳解】解：由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，又為三角形ABC的重心，所以，所以圓P：，設(shè)，則，，，所以，

19所以，所以的最大值為9.