《國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克試題分類解析數(shù)論》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、A2整數(shù)的求解A2－001哪些連續(xù)正整數(shù)之和為1000？試求出所有的解．【題說】1963年成都市賽高二二試題3．【解】設(shè)這些連續(xù)正整數(shù)共n個(gè)（n＞1），最小的一個(gè)數(shù)為a，則有a＋（a＋1）＋…＋（a＋n－1）＝1000即n（2a＋n－1）＝2000若n為偶數(shù)，則2a＋n－1為奇數(shù)；若n為奇數(shù)，則2a＋n－1為偶數(shù)．因a≥1，故2a＋n－1＞n．同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三種：若n＝5，則a＝198；若n＝16，則a＝55；若n＝25，則a＝28．故解有三種：198＋199＋200＋201＋2025

2、5＋56＋…＋7028＋29＋…＋52A2－002N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù)b，使得N是整數(shù)的四次方．【題說】第九屆（1977年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題3．【解】設(shè)b為所求最小正整數(shù)，則7b2＋7b＋7＝x4素?cái)?shù)7應(yīng)整除x，故可設(shè)x＝7k，k為正整數(shù)．于是有b2＋b＋1＝73k4當(dāng)k＝1時(shí)，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是滿足條件的最小正整數(shù)．A2－003如果比n個(gè)連續(xù)整數(shù)的和大100的數(shù)等于其次n個(gè)連續(xù)數(shù)的和，求n．【題說】1976年美國(guó)紐約數(shù)學(xué)競(jìng)賽題7．s2－s1＝n2＝100從而求得n

3、＝10．A2－004設(shè)a和b為正整數(shù)，當(dāng)a2＋b2被a＋b除時(shí)，商是q而余數(shù)是r，試求出所有數(shù)對(duì)（a，b），使得q2＋r＝1977．【題說】第十九屆（1977年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題5．本題由原聯(lián)邦德國(guó)提供．【解】由題設(shè)a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0≤r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以q2≤1977，從而q≤44．若q≤43，則r＝1977－q2≥1977－432＝128．即（a＋b）≤88，與（a＋b）＞r≥128，矛盾．因此，只能有q＝44，r＝41，從而得a2＋b2＝44（a＋b）＋41（a－22）2＋（b－22

4、）2＝1009不妨設(shè)

5、a－22

6、≥

7、b－22

8、，則1009≥（a－22）2≥504，從而45≤a≤53．經(jīng)驗(yàn)算得兩組解：a＝50，b＝37及a＝50，b＝7．由對(duì)稱性，還有兩組解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50．A2－005數(shù)1978n與1978m的最后三位數(shù)相等，試求出正整數(shù)n和m，使得m＋n取最小值，這里n＞m≥1．【題說】第二十屆（1978年）國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題1．本題由古巴提供．【解】由題設(shè)1978n－1978m＝1978m（1978n－m－1）≡0（mod1000）因而1978m≡2m×989m≡0（mod8

9、），m≥3又1978n－m≡1（mod125）而1978n－m＝（1975＋3）n－m≡3n－m＋（n－m）3n－m－1·1975（mod125）（1）從而3n－m≡1（mod5），于是n－m是4的倍數(shù)．設(shè)n－m＝4k，則代入（1）得從而k（20k＋3）≡0（mod25）因此k必須是25的倍數(shù)，n－m至少等于4×25＝100，于是m＋n的最小值為n－m＋2m＝106，m＝3，n＝103A2－006求方程x3＋x2y＋xy2＋y3＝8（x2＋xy＋y2＋1）的全部整數(shù)解x、y．【題說】1980年盧森堡等五國(guó)國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題6．

10、本題由荷蘭提供．于是x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vux2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v從而原方程變?yōu)?v（u－4）＝u3－8u2－8（2）因u≠4，故（2）即為根據(jù)已知，u－4必整除72，所以只能有u－4＝±2α3β，其中α＝0，1，2，3；β＝0，1，2進(jìn)一步計(jì)算可知只有u－4＝2·3＝6，于是u＝10，v＝16A2－007確定m2＋n2的最大值，這里m和n是整數(shù)，滿足m，n∈｛1，2，…，1981｝，（n2－mn－m2）2＝1．【題說】第二十二屆（1981年）國(guó)際數(shù)學(xué)

11、奧林匹克題3．【解】若m＝n，由（n2－mn－m2）2＝1得（mn）2＝1，故m＝n＝1．若m≠n，則由n2－mn－m2＝±1得n＞m．令n＝m＋uk，于是[（m＋uk）2－m（m＋uk）－m2]2＝1于是有若uk≠uk－1，則以上步驟可以繼續(xù)下去，直至從而得到數(shù)列：n，m，uk，uk－1，…，uk－l，uk－l－1此數(shù)列任意相鄰三項(xiàng)皆滿足ui＝ui－1＋ui－2，這恰好是斐波那契型數(shù)列．而{1，2，…，1981}中斐氏數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，15

12、97，可見m＝987，n＝1597時(shí)，m2＋n2＝3524578為滿足條件的最大值．A2－008求方程w！＝x?。珁?。珃！的所有正整數(shù)解．【題說】第十五屆（1983年）加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克題1．【解】不妨設(shè)x≤y≤z．顯然w≥z＋1，因此（z＋1）！≤w！＝x?。珁?。珃！≤3·z！從而z≤2．通過計(jì)算