《湖南省長(zhǎng)沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

湖南師大附中2023-2024學(xué)年度高一第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（考試范圍：必修1）時(shí)量：120分鐘滿分：150分一?選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.）1.已知全集，則集合（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，且，則集合中不包含元素，即.故選：C2.已知上的函數(shù)，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】取，，則，但，即，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故充分性不滿足；若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，故必要性滿足；所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B 3.為了得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，橫坐標(biāo)伸縮變換，可得結(jié)論．【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．故選：．4.函數(shù)的圖象可能是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的定義域排除D選項(xiàng)；通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)、在，，，四段范圍內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)可排除AB選項(xiàng)，確定C選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋逝懦鼶選項(xiàng)；令，即或，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1，，當(dāng)時(shí)，，則，，則，故排除AB選項(xiàng)； 當(dāng)時(shí)，，則，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則.所以函數(shù)的圖象可能是C選項(xiàng).故選：C.5.已知實(shí)數(shù)a，b，滿足恒成立，則的最小值為（）A.2B.0C.1D.4【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增判斷即可.【詳解】，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：A．6.已知，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sinα的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值，進(jìn)而根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)所求即可得解.【詳解】解：∵且，所以，所以故選：D. 7.已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，可由條件得出，再結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以為R上的奇函數(shù)，有，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知單調(diào)遞增，由，得，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，則有，而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，則的最大值為.故選：B.8.已知，則以下關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可求解，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式求解的范圍，即可比較大小．【詳解】由，令，則在定義域內(nèi)單調(diào)性遞增，且，由零點(diǎn)存在性定理可得，， 又，因此，，可得，，，，，，，．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問(wèn)題，常常根據(jù)：（1）結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；（2）利用特殊值進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行間接比較；（3）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.二?多選題（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)，，，為實(shí)數(shù)，且，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷，利用特殊值判斷BC，利用作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】由可得，，A正確；時(shí)，，B不正確；時(shí)，，C不正確；因?yàn)椋?，所以所以，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的有（）A.若，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn) B.存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)無(wú)零點(diǎn)C.若，則不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D.對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，可得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示，由圖象及直線過(guò)定點(diǎn)，可得函數(shù)至少一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；??B中，當(dāng)，時(shí)，作出函數(shù)的圖象，由圖象知，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，所以B正確；??C中，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可得，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤； ??D中，分別作出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象，由圖象知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.??故選：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時(shí)間（單位：）從時(shí)的關(guān)系可近似地用函數(shù)來(lái)表示，函數(shù)的圖象如圖所示，則（????）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，水深度達(dá)到D.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋袀€(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】 【分析】根據(jù)圖象最值求出，再根據(jù)圖象得到其周期則得到，代入最高點(diǎn)求出，則得到三角函數(shù)解析式，則判斷A，再結(jié)合其對(duì)稱性即可判斷B，代入計(jì)算即可判斷C，利用整體法和其對(duì)稱性即可判斷D.【詳解】對(duì)A，由圖知，，，，的最小正周期，，，，解得：，又，，，故A正確；對(duì)B，令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，則，令，則，令，則根據(jù)圖象知兩零點(diǎn)關(guān)于直線，則，即，則，則，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)模型結(jié)合圖象求出其解析式.三?填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.已知半徑為的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是，則該弧所對(duì)的圓心角（正角）的弧度數(shù)為______.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】設(shè)圓心角的弧度數(shù)為，則，解得.故答案為：.13.若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.14.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為分別為邊上的點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為2時(shí)，則的大小為______.【答案】 【解析】【分析】設(shè)出角，然后求得，再根據(jù)的周長(zhǎng)求得，即可得解.【詳解】設(shè)，則，則，，即，將上式兩邊平方，整理得，即，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決該試題的關(guān)鍵是能根據(jù)邊表示出，的正切值，借助于兩角差的正切公式得到結(jié)論．四?解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.已知集合.（1）求；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算．（2）由集合的包含關(guān)系得不等關(guān)系，求得參數(shù)范圍．【詳解】解：（1），，，.（2）當(dāng)時(shí)，，即成立； 當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查集合的運(yùn)算，考查由集合的包含關(guān)系示參數(shù)范圍．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．這是易錯(cuò)點(diǎn)．16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用恒等變換得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由，得到，再由，利用兩角和的余弦公式求解.【小問(wèn)1詳解】解：，，所以最小正周期；【小問(wèn)2詳解】由，得， 因?yàn)?，，所以，所以?17.如圖，一個(gè)半徑為4米筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1圈，筒車的軸心O距水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒W到水面的距離為d(單位：米)(在水面下則d為負(fù)數(shù)).若以盛水筒W剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t(單位：分鐘)之間的關(guān)系為.（1）求的值；（2）求盛水筒W出水后至少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間就可到達(dá)最高點(diǎn)？（3）某時(shí)刻(單位：分鐘)時(shí)，盛水筒W在過(guò)O點(diǎn)的豎直直線的左側(cè)，到水面的距離為5米，再經(jīng)過(guò)分鐘后，盛水筒W是否在水中？【答案】（1）；（2）分鐘；（3）再經(jīng)過(guò)分鐘后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先結(jié)合題設(shè)條件得到，，求得，再利用初始值計(jì)算初相即可；（2）根據(jù)盛水筒達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，代入計(jì)算t值，再根據(jù)，得到最少時(shí)間即可；（3）先計(jì)算時(shí)，根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求，再由 分鐘后，進(jìn)而計(jì)算d值并判斷正負(fù)，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意知，，即，所以，由題意半徑為4米，筒車的軸心O距水面的高度為2米，可得：，當(dāng)時(shí)，，代入得，，因?yàn)椋?；?）由（1）知：，盛水筒達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)分鐘就可達(dá)到最高點(diǎn)；（3）由題知：，即，由題意，盛水筒W在過(guò)O點(diǎn)的豎直直線的左側(cè)，知，所以，所以，所以，再經(jīng)過(guò)分鐘后，所以再經(jīng)過(guò)分鐘后盛水筒不在水中. 【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解出三角函數(shù)模型的解析式，才能利用三角函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，突破難點(diǎn).18.若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】18.不是“依賴函數(shù)”，理由見(jiàn)解析；19..【解析】【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義舉例子判斷即可；（2）分類討論解決函數(shù)不等式恒成立的問(wèn)題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值問(wèn)題即可.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于函數(shù)的定義域R內(nèi)存在，而無(wú)解，故不是“依賴函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】①若，故’在上最小值為0，此時(shí)不存在，舍去；②若，故’在上單調(diào)遞減，從而，解得（舍）或.從而存在使得對(duì)任意的，有不等式都成立， 即對(duì)恒成立，則，得，由存在，使能成立，又在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，從而，解得，綜上，故實(shí)數(shù)的最大值為.19.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的判斷是正確的；（2）記，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取，且，可證，即，則可判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）將對(duì)任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可求出a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則 因?yàn)椋?，所以，所以，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，問(wèn)題即為恒成立，顯然，首先對(duì)任意成立，即因?yàn)?，則，所以.其次，，即為,即成立，亦即成立,因?yàn)?，所以?duì)于任意成立，即，所以.