《湖北省十堰市部分普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023-2024學(xué)年度高二上學(xué)期部分高中期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的斜率為（）A.不存在B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線表示與軸平行的直線，即可求解.【詳解】由直線，表示與軸平行的直線，所以直線的斜率為.故選：D.2.已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點的坐標，即可根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】設(shè)坐標原點為,,所以，故在坐標平面上的投影點為，故向量在坐標平面上的投影向量為,故選：A 3.經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由垂直關(guān)系，求出所求直線的斜率，再由直線的點斜式方程，即可得出結(jié)果.【詳解】因為所求直線與直線垂直，所以其斜率為，又所求直線過點，因此，所求直線方程為，即.故選：C.4.設(shè)直線，的斜率和傾斜角分別為，和，，則“是“”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】對直線的傾斜角分銳角和鈍角進行討論，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】解：∵直線，的斜率和傾斜角分別為，和，，當傾斜角均為銳角時，和均為鈍角時，若“”，則“”，若“”，則“”，當傾斜角一個為銳角一個為鈍角時，若“”，則“與”的大小不能確定，若“”，則“與”的大小也不能確定，故則“”是“”既不充分也不必要條件．故選：D． 【點睛】直線的斜率，將斜率視為傾斜角的函數(shù)，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)進行求解.5.在三棱錐中，若為正三角形，且E為其中心，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】延長交于，得是中點，，然后由向量的線性運算求解．【詳解】延長交于，如圖，則是中點，，，故選：C．6.已知，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，且，，，則實數(shù)的值為（）A.B.6C.3D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，再將，代入化簡，結(jié)合可求得答案.【詳解】因為，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，所以，則，因為，所以，即，所以，所以，解得，故選：B 7.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，建立直角坐標系，表示出相應(yīng)點的坐標以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標系.則設(shè)平面的法向量為，則 ，令，則設(shè)點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中點為（1，2），AB的中垂線方程為，即x-2y+3=0．聯(lián)立解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8?②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當m=0，n=4時B，C重合，舍去．∴頂點C的坐標是（-4，0）．故選A【點睛】本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點坐標等． 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列命題中，錯誤的是（）A.垂直于同一個平面的兩個平面平行B.三個平面兩兩相交，則交線平行C一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行D.平行于同一條直線的兩個平面平行【答案】ABD【解析】【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系即可得出真命題.【詳解】由題意，A項,垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故A錯誤;B項三個平面兩兩相交，則交線平行或相交,故B錯誤;C項,由面面平行的性質(zhì)定理知，一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行,故C正確;D項,平行同一直線的平面，可以平行，也可以相交，故D錯誤;故選:ABD.10.已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的傾斜角等于B.在軸上的截距等于C.與直線垂直D.上存在與原點距離等于1的點【答案】CD【解析】【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進而可判斷A，B，C，對于計算出原點到直的距離即可判斷【詳解】解：因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為， 設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以A錯誤；因為經(jīng)過點，所以直線的方程為，令，則，所以在軸上的截距為，所以B錯誤；因為直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以與直線垂直，所以C正確；因為原點到直線的距離為，所以上存在與原點距離等于1的點，所以D正確，故選：CD【點睛】此題考查直線方程的求法，考查兩直線的位置關(guān)系，考查斜率與傾斜角的關(guān)系，考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題11.