《四川省宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（理）Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

敘州區(qū)二中高2021級高三10月考試數(shù)學(xué)（理工類）試卷本試卷共4頁，23小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．第I卷選擇題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，求得集合，再根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，即可求解．【詳解】由，解得，可得集合，又由，根據(jù)集合的交集的概念及運(yùn)算，可得．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集的概念及運(yùn)算，以及一元二次不等式的計(jì)算，其中正確求解集合，熟練應(yīng)用集合的交集的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.2.已知命題：，，則命題的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷，注意既要否定結(jié)論，也要轉(zhuǎn)化量詞.【詳解】因?yàn)槊}：，，根據(jù)命題的否定的定義， 所以命題的否定:，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定的定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱可判斷A；由含絕對值的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷B；由二次函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可判斷C；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義可判斷D.【詳解】解：對于A，定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，不為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，，為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，故B正確；對于C，為偶函數(shù)，但在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對于D，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個(gè)問題：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2或是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．4.設(shè)函數(shù)，則A.B.5C.6D.11【答案】B【解析】 【詳解】分析：先確定的符號，再求的值.詳解：∵＜0，∴=故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)求值和對數(shù)指數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生分段函數(shù)和對數(shù)指數(shù)基礎(chǔ)知識掌握能力和基本運(yùn)算能力.5.已知，且在第三象限，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可推得，根據(jù)正余弦的關(guān)系結(jié)合的象限，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以?因在第三象限，所以，.故選：A.6.函數(shù)的最大值為（）A.1B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平方關(guān)系將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故選：D. 7.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性定義、的范圍，應(yīng)用排除法即可得答案.【詳解】由且定義域?yàn)镽，即為偶函數(shù)，排除A；由，排除B、C；故選：D8.已知角的終邊過點(diǎn).則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角的終邊過點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義得到，然后利用兩角差的正弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn)，所以，所以， ，故選：C9.一空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為邊長為1的等腰直角三角形，則此空間幾何體的表面積是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)各表面形狀求表面積.【詳解】幾何體為如圖四面體，其中所以表面積為，選D. 【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四面體表面積，考查空間想象能力與綜合分析求解能力，屬中檔題.10.的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下說法正確的是（）A.若圓的半徑為，則；B.函數(shù)在上單調(diào)遞減；C.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于對稱；D.函數(shù)的最小正周期是.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得的最小正周期，可判定D錯(cuò)誤；利用五點(diǎn)作圖法，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定B錯(cuò)誤；利用三角函數(shù)的圖形變換得到平移后的函數(shù)解析式為，進(jìn)而判定C錯(cuò)誤；利用，求得的值，可判定A正確.【詳解】由函數(shù)圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以D不正確；又由，且，即，根據(jù)五點(diǎn)作圖法且，可得，解得，因?yàn)?，可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是先減后增的函數(shù)，所以B錯(cuò)誤； 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到，可得對稱軸的方程為，即，所以不是函數(shù)的對稱軸，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，即,若圓的半徑為，則滿足，即，解得，所以的解析式為，所以A正確.故選：A.11.設(shè)，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先把不等式轉(zhuǎn)化為，令，即.證明的奇偶性和單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化為，即可解得a的范圍.【詳解】的定義域?yàn)镽.因?yàn)椋?所以可化為：令，即.下面判斷的單調(diào)性和奇偶性.因?yàn)?，所以為奇函?shù)；而，因在R上為增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增.所以可化為：，即或，解得：或.所以原不等式的解集為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解不等式的常見類型：(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；(3)三角函數(shù)型不等式用圖像法；(4)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.12.已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，由三點(diǎn)確定的平面與側(cè)棱交于點(diǎn)，且，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)題意可得平面為平面，再利用平面公理可得，從而由，利用平行線分線段成比例、外接球的性質(zhì)可得，設(shè)球的半徑，利用勾股定理可得半徑值，即可求得球的表面積.【詳解】如圖，連接，相交于，連接，，過作于由三點(diǎn)確定的平面與側(cè)棱交于點(diǎn)，即平面為平面由正四棱錐可得平面，則球心在上又平面，所以平面，又平面，平面平面，所以因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以所以，則由可得，所以即，因?yàn)?，所以，則，故則，因?yàn)椋?，即，則，設(shè)外接球得半徑為，則，在中，，即，解得所以球的表面積為.故選：A.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分 13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為___________.【答案】##0.25【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點(diǎn)，求得，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，即，所以.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：15.已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)兩段都遞增，且在分界處函數(shù)值左側(cè)不比右側(cè)大可得參數(shù)范圍，【詳解】時(shí)，設(shè)，所以，是增函數(shù)， 所以由題意得，解得．故答案為：．16.在中，，，當(dāng)取最大值時(shí)，__________．【答案】【解析】【分析】用正弦定理將轉(zhuǎn)化求得最大值，根據(jù)用余弦定理聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，，其中，，，，當(dāng)時(shí)取最大值，，，，，即的值為. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求與的解析式；（2）令，求方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可得即周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出，即可求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換的原則即可求得函數(shù)的解析式；（2）先求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由圖可知，，函數(shù)的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以， 又，所以，所以，因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以；【小問2詳解】，由，得，因?yàn)椋?，所以或或或，所以或或或，所以方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和為．18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）若直線是曲線的一條切線，求的值. 【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可確定在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)并求得最值；（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切線斜率可構(gòu)造方程組求得和的值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，.【小問2詳解】由題意知：，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，則，消去得：，解得：，則，解得：.19.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．（1）求的值；（2）若cosB，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【答案】（1）2（2）5【解析】分析】（1）利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式即可求解； （2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，結(jié)合三角形的面積公式可求，聯(lián)立解得，的值，根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解三角形的周長．【詳解】（1）∵，∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，∴2．（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，∴由正弦定理可得c＝2a，①∵cosB，△ABC的面積為，∴sinB，由acsinBac?，解得ac＝2，②∴由①②可得a＝1，c＝2，∴由余弦定理可得b2，∴△ABC的周長a+b+c＝1+2+2＝5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了三角形的面積公式、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20.如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）連接，先證明平面，然后根據(jù)面面垂直的判定得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)線面角算出，然后在利用法向量求二面角的大小【小問1詳解】如圖，連接，因?yàn)樵搸缀误w是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，，所以，所以，所以.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所?因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則， 記直線與平面所成的角為，則，解得（負(fù)值舍去），即.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則即令，則.所以.因此平面與平面所成角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù) 由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式， 令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng) 時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心在極軸上，半徑為2，且圓C經(jīng)過極點(diǎn)．（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P為圓C上的動點(diǎn)，過P作直線的垂線，垂足分別為A，B，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)為圓C上一點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)與三角函數(shù)關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再設(shè)，進(jìn)而表達(dá)出面積，結(jié)合二次函數(shù)與三角函數(shù)的值域求解即可.【小問1詳解】如圖，設(shè)為圓C上一點(diǎn)，O為極點(diǎn)，為圓C的直徑， 連接，則，則．故圓C的極坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】極坐標(biāo)中的直線對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為．因?yàn)閳AC的直角坐標(biāo)方程為，設(shè)，所以，，則的面積；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，S取得最大值．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用絕對值三角不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）利用基本不等式證明即可.【小問1詳解】 因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，且，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，