《四川省遂寧市蓬溪中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

蓬溪中學(xué)高2022級第三學(xué)期第四次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求解.【詳解】化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以焦點坐標(biāo)為.故選：C2.直線平分圓C：，則（）A.B.1C.-1D.-3【答案】D【解析】【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D3.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得，故由題意可得，漸近線方程為.故選：D4.下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件；②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A∪B為必然事件，其中，真命題是（）A.①②④B.②④C.③④D.①②【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件與對立事件的關(guān)系即可求解.【詳解】對①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯；對②，對立事件首先是互斥事件，故②正確；對③，互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③錯；對④，事件A，B為對立事件，則一次試驗中A，B一定有一個要發(fā)生，故④正確．故選：B.【點睛】本題考查了事件之間的關(guān)系，掌握互斥事件與對立事件的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.光線從點射到軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點，則光線從到經(jīng)過的路程為（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】點關(guān)于軸的對稱點為,求出即得解.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，則光線從到經(jīng)過的路程為的長度，即.故選：C6.長方體中，向量在基底的坐標(biāo)為，則向量在基底的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性與空間向量的基本定理即可求解【詳解】因為，所以向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，故選：B7.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，則弦長的值為（） A.8B.C.D.6【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線，，結(jié)合拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理整理可得，結(jié)合拋物線的定義可得，，進(jìn)而可得的值.【詳解】由題意可知：，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，消去x得，可得，則，因為在拋物線上，則，可得，即，由拋物線的定義可得，即，所以，則，解得，所以.故選：B．8.如圖，在長方體中，，，點E，F(xiàn)，G分別是的中點，點M是側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在M，使得平面B.存在M，使得平面C.不存在M，使得平面平面D.不存在M，使得平面平面【答案】AD【解析】【分析】對于A，通過分析圖形發(fā)現(xiàn)若點M是側(cè)面 的中心，則可用線面平行的判定定理證明即可得到A正確；對于B，結(jié)合圖形、線面垂直的性質(zhì)采用反正法，即可推翻B；對于C，通過分析圖形發(fā)現(xiàn)若點M是側(cè)面的中心，則可用面面平行的判定定理證明即可得到C正確；對于D，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)平面和平面的兩個法向量分別為，證明即可推翻D.【詳解】對于A，如圖所示：若點M是側(cè)面的中心，則三點共線，由題意在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，從而，即，又因為點E，G分別是的中點，即是的中位線，從而，所以，又因為平面內(nèi)，平面內(nèi)，所以存在M是側(cè)面的中心，使得平面，故A正確；若存在M，使得平面，又因為平面內(nèi)，則，但由圖可知，或平行或異面，不可能垂直，產(chǎn)生矛盾，故B錯誤；對于C，如圖所示：不妨設(shè)點M是側(cè)面的中心，則由A選項分析可知，，即，， 所以，由題意在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，從而，又因為點E，F(xiàn)分別是的中點，即是的中位線，從而，所以，面，面，所以平面，同理可得平面，又因為，面，從而平面平面，故存在點M是側(cè)面的中心，使得平面平面，故C錯誤；對于D，以為坐標(biāo)原點，以的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意，且注意到點E，F(xiàn)，G分別是的中點，點為側(cè)面矩形內(nèi)的一點，所以，所以，設(shè)平面和平面的兩個法向量分別為，則，即，令，解得，即可取， 同理，，即，令，解得，即可取，而，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即與重合，這與成為平面矛盾，因此只能，從而不存在M，使得平面平面，故D正確.故選：AD.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.已知直線，，則（????）A.直線恒過定點，直線恒過定點B.若與相互平行，則或C.若，則D.若不經(jīng)過第二象限，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線過定點的求法、兩直線平行和垂直的位置關(guān)系、直線圖象與系數(shù)之間的關(guān)系依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，方程可整理為：，令，解得：，直線恒過定點；令方程中的，解得：，直線恒過定點，A正確； 對于B，若，則，解得：，B錯誤；對于C，若，則，解得：，C正確；對于D，直線方程可整理為：，若不經(jīng)過第二象限，則，解得：，D正確.故選：ACD.10.