《四川省內(nèi)江市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

內(nèi)江一中2023-2024學(xué)年高二上期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.不存在【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，進(jìn)而可求出傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：B.2.在空間中，下列命題是真命題的是（）A.經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B.垂直同一直線的兩條直線平行C.如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等D.若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面中的任何直線都平行于另一個(gè)平面【答案】D【解析】【分析】借助長(zhǎng)方體以及平行六面體，舉例即可判斷B、C；根據(jù)面面平行的定義，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，如圖1，長(zhǎng)方體中，有，，但是，故B項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于C項(xiàng)，如圖2，平行六面體中，，，但是與不相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若兩個(gè)平面平行，根據(jù)面面平行的定義可知，其中一個(gè)平面中的任何直線都平行于另一個(gè)平面，故D項(xiàng)正確.故選：D.3.如圖，是水平放置的的直觀圖，，，，則原的面積為（）A.6B.C.12D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法畫出原圖，從而計(jì)算出原圖的面積.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法的知識(shí)畫出原圖如下圖所示，則原的面積為.故選：C.4.將棱長(zhǎng)為2的正方體削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的表面積為（　?。?A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】問題等價(jià)于求該正方體內(nèi)切球的表面積，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解.【詳解】易知體積最大的球?yàn)樵撜襟w的內(nèi)切球，球的半徑為1，則該球的表面積為故選：D.5.已知平面平面，．下列結(jié)論中正確的是（）A.若直線平面，則B.若平面平面，則C.若直線直線，則D.若平面直線，則【答案】D【解析】【分析】A，利用線面平行的判定定理；B，面面垂直沒有傳遞性；C，利用面面垂直的性質(zhì)定理；D，利用面面垂直的判定定理；【詳解】A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；B，若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；C，若，，，必須，利用面面垂直的性質(zhì)定理可知，故C錯(cuò)誤；D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查空間直線，平面直線的位置關(guān)系的判斷，熟練掌握平行和垂直位置關(guān)系的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6.已知直線與直線，若，則（）A.2或B.或5C.5D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行直線的判斷方法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?所以，故選：D7.直三棱柱中，，，，則直線與夾角的余弦是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角；【詳解】∵直三棱柱，底面三邊長(zhǎng)，，，,，，兩兩垂直．如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則∵，，，即直線與夾角余弦是為.故選:C.8.在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P（如圖11）．若光線QR經(jīng)過的重心，則Q的坐標(biāo)等于（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線與直線的解析式，即可得出Q的坐標(biāo).【詳解】由題意，如圖建立直角坐標(biāo)系：則，直線方程為即，三角形重心為即，設(shè)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得由光的反射可知四點(diǎn)共線，又，所以直線斜率為， 則直線方程為，且過重心，即，整理得，解得舍去，，∴直線的解析式：，即，∵直線與直線交于點(diǎn)，∴，解得：，即.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線的方程為：，則（）A.直線斜率必定存在B.直線恒過定點(diǎn)C.時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D.時(shí)直線的傾斜角為【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，斜率不存在，即可判斷A，直接求出直線l恒過的定點(diǎn)，即可判斷B，時(shí)，直線，求出在軸，軸上截距，進(jìn)而可求出直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，即可判斷C，時(shí)，直線斜率為，可得傾斜角，即可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)斜率不存在，故A錯(cuò)誤；直線，即，直線l恒過定點(diǎn)，故B正確；時(shí)，直線，在軸，軸上截距分別為，此時(shí)直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故C正確. 時(shí)，直線，此時(shí)斜率為，傾斜角為，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.給出以下命題，其中正確的是（）A.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B.直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.平面的法向量分別為，則D.平面經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，向量是平面的法向量，則【答案】AD【解析】【分析】由兩條直線的方向向量數(shù)量積為0可得兩直線垂直判斷A；由數(shù)量積為0可得或判斷B；由平面向量不共線判斷C；由法向量與平面向量數(shù)量積為0列和的關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，，則，所以l與m垂直，故A正確；對(duì)于B，，則，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，此方程組無解，所以不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，因?yàn)橄蛄渴瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以，得，，，故D正確.故選AD11.如圖，以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，翻折和，使得平面平面.下列結(jié)論正確的是（） A.B.是等邊三角形C.三棱錐是正三棱錐D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，利用勾股定理可判斷B選項(xiàng)；利用正棱錐的定義可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，翻折后，對(duì)應(yīng)地有，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，翻折前，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，為的中點(diǎn)，則，且，，由勾股定理可得，翻折后，因?yàn)槠矫妫矫?，則，由勾股定理得，在三棱錐中，，則為等邊三角形，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，在三棱錐中，因?yàn)闉榈冗吶切危?，故三棱錐為正三棱錐，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)平面平面，如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，平面?設(shè)等邊的中心為點(diǎn)，連接，由正棱錐的性質(zhì)可知，平面，因?yàn)檫^點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，故假設(shè)不成立，即平面與平面不垂直，D錯(cuò)故選：ABC.12.如圖所示的八面體的表面是由2個(gè)全等的等邊三角形和6個(gè)全等的等腰梯形組成，設(shè)，，有以下四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論是（）A.平面；B.平面；C.直線與成角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為.