《四川省瀘州市瀘縣第四中學2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

瀘縣四中2023年秋期高二期末考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現(xiàn)有件正品和件次品，從中不放回的依次抽取件產(chǎn)品，則事件“第二次抽到的是次品”的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】記件正品為，件次品分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記件正品為，件次品分別記為、，用表示第一次抽到正品，第二次抽到次品，從這件產(chǎn)品中不放回的依次抽取件產(chǎn)品，所有的基本事件有：、、、、、，共種，其中，事件“第二次抽到的是次品”所包含的基本事件有：、、、，共種，故所求概率為.故選：C.2.已知四邊形的頂點，則四邊形的形狀為（）A.平行四邊形B.菱形C.梯形D.矩形【答案】D【解析】【分析】求出四條邊所在直線的斜率，可判斷它們是矩形．【詳解】因為，所以. 又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形.又因為，所以.所以四邊形為矩形.故選：D.【點睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系，在斜率存在的情況下不重合的兩直線平行的充要條件是斜率相等，垂直的充要條件是斜率乘積為－1．3.圓關(guān)于點對稱的圓的標準方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先將圓的方程化為標準方程得到圓心和半徑，再求出圓心關(guān)于的對稱點即可得到對稱的圓的標準方程.【詳解】由題意可得圓的標準方程為，所以圓心為，半徑為，因為點關(guān)于點的對稱點為，所以所求對稱圓的標準方程為，故選：D4.雙曲線的漸近線方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的標準方程可直接求得雙曲線的漸近線的方程. 【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的標準方程求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，在四面體中，，，，點M在上，且，N為的中點，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量線性運算，即可求解.【詳解】.故選：B6.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1，3，3，5，5，7，…，若該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群共有（）． A.10層B.11層C.12層D.13層【答案】C【解析】【分析】設(shè)該數(shù)列為，塔群共有n層，則數(shù)列為1，3，3，5，5，7，…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)求和公式可得，從而可求出的值【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，塔群共有n層，即數(shù)列有n項，數(shù)列為1，3，3，5，5，7，…，則．該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，且，，則其公差，則有，又，則有，即，解得或（舍去），則．故選：C．7.已知橢圓：的右焦點為，左頂點為.若點為橢圓上的點，軸，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由題意可得，，然后可得，然后結(jié)合和可得，解出即可.【詳解】由題意可得，所以，所以所以，所以，所以所以，所以，解得或因為，所以故選：D【點睛】本題考查的是橢圓離心率的求法，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題.8.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，若的前項和為，則，則正整數(shù)等于（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列前項和公式，即可求解.【詳解】聯(lián)立可得或，又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，則公比， 所以，所以.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知向量，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】通過空間向量平行和垂直的坐標運算，驗證各選項是否正確.【詳解】A選項，因為，所以，A正確；B選項，因為，所以，B正確；C選項，設(shè)，則有，方程組無解，故不平行，C錯誤；D選項，，故，D正確.故選：ABD10.大數(shù)據(jù)時代為媒體帶來了前所未有的豐富數(shù)據(jù)資源和先進的數(shù)據(jù)科學技術(shù)，在AI算法的驅(qū)動下，無論是圖文編輯、視頻編輯，還是素材制作，所有的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容創(chuàng)作都變得更加容易.已知某數(shù)據(jù)庫有視頻a個，圖片b張（且）.從中隨機選出一個視頻和一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件A，“視頻甲入選”為事件B，“圖片乙入選”為事件C，則下列判斷中正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】顯然事件相互獨立，且，于是，A錯誤，B正確； 事件包含“視頻甲未入選，圖片乙入選”、“視頻甲入選，圖片乙未入選”、“視頻甲?