近日，華為在美國商務(wù)部長雷蒙多訪問中國之際發(fā)布了備受矚目的新款手機(jī)Mate60pro，該手機(jī)采用了自主國產(chǎn)芯片麒麟9000s，這標(biāo)志著華為成功沖破了美國的限制和封鎖.芯片的突破，鼓舞了中國全社會.現(xiàn)甲，乙兩人準(zhǔn)備各買一部手機(jī)，購買華為手機(jī)的概率分別為，，購買黑色手機(jī)的概率分別為，，若甲，乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨立，則（）A.甲，乙兩人恰有一人購買華為手機(jī)的概率為B.甲購買了華為手機(jī)，但不是黑色的概率為C.甲，乙兩人都沒有購買黑色手機(jī)的概率為D.甲，乙至少有一人購買黑色華為手機(jī)的概率為【答案】ABD【解析】【分析】本題考查相互獨立事件概率的乘法公式，屬于基礎(chǔ)題，由相互獨立事件概率的乘法公式進(jìn)行分析解答.【詳解】解：對于A，甲，乙兩人恰有一人購買華為手機(jī)的概率，故A正確；對于B，甲購買了華為手機(jī)，但不是黑色的概率，故B正確；對于C，甲，乙兩人都沒有購買黑色手機(jī)的概率，故C錯誤；對于D，甲購買黑色華為手機(jī)的概率，乙購買黑色華為手機(jī)的概率，則甲，乙至少有一人購買黑色華為手機(jī)的概率故選：ABD11.已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，曲線C是橢圓B.當(dāng)或時，曲線C是雙曲線 C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則D.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】【分析】利用橢圓以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可逐一判斷各選項.【詳解】A選項，曲線是橢圓等價于，解得且，故A錯誤；B選項，曲線是雙曲線等價于，解得或，故B正確；C選項，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.12.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（????）A.與所成的角是B.與平面所成的角的正弦值是C.平面與平面所成的銳二面角余弦值是D.是線段上動點，為中點，則點到平面距離最大值為【答案】BD【解析】 【分析】根據(jù)題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，直接利用直線的方向向量的夾角公式來驗證即可；對于B，算出直線、平面的方向向量、法向量，直接由線面角的的正弦公式驗證即可；對于C，直接算出平面的法向量，由面面角的余弦公式運算即可，對于B，首先設(shè)出參數(shù)，得到點到平面距離關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，最終求解最值即可得解.【詳解】因為，，所以，因為平面，平面，所以，所以兩兩互相垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以，所以，，，對于A，，所以與所成的角是，故A錯誤；對于B，由題意不妨設(shè)平面的法向量為，則， 令，解得，即取平面的一個法向量為，又由A選項分析可知，，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角的正弦值是，故B正確；對于C，由題意，面，所以面，故可取面的一個法向量為，由B選項可知平面的一個法向量為，不妨設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故C錯誤；對于D，因為是線段上動點，所以設(shè)，因為為中點，所以，，所以，當(dāng)時，點與點重合，此時點到平面距離為，當(dāng)時，點不與點重合，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，，所以，所以點到平面距離為， 當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)即時，，，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題設(shè)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線線角、線面角、面面角以及點到面的距離是解決問題的關(guān)鍵.第II卷（非選擇題）三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知（為虛數(shù)單位），則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算法則即可解出．【詳解】∵，∴.故答案為：.14.橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于______.【答案】14【解析】【分析】根據(jù)題意，由題意的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因為橢圓，則，設(shè)橢圓的左右焦點分別為，因為P與它一個焦點的距離等于6，不妨令,由橢圓的定義可知， 則，即點P與另一個焦點的距離等于14.故答案為：1415.已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是，，直線相交于點M，且直線的斜率與直線的斜率的商是2，點M的軌跡是___________【答案】直線去掉點【解析】【分析】由題意根據(jù)斜率的計算公式列出方程化簡即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，則，整理得，所以點M的軌跡是直線去掉點.故答案為：直線去掉點.16.已知，為橢圓的兩個焦點，為橢圓短軸的一個頂點，直線與橢圓的另一個交點為．若，則橢圓的離心率為_____________．【答案】##【解析】分析】設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，確定，中，根據(jù)余弦定理得到，得到離心率.【詳解】不妨取為上頂點，如圖所示：則，設(shè)，則，則，整理得到，， 中，根據(jù)余弦定理：，整理得到，即.故答案為：.四、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）實軸和虛軸長分別為8和10，焦點在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點在軸的正半軸上，且焦點到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由實軸、虛軸長度算出即可得解.（2）設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知列出方程求出參數(shù)即可得解.