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1、第八章對策與決策模型浙江大學數(shù)學建?；氐诎苏聦Σ吲c決策模型對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個問題時，往往會面臨幾種情況，同時又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結果。有時，人們面臨的問題具有競爭性質，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當作對策問題來求解?！?/p>

2、8.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結果。先考察幾個實際例子。例8.1（田忌賽馬）田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個等級的馬各一匹進行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。例8.2（石頭—剪子—布）這是一個大多數(shù)人小時候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，

3、石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時不得分，見下表。表8.1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10例8.3（囚犯的困惑）警察同時逮捕了兩人并分開關押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認，這兩個人都知道：如果他們雙方都不供認，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個月；如果雙方都供認偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認另一方不供認，則供認方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表8.2嫌疑犯B供認不供認嫌疑犯A供認不供認（3，3）（0，

4、7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔心對方供認并希望受到最輕的懲罰，最保險的辦法自然是承認制造了偽幣。一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結局的策略，在例8.3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡單實例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個基本要素。（

5、2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對策問題中，對應于每一局中人存在著一個策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因為對他來講，不存在選擇策略的余地。應當注意的是，所謂策略是指在整個競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個完整策略的組成部分，而不能看成一個完整的策略。當然，有時可將它看成一個多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集為有限集時稱為有限對策，否則稱為無限對策。記局中人i的策略集合為Si。當對

6、策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個純局勢（簡稱局勢）。例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA={1,…,m}，SB={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構成此對策的一個純局勢。顯然，SA與SB一共可構成m×n個純局勢，它們構成表8.3。對策問題的全體純局勢構成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。(m,n)…(m,j)…(m,2)(m,1)m…………………(i,n)…(i,j)…(i,2)(i,1)i…………………(2,n)…(2,j)…(2,2)(2,1)2(1,n)…(1,j)…(

7、1,2)(1,1)1A的策略n…J…21B的策略（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結果下應贏得（或支付）的值。綜上所述，一個對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當I中每一局中人i選定策略后得一個局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,