圖片乙都未入選”三種情況，因此，則，所以C正確；依題意，，，而且，因此，即，D錯誤.故選：BC11.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓于，兩點，若的最大值為5，則（）A.橢圓的短軸長為B.當最大時，C.離心率為D.的最小值為3【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)條件和橢圓性質(zhì)確定橢圓方程，再根據(jù)方程分別計算每個選項.【詳解】依題意：，設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的定義可知：，，當最大為5時，最小為3，即橢圓的通徑為3；令代入橢圓方程得：橢圓的通徑為，又，代入上式解得，所以橢圓短軸長為，A選項錯誤； 當最大時，最小，即直線AB過點，A，B點關(guān)于x軸對稱，，B選項正確；，C選項錯誤；D選項正確；故選：BD.12.設(shè)是公比為正數(shù)等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.B.C.為常數(shù)D.為等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比，進而可得通項公式與，再逐個選項判斷即可.【詳解】設(shè)公比為，則，解得，故，則，.對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，為常數(shù)，故C正確；對D，，，故為等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.等差數(shù)列中，，則______.【答案】60【解析】【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)化簡：，求出的值，代入求值即可． 【詳解】由題意知，，則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，即，所以，故答案為：60．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用，一定要注意項數(shù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)，已知直線l1：，過點作直線l2，且l1∥l2，則直線l1與l2之間距離的最大值是__．【答案】【解析】【分析】直接利用方程組求出直線經(jīng)過定點，則當此定點和點的連線與l1垂直時，直線l1與l2之間距離取得最大，進一步利用兩點間的距離公式求出結(jié)果．【詳解】解：由于直線l1：，整理得，由，解得，即直線l1恒過點；則過點作直線l2，且l1∥l2，所以直線l1與l2之間距離的最大值為點與點間的距離．故答案為：．15.已知拋物線：，直線：交于兩點，則線段的長是_______．【答案】5【解析】【分析】聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，再根據(jù)弦長公式即可得解.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消得，， 則，所以.故答案為：.16.已知矩形中，，，是邊的中點.現(xiàn)以為折痕將折起，當三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的體積為___________.【答案】【解析】【分析】求得三角形邊上的高，然后求得外接球的半徑，進而求得外接球的體積.【詳解】過作交于，，中有，.三角形是等邊三角形，邊長為，由可得三角形外接圓半徑為，設(shè)外接圓圓心為，. 當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時平面.由于，，所以是三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，則，所以外接球的體積為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2 元（不足一小時的部分按一小時計算）．有甲、乙兩人來該租車點租車騎游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，，兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，，兩人租車時間都不會超過四小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分別求出甲、乙兩人租車時間超過三小時且不超過四小時的概率，分析租車費用相同的三種情況，分別求出每種情況的概率再相加；（2）分析兩人所付的租車費用之和為4元的三種情況，分別求出每種情況的概率再相加.【小問1詳解】甲、乙兩人租車時間超過三小時且不超過四小時的概率分別為，，甲、乙兩人所付租車費用相同可分為租車費都為0元、2元、4元三種情況．租車費都為0元的概率為，租車費都為2元的概率為，租車費都為4元的概率為.所以甲、乙所付租車費用相同的概率為.【小問2詳解】設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為，則“”表示“兩人的租車費用之和為4元”，其可能的情況是甲、乙的租車費分別為①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得，即甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率為.18.已知等比數(shù)列，，，是與的等差中項.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）由遞推關(guān)系確定數(shù)列單調(diào)性，根據(jù)等差中項列方程求出公比即可求解；（2）根據(jù)錯位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，由及，得，解得或(舍去)，所以.