《浙江省浙南名校聯(lián)盟2023-2024學年高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2023學年高三年級第一學期浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合，然后根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】，解得或，所以.由得，所以，所以.故選：A2.雙曲線的焦點坐標為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】由題意可知雙曲線的焦點在軸上，，故焦點為，故選：D3.已知平面向量，則在方向上的投影向量為（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量數(shù)量積求出在方向上的投影為，再結(jié)合投影向量的定義求解.【詳解】在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：B.4.已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條C.充要條件件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】作差，利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷充分性；取可判斷必要性.【詳解】充分性：，因為的對稱軸為，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，因為，所以，所以，即數(shù)列是遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分條件.必要性：顯然，當時，為遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的不必要條件. 綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A5.生活中有很多常見的工具有獨特的幾何體結(jié)構特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將五面體分割成三個三棱錐，通過選擇適當定點可得其體積關系，然后可得五面體體積.【詳解】因為為平行四邊形，所以，所以.記梯形的高為，因為，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C 6.若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由三角函數(shù)平方關系結(jié)合已知求出，從而求出，再由即可求出，最后由兩角和的正切公式代入表達式即可求解.【詳解】一方面由題意，且注意到，聯(lián)立得，解得，所以，另一方面不妨設，且，所以有，解得或（舍去），即，由兩角和的正切公式有， 所以.故選：B.7.設離散型隨機變量的期望和方差分別為和，且，則（）A.BC.D.和大小不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)期望和方差公式計算并作差可得．【詳解】設，則，，，.，所以， 所以，故選：C．8.在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當四棱錐的體積最大時，長為（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由球的表面積公式得半徑，確定球心和點在底面的投影，建立函數(shù)關系求解．【詳解】由球的表面積，得，因為為直角三角形，所以的外接球球心在底面的投影為中點，而，故在底面的投影為垂直平分線與垂直平分線的交點，即中點，，，可得，設，則，設，令，則，，故當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當即時，函數(shù)取最大值，此時四棱錐的體積最大，長為．故選：D 二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.成人心率的正常范圍為60~100次/分鐘，超過100次/分鐘為心率過速.觀測并記錄一名心率過速成人患者服用某種藥物后心率，其隨時間的變化如圖所示，則該患者（）A.服了藥物后心率會馬上恢復正常B.服藥后初期藥物起效速度會加快C.所服藥物約15個小時后失效（服藥后心率下降期間為有效期）D.一天需服用該藥1至2次【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)圖象對選項逐一判斷．【詳解】對于A，服藥后2小時心率恢復正常，故A錯誤，對于B，服藥后初期心率下降速率增大，故B正確，對于C，服藥15小時后心率開始回升，故C正確，對于D，服藥22小時后心率過速，需再次服藥，故D正確，故選：BCD10.將函數(shù)圖象向左平移 個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到函數(shù)的圖象，則關于的說法正確的是（）A.最小正周期為B.偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.關于中心對稱【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，的圖象向左平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變，得到，所以，的最小正周期為，A選項錯誤.是偶函數(shù)，B選項正確.由得，所以在上單調(diào)遞增，C選項錯誤.，所以D選項正確.故選：BD11.已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則（）A.曲線在處的切線方程為B.有極大值，也有極小值C.使得恒成立的最小正整數(shù)為2021D.有兩個不同零點，且【答案】ACD 【解析】【分析】根據(jù)切線方程的求解即可判斷A，根據(jù)導數(shù)求解單調(diào)性即可判斷極值求解B，根據(jù)過原點的切線的斜率，即可求解C，利用極值點偏移的求解方法即可求解D.【詳解】由得，對于A，則，故處的切線方程為，即，A正確，對于B,令，故當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值,無極小值，B錯誤，設切點為,則切點處的切線方程為，則該切線方程經(jīng)過原點時，則，所以，得，所以此時切線方程為，由于過原點，所以當直線與相切時，此時，要使恒成立，則，由于,故，C正確，由于是的兩個零點，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故當，取極大值，故不妨設，記，則，由于，當且僅當時取等號，所以，故在單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，而在單調(diào)遞增，故，故， 由于所以，由于是的兩個零點，所以，記，所以是的兩個零點，由于，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取極小值也是最小值，不妨設，則，記，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞減，所以，即，由于時，單調(diào)遞增，，所以，即，因此，D正確，故選：ACD【點睛】方法點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，以及函數(shù)問題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.12.已知是橢圓上不同的三點，記的面積分別為（為坐標原點）.若，則（）A.B.C.D.