《思辨數(shù)學(xué)的教育價值》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、思辨數(shù)學(xué)的教育價值　　摘要：思辨數(shù)學(xué)的概念是弗賴登塔爾提出的．概率統(tǒng)計課程中思辨數(shù)學(xué)內(nèi)容至少包含思辨求解和思辨推斷兩個模塊．關(guān)于思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，能為概率統(tǒng)計教學(xué)提供重心，在教學(xué)法上具有重要意義．珍視概率統(tǒng)計課程中思辨數(shù)學(xué)的教育價值，驅(qū)動以概念為本的概率統(tǒng)計課程教學(xué)，對訓(xùn)練創(chuàng)新思維素養(yǎng)和培育直覺能力有著獨特的作用．　　關(guān)鍵詞：思辨數(shù)學(xué)；算法；概率統(tǒng)計；直覺思維　　1思辨數(shù)學(xué)詞源詮釋思辨數(shù)學(xué)一詞是荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal，1905—1990）首先提出的．他在名著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中舉例詮釋了思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別：設(shè)有相同

2、數(shù)量的白酒與紅酒各一杯，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)．試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？答案是：兩種含量一樣多．然而解題方法有兩種，一種是根據(jù)其取法操作，列出算式計算……另一種是這樣思考的：設(shè)想每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒正是紅酒杯中所缺少的部分，而它的空缺現(xiàn)在正好被白酒所填補．前一種解法是算法求解，后一種解法是思辨求解[1]．“算法”（Algorithm）就是指計算訣竅．有種界定：“算法是為了實現(xiàn)一個計算或者解決一個問題的精確指令的有限集合．”[2]算法還被廣泛理解為解決問題的所有

3、確定步驟．思辨數(shù)學(xué)也稱為概念數(shù)學(xué)[3]．類似地，解一個概率問題：設(shè)有一線段AB，在AB上隨機地投一點X，記ξ=AX，問Eξ等于多少?（所謂“隨機地”的意思是點X落在線段CD上的概率等于CD/AB．這個概率只與CD的長度有關(guān)，而與CD位于AB中的哪一段無關(guān)．這就是幾何概型中的等可能性或?qū)ΨQ性）．如圖1：　　對稱性知，隨機變量ξ與η有相同的分布（不管其分布是什么），因而Eξ=Eη，但ξ+η=AB，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有Eξ+Eη=AB，所以2Eξ=AB，即2Eab+ξ=．顯然，這是兩種思維風(fēng)格迥然不同的解法，解法一是邏輯性的算法求解，屬于算法數(shù)學(xué)；解法二主要是直覺性的思辨求

4、解，屬于思辨數(shù)學(xué)．這里舉例僅僅是為了詮釋概率論中思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)別．我們認為，思辨數(shù)學(xué)就是動態(tài)地辯證地把握概念和體味推據(jù)（這里把思辨推理的理論依據(jù)簡稱推據(jù)），憑借對概念的直覺和數(shù)學(xué)美的啟迪（而非邏輯性的推理），產(chǎn)生直觀的解題思路方法或做出合情推理決策．換言之，在直覺領(lǐng)引下，圍繞推據(jù)，換位思考，思維在運動中覓到解題方法的一套數(shù)學(xué)知識體系．德國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因（KleinF，1849—1925）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面，它們遠不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠不能當(dāng)作繪畫一樣，技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵

5、剝落后的產(chǎn)物．”[4]克萊因這一論斷，對概率統(tǒng)計教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義，把握思辨數(shù)學(xué)與算法數(shù)學(xué)的區(qū)分，它能為教學(xué)提供重心，對于貫徹概率統(tǒng)計思想方法為主線的教學(xué)大有裨益．2概率統(tǒng)計課程中的思辨數(shù)學(xué)內(nèi)涵透析從思維的邏輯層面透析，概率統(tǒng)計知識內(nèi)容可以分為兩類，大部分是程序性的，有一些則是思辨性的．算法是程序性的，概率統(tǒng)計的演算中充斥著算法；然而，在概率演算題中也會遇到思辨求解問題，雖然這類題數(shù)量不多，但解題思維中頗富有理性精神，有著方法論的教育意義．特別值得一提的是，就產(chǎn)生數(shù)理統(tǒng)計一些重要方法的思想而言，思辨因素起著關(guān)鍵性的作用，從本質(zhì)上講，作為數(shù)理統(tǒng)計核心內(nèi)容的統(tǒng)計推斷

6、也隸屬于思辨數(shù)學(xué)的范疇，即思辨數(shù)學(xué)至少包含思辨求解和思辨推斷兩大模塊．現(xiàn)分述如下：　　2.1思辨求解問題若對某些概率問題的題設(shè)條件進行分析，抓住題目中的關(guān)鍵概念，由對這些概念的直覺和思辨，就能引發(fā)解題的思路和方法．具體說來，吃透問題的條件和結(jié)論，抓住起決定性作用的思辨因素，運用發(fā)散思維或逆向思維，進行類比聯(lián)想或換位思考推理，進而恰當(dāng)?shù)匾胼o助事件或輔助隨機變量，就會建構(gòu)和洞察到所研究的數(shù)學(xué)對象中蘊涵著的事件之間或隨機變量之間的某種對稱性、對等性或等可能性的關(guān)系．那么，這些事件、事件關(guān)系所遵從的一般的概率法則、統(tǒng)計規(guī)律或一些概率原理等就構(gòu)成解題思維的支點，即推據(jù)；思維

7、一旦受到這些推據(jù)以及數(shù)學(xué)中對稱美的直覺啟發(fā)，就會迅速地做出判斷，尋到簡便的解法，或直接給出答案．例1一副紙牌共N張，其中三張A，隨機地洗牌后，從頂上開始一張接一張地翻牌，直到翻到第二張A出現(xiàn)為止，求翻牌數(shù)ξ的平均值．解：假定從底里開始一張接一張地翻牌，也翻到第二張A出現(xiàn)為止，翻過的牌數(shù)為η，由對稱性（即從頂上開始翻牌與從底里開始翻牌情況是一樣的）知，ξ與η有相同的分布，因而平均值也就相同，即Eξ=Eη；又考慮到ξ+η=N+1，所以有Eξ+Eη=N+1，即Eξ=(N+1)/2．例2證明組合公式[5]：　　knnkinkiinCCC21201+?　　=Σ=，k=0,