【小問1詳解】由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，即，所以滿足題意的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又焦點到準(zhǔn)線的距離是2，所以，即，所以滿足題意的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程． 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得線段的垂直平分線方程是，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在斜率存在，兩種情況討論，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：如圖所示，設(shè)的中點為，則，由圓的性質(zhì)得，所以，可得，所以線段的垂直平分線方程是，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，化簡得，所以圓心，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】解：①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程，與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，即，由題意，解得；故直線l的方程為，即；綜上直線l的方程為或．19.中國人民志愿軍被稱為“最可愛的人”，2023年7月27日是抗美援朝勝利70周年，為了解抗美援朝英雄事跡、某黨支部組織了抗美援朝知識競賽活動、現(xiàn)抽取其中50名黨員的成績，按 進(jìn)行分組，得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值及估計這50名黨員的成績的平均數(shù)；（2）若采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的黨員中共抽取4人，再從這4人中任選2人在會上進(jìn)行演講，求這2人的成績不在同一區(qū)間的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用面積之和為1求，根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法求成績的平均數(shù)；（2）計算成績在和內(nèi)的黨員人數(shù)，根據(jù)分層抽樣確定兩個區(qū)間內(nèi)抽取人數(shù)，根據(jù)古典概型求概率.【小問1詳解】由圖可知：，所以.平均數(shù)：.所以這50名黨員的成績的平均數(shù).【小問2詳解】由圖可知分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，所以若按分層抽樣從這兩組中抽4人，則分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為3人，記為A,B,C,分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為1人,記為D，所以從4人中任選2人有：，共6種基本情況，其中2人的成績不在同一區(qū)間有共3種情況 所以，所以這2人的成績不在同一區(qū)間的概率為．20.已知，，動圓與圓和圓都外切，圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）若過點的直線交曲線C于A，B兩點，點Q能否為線段的中點？為什么？【答案】20.21.能，理由見解析【解析】【分析】（1）畫出圖形，由圓外切、圓心坐標(biāo)、圓的半徑以及雙曲線的定義即可得解.（2）畫出圖形，中點弦問題用到中點坐標(biāo)公式以及點差法來做稍微方便一些.【小問1詳解】如圖所示：由題意，的圓心分別為，， 且動圓與兩定圓分別外切與兩點，所以，，解得，所以圓心的軌跡是以為焦點，為實軸頂點的雙曲線但不包括實軸頂點，所以曲線C的方程為，（且）.【小問2詳解】如圖所示：過點的直線交曲線C于A，B兩點，點Q能為線段的為中點，理由如下：由題意設(shè)點在雙曲線上，且點為弦的中點，所以，又因為，所以， 即，，存在過點且斜率為的直線：，即，且聯(lián)立，消去并整理得，，滿足題意，綜上所述：存在過點且斜率為的直線交曲線C于A，B兩點，且點Q為線段的中點.21.已知在多面體中，，，，，且平面平面.（1）設(shè)點F為線段BC的中點，試證明平面；（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點，∴，且. 又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.【小問2詳解】∵平面，平面，所以，又因為，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.22.已知橢圓經(jīng)過兩點．（1）求橢圓的方程；（2）點在橢圓上，求面積的最大值； （3）若該橢圓的左右焦點分別為，，經(jīng)過左焦點的直線交橢圓于兩點，求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意將兩點的坐標(biāo)代入表達(dá)式求出參數(shù)即可得解.（2）由題意通過換元得到，由于弦長固定，故只需由點到直線的距離公式結(jié)合輔助角公式即可求出最值.（3）由三角形的兩個面積公式首先得到，然后設(shè)出過點的直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理即可算出的表達(dá)式，進(jìn)一步即可求出其最值.【小問1詳解】由題意點橢圓上，所以，解得，即橢圓的方程為.【小問2詳解】 由題意不妨設(shè)點（不與重合），在雙曲線上，則，不妨設(shè)，且直線的斜率為，弦長，所以直線的方程為，點到直線的距離為，所以，其中，，所以等號成立當(dāng)且僅當(dāng)， 即當(dāng)且僅當(dāng)且，取最大值.【小問3詳解】如圖所示：由題意設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則一方面，，另一方面，所以，由題意直線斜率不為0，不妨設(shè)過點的直線的方程為，，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去得，所以， 所以，設(shè)，則，令，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即時，內(nèi)切圓的半徑為有最大值.【點睛】關(guān)鍵點睛：第一問的方法比較常規(guī)，仔細(xì)運算即可，第二問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)輔助角來求最值，第三問的關(guān)鍵是首先得到內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，進(jìn)一步結(jié)合判別式得出參數(shù)范圍即可求解.