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1、量子力學習題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)1．1。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式，以及，（2），（3）有這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是λ取何值時，取得極大值，因此，就得要求對λ的一階導數(shù)為零，由此可求得相應的λ的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對λ的二階導數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下：如果令x=，則上述方程為77這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計算法獲得：x=4.97，經(jīng)過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把

2、x以及三個物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體（如遙遠星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1．2解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（），那么如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠遠小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量——動量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對77作一點討論，從上式可以看出，當粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這

3、個粒子的波動性較弱，而粒子性較強；同樣的，當粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。1．3解根據(jù)，知本題的氦原子的動能為顯然遠遠小于這樣，便有這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相慶的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當體系的溫度越低，相應的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當波長長到比粒子

4、間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布——玻色分布或費米公布。1．4解玻爾——索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為μ，于是有這樣，便有77這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示一個來回，運動了一圈。此外，根據(jù)可解出這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有為了積分上述方程的左邊，作

5、以下變量代換；這樣，便有這時，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個積分這樣，便有（1）77這里=2θ，這樣，就有（2）根據(jù)式（1）和（2），便有這樣，便有其中最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有這時，玻爾——索末菲的量子化條件就為又因為動能耐，所以，有77其中，是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且具體到本題，有根據(jù)動能與溫度的關(guān)系式以及可知，當溫度T=4K時，當溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。1

6、．5解關(guān)于兩個光子轉(zhuǎn)化為正負電子對的動力學過程，如兩個光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負電子對的問題，嚴格來說，需要用到相對性量子場論的知識去計算，修正當涉及到這個過程的運動學方面，如能量守恒，動量守恒等，我們不需要用那么高深的知識去計算，具休到本題，兩個光子能量相等，因此當對心碰撞時，轉(zhuǎn)化為正風電子對反需的能量最小，因而所對應的波長也就最長，而且，有此外，還有于是，有77盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對應的光子的最大波長將會更小，這從某種意

7、義上告訴我們，當涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1證：對于定態(tài)，可令可見無關(guān)。2.2解：在球坐標中同向。表示向外傳播的球面波。77可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點)傳播的球面波。補充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？∴波函數(shù)不能按方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程在各區(qū)域的具體形式

8、為Ⅰ：①Ⅱ