【答案】ACD【解析】【分析】證明，得到A正確，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，平面的法向量為，根據(jù)得到B錯(cuò)誤，利用向量的夾角公式計(jì)算得到CD正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：如圖所示，連接，取中點(diǎn)，取中點(diǎn).連接，，.由等邊三角形的性質(zhì)得，由等腰梯形的性質(zhì)得.又，平面，所以平面.平面，故，同理，又，平面，所以平面，正確； 對(duì)于選項(xiàng)B：等腰梯形的高，取中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)是的中心，是的中心.過作，過作.，.所以幾何體的高為.所以，，，，.所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，所以，所以與平面不平行，錯(cuò)誤； 對(duì)選項(xiàng)C：，.所以直線與成角的余弦值為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，，.設(shè)平面的法向量為，，取得到，所以直線與平面所成角的正弦值為.正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了空間中的線面位關(guān)系及夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中建立空間直角坐標(biāo)系，將線面關(guān)系和夾角轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知三點(diǎn)共線，則_____________．【答案】【解析】 【分析】首先根據(jù)A與B的坐標(biāo)，結(jié)合截距式方程可求直線AB的方程，再將C點(diǎn)代入可求m的值.【詳解】直線的方程為，代人，解得．故答案為：-3.14.已知一個(gè)圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上、下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為________．【答案】##【解析】【分析】由題先求得球的半徑，再根據(jù)的數(shù)量關(guān)系，即可求得圓柱的體積.【詳解】設(shè)球的半徑為，圓柱的底面圓半徑為，則高為.因?yàn)榍虻捏w積為，所以，得，又因?yàn)椋?，所以，圓柱的體積故答案為：15.如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱.則這個(gè)二面角的余弦值為______. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，將二面角的余弦值轉(zhuǎn)化成兩向量的夾角，再利用條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)二面角為，則由圖知，，又，則，即，所以，故答案為：.16.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成（點(diǎn)位于平面上方），連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)是的中點(diǎn)，可證的軌跡與的軌跡相同，求得的軌跡之后再求的軌跡.【詳解】由，，為邊中點(diǎn)設(shè)是的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則且，而且，所以且， 即為平行四邊形，故且，故的軌跡與的軌跡相同.因?yàn)槊?，且，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)中點(diǎn)為O，則，，又面，面，所以面，故的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷點(diǎn)的軌跡，從圓、橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)出發(fā)求解.四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.三角形三個(gè)頂點(diǎn)是，，（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求BC邊上的中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出AB邊上的高的斜率，用點(diǎn)斜式方程即可求得；（2）求出BC邊上的中點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程即可求得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所? 所以AB邊上的高的斜率為.所以AB邊上的高所在直線為：，即【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以BC邊上的中點(diǎn)所以BC邊上的中線所在直線，即.18.已知平行六面體，，，，，設(shè)，，；（1）試用、、表示；（2）求的長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用向量的線性運(yùn)算求；（2）把（1）等式平方，由數(shù)量積的運(yùn)算求模．【詳解】解：（1）（2），，所以 ．的長(zhǎng)度為．19.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，是棱上的中點(diǎn)．（1）證明平面；（2）求三棱錐的體積；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線與底邊平行，通過線線平行證明線面平行；（2）根據(jù)等體積法將三棱錐的體積轉(zhuǎn)為求三棱錐的體積，在求出三棱錐高和底面積，根據(jù)三棱錐公式求解即可.【小問1詳解】令的交點(diǎn)為，連接因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭抢馍系闹悬c(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫?，平面所以平?【小問2詳解】 因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．又平面，且，所以平面因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)槠矫?，且，所以平面．因?yàn)槭抢馍系闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離．四邊形是菱形，，則中，，，三棱錐的體積為20.已知直線l：．（1）證明：直線l恒過第二象限；（2）若直線l交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的一般式方程．【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）直線含參先求出定點(diǎn)，進(jìn)而可證明；（2）直線過定點(diǎn)求面積的最值，可將直線直接設(shè)為截距式，再利用基本不等式求出其面積最小值及直線方程.【小問1詳解】因?yàn)橹本€方程為：，因?yàn)?，所以，解得，所以直線恒過點(diǎn)，而點(diǎn)在第二象限，所以直線l恒過第二象限；【小問2詳解】 設(shè)直線l為，因?yàn)樵谥本€上，所以，又，所以，兩邊同時(shí)平方得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的面積為，即S的最小值為，此時(shí)直線方程為，化簡(jiǎn)得：.21.如圖，在三棱柱中，，，平面平面，.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得答案； （2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，的正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面，平面的法向量，由平面夾角的向量求法可得答案.【小問1詳解】，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，取，，則，可得，令，可得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.如圖所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將沿AE折起，使得D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面ABCE）． （1）證明：平面POB；（2）若，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，確定Q點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；Q為線段PB中點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直即可由線面垂直的判斷求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量法求解線面角，即可求解.【小問1詳解】證明：連接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABED為菱形，∴，∴，，即，，且，平面POB，平面POB，∴平面PBO．【小問2詳解】由（1）可知四邊形ABCD為菱形，∴，在等腰梯形ABCD中，∴正三角形，∴，同理．∵，∴，∴．由（1）可知，，O為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，∴，，，,設(shè)，，設(shè)平面AEQ的一個(gè)法向量為，則，即，取得，，得，所以，設(shè)直線PC與平面AEQ所成角為，，則，即，化簡(jiǎn)得，解得．即Q為線段PB中點(diǎn)．