（2）由（1）得，，①，②由①-②得，∴.19.如圖，四棱錐P-ABCD，M為棱PB上中點，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，.（1）證明：；（2）若，求AM與平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接與交于點，連接，則由菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得， ，再由線面垂直的判定可得平面，然后明線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由（1）可知平面平面，以為坐標原點，射線方向為軸正方向，射線方向為軸正方向，建立如圖直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：連接與交于點，連接.因為底面為菱形，所以，且.因為，所以.又因為平面PBD，平面PBD，，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】由題可知，，所以，由（1）可知平面，因為平面，所以平面平面，在平面中過作，交于，因為平面平面，所以平面，因為平面，所以，所以以為坐標原點，射線方向為軸正方向，射線方向為軸正方向，射線方向為軸正方向，建立如圖直角坐標系. 則，，，，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以與平面所成角的正弦值為.20.已知動圓P過點且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若A，B是曲線C上的兩個點，且直線AB過的外心，其中O為坐標原點，求證:直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點，利用已知條件列等式求曲線C的方程；（2）直線AB過的外心，有，設(shè)直線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理求未知系數(shù)，證明直線過定點.【小問1詳解】設(shè)點，則=，平方并整理得，∴曲線C的方程為.【小問2詳解】證明:由題意可知直線的斜率一定存在，否則不與曲線C有兩個交點. 設(shè)的方程為，，聯(lián)立得，其中，則，，由，得，.∴.∵直線過的外心，∴.∴·，即，解得或（舍去）.當時，滿足.∴直線的方程為，∴直線過定點.21.已知圓M圓心M在x軸上，半徑為2，直線l：3x＋4y－1＝0被圓M截得的弦長為2，且圓心M在直線l的上方．（1）求圓M的方程；（2）設(shè)A（0，t），B（0，t－6）（2≤t≤4），若圓M是的內(nèi)切圓，求AC，BC邊所在直線的斜率（用t表示）（3）在（2）的條件下求的面積S的最大值及對應(yīng)的t值．【答案】（1）（x－2）2＋y2＝4（2）；（3）最大值為24，t＝2或t＝4【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓的弦長公式，可求得圓心M到直線l 的距離，再結(jié)合點到直線距離公式，可求得圓心坐標，即可得答案.（2）設(shè)AC斜率為k1，BC斜率為k2，即可表示出直線AC和直線BC的方程，根據(jù)圓M與直線AC和直線BC相切，即可得表達式，即可得答案.（3）由（2）可得直線AC和直線BC方程，聯(lián)立可求得C點橫坐標，可得面積S表達式，根據(jù)（2）可得表達式，根據(jù)t的范圍，可得的范圍，進而可得S的最大值.【小問1詳解】設(shè)圓心M（a，0），由已知得M到l：3x＋4y－1＝0的距離為，所以，又因為M在l的上方，所以3a－1>0，則3a－1＝5，解得a＝2，所以圓的方程為（x－2）2＋y2＝4.【小問2詳解】設(shè)AC斜率為k1，BC斜率為k2，則直線AC的方程為y＝k1x＋t，直線BC的方程為y＝k2x＋t－6.由于圓M與AC相切，所以，解得；同理可得.【小問3詳解】由（2）可得直線AC的方程為，直線BC的方程為，聯(lián)立兩條直線方程得C點的橫坐標為，因為，所以，由（2）得：因為2≤t≤4，所以－9≤t2－6t≤－8，所以， 所以，則，所以，此時t2－6t＝－8，解得t＝2或t＝4.綜上：的面積S的最大值為24，此時t＝2或t＝4.22.已知橢圓的左焦點為，不過坐標原點O且不平行于坐標軸的直線l與橢圓C有兩個交點A，B，線段的中點為Q，直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.（1）求橢圓C方程；（2）若過點F的直線m交橢圓C于點M，N，且滿足，求直線m的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，，代入橢圓的方程，利用點差法求得，進而求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）當直線m的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長公式，結(jié)合點到直線的距離公式，結(jié)合三角形面積列出方程，求得的值，得出直線方程，當直線的斜率不存在時，得到直線為，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，橢圓C的左焦點為，所以，設(shè)，，由題意可得，，則，即.因為，所以，即，所以， 所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：當直線m的斜率存在時，設(shè)直線，點，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，點O到直線m的距離為，因為，即，所以，即，又因為，所以，即，所以直線m為：.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時滿足題目條件，綜上可得，直線的方程為：或.