已知直線：，：，則（）A.恒過點B.若，則C.若，則D.不經(jīng)過第三象限，則【答案】AD【解析】【分析】應(yīng)用求定點方法判斷A選項,根據(jù)兩直線平行求參判斷B選項,根據(jù)兩直線垂直求參判斷C選項,把直線不過第三象限轉(zhuǎn)化為截距關(guān)系判斷D選項.【詳解】因為：,所以,可得，,恒過點，A選項正確;因為,所以，則或，故B選項錯誤; 因為，所以則故C選項錯誤;因為不經(jīng)過第三象限，則直線與坐標軸不垂直時，在軸截距大于等于0,在軸截距大于等于0,：，令,則令，則,當,：符合題意，當,：符合題意，所以不經(jīng)過第三象限，則，故D選項正確.故選：AD.12.如圖，在棱長為4的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別在棱DA，DC上，且EFAC，若，，，則下列命題正確的是（）A.B.時，BP與面ABC夾角為φ，則C.若，則P的軌跡為不含端點的直線段D.時，平面ACD與平面BDP所夾的銳二面角為，【答案】AD【解析】【分析】利用的范圍，根據(jù)向量數(shù)乘的意義得點軌跡，判斷AC，作出直線與平面所成的角，計算正弦值，作出二面角的平面角，計算正弦值，然后判斷BD． 【詳解】對于A，當，，點的軌跡是內(nèi)部（不含邊界），的的最小值是點到平面的距離，最大值是棱長（取不到），設(shè)是的中心，則平面，從而有與平面內(nèi)所有直線垂直，，，所以的范圍是，故A正確．對于B，時，是中位線，點軌跡是線段（不含端點），作平面于，連接，則是與平面所成的角．點到平面的距離等于，是中位線，，由，平面，平面，得平面，所以等于到平面的距離，也等于點到平面的距離的一半，即，中，，，邊上的高為，所以，，所以，故B錯誤；對于C，當時，與重合；當時，與重合， 是兩個極限點（實際取不到），當時，是中位線的中點．三點不共線，故C錯誤；對于D，在上取點，使得，連接，時，點軌跡是線段（不含端點），由A選項討論知平面，平面，則，作，垂足為，連接，由，則平面，又平面，所以，所以是平面與平面所的銳二面角的平面角，即．在（是中點）中，，，，由得，所以，，，故D正確． 故選：AD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間動點軌跡，考查向量的數(shù)乘運算的意義，直線與平面所成的角，二面角，解題關(guān)鍵是掌握空間角的定義，由定義作出空間角的平面角，然后計算出平面角得空間角，考查學(xué)生的分析解題能力與運算求解能力，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線平行，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的二次方程，解出實數(shù)的值，代入檢驗即可得解.【詳解】由于直線與直線平行，則，即，解得或.當時，兩直線的方程分別為、，此時，兩直線平行；當時，兩直線方程分別為、，此時，兩直線重合.綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.有一組數(shù)據(jù)2，2，3，3，3，5，7，8，這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)的計算方法，即可求解.【詳解】由數(shù)據(jù)2，2，3，3，3，5，7，8，從小到大排列，共有8個數(shù)， 可得，所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是.故答案為：.15.過點且在兩坐標軸上截距互為相反數(shù)的直線方程是__________．【答案】或【解析】【詳解】由題意直線斜率一定存在且不為0，設(shè)直線方程為，令，得；令，得．由條件得，解得或，當時，直線方程為，即．當時，直線方程為，即．綜上可得所求直線方程為或．答案：或．16.如圖，在正方體中，點為線段上的動點，分別為棱的中點，若平面，則_______．【答案】【解析】【分析】以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2,用向量法求解.【詳解】如圖所示,以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系. 設(shè)正方體邊長為2,可得設(shè)，可得可得,可得.設(shè)平面的一個法向量，則有，即不妨令x=-2，則.因為平面，所以，解得：，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知中，點，點，點．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求角平分線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到邊上的高所在直線的斜率 ，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到角平分線的傾斜角為，求得，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解．【小問1詳解】解：因為點，點，所以邊所在直線斜率，所以邊上的高所在直線的斜率，且過點，所以邊上的高所在直線的方程為．【小問2詳解】解：由，可得，所以角平分線的傾斜角為，所以角平分線所在直線的斜率，且過點，所以角平分線所在直線l的方程為．18.如圖，已知正方體棱長為4，M，N，G分別是棱，BC，的中點，設(shè)Q是該正方體表面上的一點，若． （1）求點Q的軌跡圍成圖形的面積；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行得四點共面，進而可得Q的軌跡是正六邊形OFNEMG，根據(jù)三角形的面積公式即可求解，（2）根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可結(jié)合圖形求解最值.