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雅禮中學2024屆高三一模數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)復數(shù)滿足，則（）A.B.C.1D.3.已知表示兩條不同直線，表示平面，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.已知向量，若，則（）A.B.C.D.5.函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A.B. C.D.6.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.互斥B.C.D.7.已知等差數(shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前項和分別為，如果關(guān)于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下1003個方程中，有實數(shù)解的方程至少有（）個A.499B.500C.501D.5028.雙曲線的左?右焦點分別是，離心率為，點是的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是，，若上一點滿足，則到的兩條漸近線距離之和為（）A.B.C.D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（）A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變C.方差不變D.第40百分位數(shù)不變10.已知函數(shù)滿足：，則（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.函數(shù)的值域為 11.如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.的周長最小值為C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D.如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在二項式的展開式中，常數(shù)項為__________.13.已知圓錐的母線長為2，則當圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時__________，圓錐的體積最大，最大值為__________.14.對于任意兩個正實數(shù)，定義，其中常數(shù).若，且與都是集合的元素，則__________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.（13分）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求在處的切線方程.（2）若，求在區(qū)間上最大值.16.（15分）如圖，在平行六面體中，，，點為中點. （1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.17.（15分）一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到紅球的概率；（2）設(shè)第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；（3）對于事件，當時，寫出的等量關(guān)系式，并加以證明.18.（17分）己知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，若一條斜率不為0的直線過點與橢圓交于兩點，橢圓的左?右頂點分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.19.（17分）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為 .（1）當時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；（2）當時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；（3）記，求證：.雅禮中學2024屆高三一模 數(shù)學參考答案1.A【解析】由題知.2.C【解析】由解得.3.B【解析】若，則相交或平行或異面，故錯誤；若，，則，故正確；若，則或，故錯誤；若，，則或或或與相交，故錯誤.故選：.4.C【解析】因為，所以，即，所以，所以.故選C.5.A【解析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除；當時，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.故選：A.6.C【解析】因為每次只取一球，故是互斥的事件，故A正確；由題意得，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選C.7.D【解析】由題意得：，其中，，代入上式得：，要方程無實數(shù)解，則，顯然第502個方程有解.設(shè)方程與方程的判別式分別為，則等號成立的條件是，所以至多一個成立，同理可證：至多一個成立，至多一個成立，且，綜上，在所給的1003個方程中，無實數(shù)根的方程最多501個，故有實數(shù)解的方程至少有502個.故選：D. 8.A【解析】設(shè)半焦距為，延長交于點，由于是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且是的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點，所以是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，所以雙曲線的方程為.所以，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)到兩漸近線的距離之和為，則，由，得，又在上，則，即，解得，所以，故，即距離之和為.故選.9.AD【解析】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)24.將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)24，故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故正確，錯誤.故選：AD.10.ABD【解析】，所以函數(shù)的值域為，故正確；因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即，所以 ，因為，所以曲線關(guān)于直線對稱，故A正確；因為即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；取，則最小正周期，故C錯誤.故選：ABD11.ACD【解析】選項，連接，由于為的中點，所以，又平面，所以直線平面，又平面，所以，故正確；選項，把沿著展開與平面在同一個平面內(nèi)，連接交于點，則的最小值即為的長，由于，所以，故的周長最小值為錯誤；選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點，連接，過點作垂直于于點，則為的中心，點在上，過點作于點，因為，所以 ，同理，則，故，設(shè)，故，因為，所以，即，解得正確；選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設(shè)小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由選項可知，其高為，由選項可知，是正四面體的高，過點且與平面交于，與平面交于，則，由選項可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的，如圖正四面體中，，正四面體高為，解得正確.故選：ACD.12.-160【解析】，因為的通項公式為，所以在中，當時，不滿足；在中，當時，，則常數(shù)項為，故答案為-160.13.；【解析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，高為， 設(shè)母線與底面所成的角為，則，則，則，則圓錐的體積為，令，則，令，求導得，令，則或（舍去），所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值.此時最大，，即圓錐的母線與底面所成的角的余弦值時，圓錐的體積最大，最大值為.故答案為：.14.【解析】解：由與都是集合的元素，不妨設(shè) 因為，所以，由已知，所以，則，又，所以，即，所以，所以，則，即，因為，所以，則，即.四?解答題（本題共6小題，共70分）15.解：（1），又是函數(shù)的極值點，，即在處的切線方程為，即，所以在處的切線方程是（2），令，得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增而①當，即時，②當，即時， 綜上，當時，；當時，16.解：（1）因為，所以，因為，所以，以為原點建立如圖所示的坐標系，所以，所以，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因為不在面內(nèi)，所以平面；（2），所以，設(shè)面的法向量，因為，所以，令，則，設(shè)面的法向量， 因為，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值為.17.（1）記事件“第次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，，，.（3）（2）可得，即，可猜想：，證明如下：由條件概率及，得，所以.18.（1）解：由橢圓的離心率為，且點在橢圓上，可得，所以， 又點在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：設(shè)，由于該直線斜率不為0，可設(shè)，聯(lián)立方程和，得，恒成立，根據(jù)韋達定理可知，，，19.解：（1）當時正整數(shù)的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，比如為8的所有正約數(shù)，即.（2）由題意可知，因為，依題意可知，所以，化簡可得，所以，因為，所以，因此可知是完全平方數(shù).由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以， 所以為，所以.（3）證明：由題意知，所以，因為，所以，因為，所以，