《奧林匹克數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)中的數(shù)論初步》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第1章整除在日常生活中，我們會(huì)過(guò)到許多有趣而又耐人尋味的問(wèn)題：某同學(xué)到文具店買(mǎi)了七個(gè)一角二分錢(qián)的本子、五個(gè)六分錢(qián)的鉛筆和三個(gè)活頁(yè)夾子。售貨員收了他三元錢(qián)，并找還三角七分錢(qián)。這個(gè)同學(xué)馬上對(duì)售貨員說(shuō)：“您的賬算錯(cuò)了！”你能知道他為什么這樣快就知道“算錯(cuò)了賬”嗎？排練團(tuán)體操時(shí)，要求隊(duì)伍變成10行、15行、18行、24行時(shí)，隊(duì)形都能成為矩形，問(wèn)最少需要多少人參加團(tuán)體操的排練？§1.1十進(jìn)制整數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們主要學(xué)習(xí)的是整數(shù)的運(yùn)算，思考整數(shù)是怎樣表示的？“逢十進(jìn)一”是什么意思？我們通常接觸到整數(shù)都是十進(jìn)制的整數(shù)。十進(jìn)制計(jì)數(shù)法就

2、是采取逢十進(jìn)一的法則進(jìn)行計(jì)數(shù)的方法。例如，1995就是由1個(gè)一千，9個(gè)一百，9個(gè)十和1個(gè)五組成，因此1995這個(gè)數(shù)就可以寫(xiě)成.那么對(duì)于任意一個(gè)n+1位的正整數(shù)怎樣用這種形式表示？為了表示方便，我們經(jīng)常把用字母表示數(shù)字的多位數(shù)，在這個(gè)多位數(shù)上面加一個(gè)橫線，以避免和乘法混淆，例如，就表示一個(gè)五位數(shù)?！?.2數(shù)的整除設(shè)有兩個(gè)整數(shù)a，b（b≠0），若有另一整數(shù)q，使得，則稱(chēng)a被b整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍數(shù)；b是a的約數(shù)，并記作b

3、a.若a不能被b整除，則記作.我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)下述有關(guān)整除的判別法則：1、被2或

4、5整除的數(shù)的特征是末位數(shù)字能被2或5整除；2、被4或25整除的數(shù)的特征是末兩位數(shù)字能被4或25整除；3、被8或125整除的數(shù)字的特征是末三位數(shù)字能被8或125整除；4、被3或9整除的數(shù)的特征是個(gè)位數(shù)字的和能被3或9整除；5、被11整除的數(shù)的特征是其奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11整除；解題過(guò)程中我們常用的性質(zhì)：1、若；2、3、4、若a、b互質(zhì)，且5、若a、b互質(zhì)，且6、n個(gè)連續(xù)整數(shù)中，必有一個(gè)能被n整除；§1.3~1.4奇數(shù)和偶數(shù)把全體整數(shù)分成奇數(shù)類(lèi)和偶數(shù)類(lèi)是一種最常用的分類(lèi)方法；奇數(shù)就是通常所述的單數(shù)，偶數(shù)就

5、是通常所說(shuō)的雙數(shù)；一般的，一個(gè)整數(shù)如果能被2整除就叫做偶數(shù)，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇數(shù)；偶數(shù)可以記作2n，奇數(shù)可以記作2n-1或2n+1（n為整數(shù)）；奇數(shù)和偶數(shù)有一些十分簡(jiǎn)單又明顯的性質(zhì)：1、奇數(shù)不等于偶數(shù)；2、奇數(shù)；3、奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，任意多個(gè)偶數(shù)的和都是偶數(shù)；4、；5、兩個(gè)整數(shù)的和與這兩個(gè)整數(shù)的差具有相同的奇偶性；6、奇數(shù)的平方為4k+1型的數(shù)，偶數(shù)的平方為4k型的數(shù)（k為整數(shù)）；7、任意兩個(gè)整數(shù)的平方和被4除一定不余3；8、任意兩個(gè)整數(shù)的平方差被4除一定不余2；§1.5質(zhì)

6、數(shù)與合數(shù)對(duì)于正整數(shù)可以依照它們的正約數(shù)的個(gè)數(shù)分為三類(lèi)：一類(lèi)是只有一個(gè)正約數(shù)的數(shù)，它就是1；一類(lèi)是只有兩個(gè)正約數(shù)的數(shù)，這兩個(gè)正約數(shù)只能是1和它本身，例如5,7,11，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）；第三類(lèi)是有兩個(gè)以上的正約數(shù)的數(shù)，例如6就有4個(gè)正約數(shù)：1,2,3,6，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。因此，正整數(shù)是由1，質(zhì)數(shù)，合數(shù)三部分組成的。關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列性質(zhì)：1、質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)；2、除2以外的全體質(zhì)數(shù)都是正奇數(shù)，除2以外的全體正偶數(shù)都是合數(shù)；3、大于1的整數(shù)的所有約數(shù)中，1以外的最小正約數(shù)一定是質(zhì)數(shù)；4、如果a是合數(shù)，那么a的最

7、小質(zhì)因數(shù)一定不大于；§1.6算術(shù)基本定理每一個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)的連乘的形式來(lái)表示，叫做分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)有下面一個(gè)重要的定理：算術(shù)基本定理：任何一個(gè)正整數(shù)，都能分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積，即：其中為互不相等的質(zhì)數(shù)，；如果不考慮順序，則這個(gè)分解式是唯一的。§1.7最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)對(duì)于4、8、12這一組數(shù)，顯然1、2、4都能整除它們中的每一個(gè)數(shù)，所以1、2、4都是它們的公約數(shù)，其中4是這些公約數(shù)中的最大的。把這個(gè)概念推廣到一般情形，有如下定義：如果和d都

8、是正整數(shù)，且，那么d叫做的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的叫做的最大公約數(shù)，記作。當(dāng)（a，b）=1時(shí)，我們稱(chēng)a，b互質(zhì)的最大公約數(shù)表示的是一個(gè)正數(shù)，是一個(gè)能夠整除并且能被的每一個(gè)約數(shù)整除的數(shù)；常用的有關(guān)最大約數(shù)的性質(zhì)有：1、若a

9、b，則（a，b）=a；2、若（a，b）=d，且n是正整數(shù)，則（na，nb）=nd；3、若n

10、a，n

11、b，則（a/n，b/n）=（a，b）/n；其中，性質(zhì)3表明，若（a，b）=d，則（a/d，b/d）=1；4、若a=bq+r（），則（a，b）=（b，r）；對(duì)于4、8、12這一組數(shù)，24、48和72等都能被它

12、們中的每一個(gè)數(shù)整除，24、48和72都叫他們的公倍數(shù)，而24是公倍數(shù)中最小的，把這個(gè)概念推廣到一般形式，有如下的定義：如果和m都是正整數(shù)，且，那么m叫做的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的數(shù)叫做的最小公倍數(shù)，記作。5、若b

13、a，則[a，b]=a；6、若[a，b]=m，且n為正整數(shù)，則[na，nb]=mn；1、若n

14、a，n

15、b，則