【小問1詳解】因為，∴點在平面上，如圖，分別取，，的中點，連接因為分別為，的中點，故，又由正方體可得，，，，故，，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點共面，同理可證四點共面，故五點共面，同理可證四點共面， 故六點共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形．故點的軌跡是正六邊形，因為正方體的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點的軌跡圍成圖形的面積是．【小問2詳解】如圖，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得當位于時，此時在上的投影最大，故，∴的最大值為12．19.如圖，在長方體中，，，為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】 【分析】（1）以為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求出、的坐標，根據(jù)即可得證；（2）求出平面的法向量，根據(jù)求解即可.【小問1詳解】解：在長方體中，以為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，證明：因為，，又由，所以，即，得證.【小問2詳解】解：因為，設(shè)為平面的法向量，則，，所以，令，則，，所以為平面的一個法向量，又因， 故，所以直線與平面夾角的正弦值為．20.已知直線：，直線：.（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分直線過原點和直線不過原點兩種情況討論，分別求解即可.(2)若，則解得或,再驗證從而得出答案.【詳解】（1）①若直線過原點，則在坐標軸的截距都為，顯然滿足題意，此時則，解得，②若直線不過原點，則斜率為，解得.因此所求直線的方程為或（2）①若，則解得或.當時，直線：，直線：，兩直線重合，不滿足，故舍去；當時，直線：，直線：，滿足題意；因此所求直線：【點睛】易錯點睛：本題考查直線的截距概念和根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，在解決這類問題時，直線在兩坐標軸上的截距相等（或互為相反數(shù)）時，要注意直線過原點時也滿足條件，這是在解題中容易漏掉的情況，在由直線平行求參數(shù)時，求出參數(shù)時要代回檢驗，對重合的情況要舍去，這個也是容易出錯的地方，要注意，屬于中檔題.21.已知直線：． （1）求證：無論取何值，直線始終過第一象限；（2）若直線與，軸的正半軸交點分別為A，B兩點，O為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．【答案】（1）證明見解析（2）最小值為4；【解析】【分析】（1）由題可得，直線過定點且在第一象限，即證；（2）由題可，，再利用三角形面積公式及基本不等式即得.【小問1詳解】因為直線：，即，令，求得，，即直線過定點且在第一象限，所以無論取何值，直線始終經(jīng)過第一象限．【小問2詳解】因為直線與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，所以，令，解得，令，得，即，，∴面積，∵，∴，則，當且僅當，即時，取得等號，∴， ∴面積的最小值為4此時直線的方程為，即．22.已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E為CD的中點，（1）證明:平面PBD平面ABCD；（2）若，PC與平面ABCD所成角為，試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點N，使得平面PCD？”若存在，求出點N到平面ABCD的距離；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）存在N點到平面ABCD的距離為【解析】【分析】（1）通過證明，結(jié)合題目所給已知，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）存在.通過（1）的結(jié)論，利用面面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標系，假設(shè)存在符合題意的點，使平面，利用向量線性運算設(shè)出點坐標，結(jié)合求得點坐標，由此證得存在一點，使得平面.利用點到平面距離的向量求法，求得點到平面的距離.【詳解】（1）證明:由四邊形ABCD是直角梯形,AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，可得DC=2,∠BCD=，從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.∵E為CD的中點,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE?平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)存在.在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O,連接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,則∠PCO= ∴易得OP=OC=，PB=PD,PO⊥BD,所以O(shè)為BD的中點，OC⊥BD.以O(shè)B,OC,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),C（0,，0）D(-1,0,0),P（0,0,）假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在點，使得平面成立，設(shè)，易得由得，滿足題意，所以N點到平面ABCD的距離為