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1、集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大亞灣區(qū)道南小學(xué)吳小鋒著名的集合論的創(chuàng)始人是德國數(shù)學(xué)家康托(1845-1918)。自康托創(chuàng)立集合論以來，它的概念、思想和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支中，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。集合思想作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的思想方法之一，早已滲透到各國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。我國小學(xué)數(shù)學(xué)新課程改革，也竭力把集合思想直觀地滲透到教材內(nèi)容中，從而改變了教材的面貌。小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求：結(jié)合有關(guān)知識的教學(xué)，適當(dāng)滲透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，以加深對基礎(chǔ)知識的理解。集合論本身的無窮魅力，引起許多學(xué)者的濃厚興趣。集合論與小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)有著非常微妙的聯(lián)系，并

2、且在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。本文就小學(xué)數(shù)學(xué)課本中(以義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書為例)常見的集合思想及其在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用談點(diǎn)淺見，主要研究它在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透和應(yīng)用。一．集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透我們把具有某種屬性的一些對象的全體看成一個集合。運(yùn)用集合的知識去解決有關(guān)的問題,這樣的思維觀點(diǎn)被稱為集合的觀點(diǎn)。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是這樣滲透的。（1）集合概念在教學(xué)中的滲透小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開始，教材就通過直觀形象的韋恩圖滲透了集合的概念。在認(rèn)識0～10的十一個數(shù)字中，每個數(shù)字都有一張相應(yīng)的集合圖，也就是告訴學(xué)生，一個集合中有幾個元

3、素就用“幾”來表示。如《數(shù)學(xué)》第一冊表示“1”的集合圖里只有一個元素（一只大象）；表示4的集合圖里有4個元素（4朵白云）。這就很形象地把集合中的元素與基數(shù)的概念有機(jī)地聯(lián)系起來。在教學(xué)“0”時，教材通過三個集合里分別有兩個茶杯，一個茶杯、沒有茶杯來說明空集這一概念。《數(shù)學(xué)》第一冊的“分類”一節(jié)課中，把兩個球圈在一起，還把書包、雞、氣球放在一幅圖里，讓學(xué)生試一試能否把同類物體圈在一起。這部分內(nèi)容滲透了如何把一些同類的物體組成一個集合的思想。8教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時，為了突破單位“1”的含義這個難點(diǎn)，教材通過兩個實(shí)物韋恩圖，直觀說明把4個蘋果和6只熊貓玩具各

4、作一個整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”?！凹s數(shù)和倍數(shù)”一章，集合的滲透更加明顯。數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多知識除了用語言敘述外，還可以根據(jù)知識的特點(diǎn)用集合圖來表示，這徉既形象、具體，又能培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念，滲透集合思想。如：表示物體個數(shù)的0、1、2、3、4……叫做自然數(shù)，用集合圖可以表示：自然數(shù)0、1、2、3、……又如：12的約數(shù)有1，2，3，4，6，12；12的倍數(shù)有12，24，36，48……用集合圖表示為：12的約數(shù)：12的倍數(shù)：1、2、3、4、6、1212、24、36、48……課本在教學(xué)一個數(shù)的約數(shù)的求法時，通過擺彩條和列算式幫助學(xué)生

5、理解約數(shù)的概念。在擺彩條和列出算式的基礎(chǔ)上，用集合圈表示出一個數(shù)的全部約數(shù)使學(xué)生初步體會到一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的(見圖1)；在教學(xué)一個數(shù)的倍數(shù)的求法時，教材把擺彩條列算式對照起來，也用集合圈把2的倍數(shù)表示出來，使學(xué)生初步體會2的倍數(shù)是無限的(見圖2)（2）元素與集合之間的關(guān)系在教學(xué)中的滲透8元素與集合之間的關(guān)系是屬于或不屬于。一個元素對一個集合來說，不是屬于就是不屬于，不能有其它情形。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于集合與元素之間關(guān)系的滲透是結(jié)合數(shù)的組成及分類來進(jìn)行的?！稊?shù)學(xué)》第二冊的練習(xí)題：《數(shù)學(xué)》第九冊的練習(xí)題：檢查下面各數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，指出哪些數(shù)是質(zhì)數(shù),

6、哪些數(shù)是合數(shù)，分別填在指定的圈內(nèi)，并用質(zhì)數(shù)表檢查。（3）集合間關(guān)系在教學(xué)中的滲透集合間的包含關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透主要表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的構(gòu)建之中。教師應(yīng)認(rèn)識到，用集合韋恩圖法來揭示若干概念之間的關(guān)系，是一種非常行之有效的方法。因?yàn)轫f恩圖法能使學(xué)生清楚和直觀地了解各個概念之間的聯(lián)系和差異，這樣有利于學(xué)生對概念的理解和掌握。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有關(guān)三角形的分類問題，除用文字說明外,還有用集合形象地表示出來，使學(xué)生看清三角形集合與銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各集合之間是整體與部分的關(guān)系(見圖3)。8學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行四邊形后,會發(fā)現(xiàn)長方形、正方形也都具有

7、兩組對邊分別平行這一特征，所以長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，那么，正方形、長方形及平行四邊形之間的關(guān)系是一串包含的關(guān)系，表示為圖4。這種直觀的表示方法便于學(xué)生加深理解，同時滲透了子集、真子集的含義。數(shù)學(xué)概念體系中，整除和除盡是兩個含義相近的概念，學(xué)生容易混淆。一般的做法是，教師采用列表的方式從相同點(diǎn)和不同點(diǎn)兩個方面對這兩個概念進(jìn)行比較。在實(shí)際教學(xué)中效果總是不盡如人意。根據(jù)小學(xué)生的思維帶有較大成分的具體形象性的特點(diǎn)，我們不妨利用韋恩圖來說明整除與除盡的關(guān)系(見圖5)。（4）集合運(yùn)算在教學(xué)中的滲透教材結(jié)合講解公約數(shù)、公倍數(shù)等概念，滲透了交集的思想。

8、教學(xué)“最大公約數(shù)”時，首先利用直觀教具和學(xué)具，通過學(xué)生操作，引出公約數(shù)、最大公約數(shù)的概念，接著，教材中還用集