為定值【答案】BC 【解析】【分析】先證明：設，不共線，則．然后設，，，求出，代入后利用三角恒等變換得出，從而可判斷各選項．【詳解】先證明：設，不共線，則．若，則，若，當中有一個為0時，例如，則易得，當都不為0時，設直線與軸交點為，直線方程為，令，當時，，當時，，綜上，，由已知設，，，則，同理，，由得，，，， ，，由題意中任意兩點都與原點不共線，即，，所以，，所以，，從而或,所以，，故選：BC．【點睛】易錯點睛：本題中利用三角換元法或稱為橢圓的參數(shù)方程設出三點的坐標后，易錯點是得出后容易得出，要注意換元后參數(shù)的意義，在中，，因此不能得出．非選擇題部分三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)和復數(shù)相等的概念求得，即可求解.【詳解】設，則，所以，所以，所以，則，故答案為:.14.若的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為81，則其常數(shù)項為______.【答案】【解析】 【分析】由二項式定理求解．【詳解】的展開式中所有系數(shù)絕對值之和為，得，的展開通項為，當時，常數(shù)項為，故答案為：15.已知點在上運動，點在圓上運動，且最小值為，則實數(shù)的值為______.【答案】5【解析】【分析】結(jié)合圖形，先判斷得，再將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用換元法與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可得解.【詳解】因為可化為，又，所以表示焦點在軸上，實半軸長為的雙曲線上支的一部分，而圓的圓心為，半徑為，如圖，因為最小值為，即，又，即，所以，即， 則，又，所以，因為點在上運動，故設,，所以，令，，則，，所以，令，則其對稱軸為，因為，所以，則在上單調(diào)遞減，則，即，則，解得或（舍去），所以.故答案為：5.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，從而得解.16.已知數(shù)列的首項為，且滿足，其中為其前項和，若恒有，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】利用與的關系可得，進而可得，再利用累乘法得，由恒成立可知，，列不等式組求解即可.【詳解】由①可得②，②①得，即，，所以，，所以，，累乘得， ，將代入得，解得，所以，，對于函數(shù)，得，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得存在滿足，同理時，所以要使恒成立，只需，即可，即，解得，故答案為：四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設出等差數(shù)列的公差，利用給定條件列出方程組，解方程組作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法及等差等比數(shù)列前n項和公式求解作答.【小問1詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題：解得所以；【小問2詳解】 由（1）知，則.兩式相減得：即有18.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，再結(jié)合已知條件與余弦定理即可求解.（2）由（1）得,結(jié)合已知由余弦定理可以先求出，再由變形公式即可求解.【小問1詳解】由得：,則,則,即，化簡并整理得，又，則,所以. 【小問2詳解】由題意有，由（1）得,所以所以，由，所以，則的周長為.19.某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的值范圍內(nèi)，檢驗員在同一試驗條件下，每天隨機抽樣10次，并測量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)品的碳含量服從正態(tài)分布.（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含量百分比在之外的次數(shù)，求及的數(shù)學期望：（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測的碳含量在之外，就認為這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.下面是在一天中，檢測員進行10次碳含量（單位：%）檢測得到的測量結(jié)果：次數(shù)12345678910碳含量（%）0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32經(jīng)計算得，，其中為抽取的第次的碳含量百分比.（i）用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？（ii）若去掉，剩下的數(shù)的平均數(shù)和標準差分別記為，試寫出的算式（用表示）. 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則..【答案】（1）0.0257，0.026（2）（i）不需要（ii）【解析】【分析】（1）由公式結(jié)合已知即可求出，由二項分布的期望公式即可求出.（2）先求出，對比表中數(shù)據(jù)即可判斷是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，由樣本平均數(shù)和方差的計算公式推導即可得出.【小問1詳解】由已知得：抽取一次碳含量在之內(nèi)的概率為0.9974，所以，又碳含量在之外的概率為0.0026，故,因此.【小問2詳解】由得的估計值為，所以，由所測數(shù)據(jù)可以看出10次抽檢的碳含量均在之內(nèi)，因此不需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.若去掉，剩下的數(shù)據(jù)的標準差 又注意到，所以.20.在正三棱臺中，側(cè)棱長為1，且為的中點，為上的點，且.（1）證明：平面，并求出的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）畫出圖形，由線面垂直的性質(zhì)以及判定定理證明即可,解三角形即可求出的長.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出兩平面的法向量即可求解.【小問1詳解】如圖所示： 由三棱臺可知：延長交于點，連接，延長交于，并連接，易得三棱錐為正四面體，所以，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，且平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，在中，，則，所以.【小問2詳解】如圖，以底面中心為坐標原點，以與平行的方向為軸，以方向為軸，以方向為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系： 則，所以，所以，設平面的法向量為，則即為令，得，取平面的法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為. 21.設拋物線的焦點為是坐標原點，，過點的直線與拋物線交于兩點，延長分別交拋物線于兩點，分別是的中點.（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關系，結(jié)合基本不等式求得直線的斜率的取值范圍.（2）求得兩點的坐標，從而求得點坐標，根據(jù)向量的夾角公式以及函數(shù)的單調(diào)性求得的最小值.【小問1詳解】由題：，設，代入得，則有，，所以，故，當時，，當時綜上可得直線的斜率取值范圍為.【小問2詳解】設，則解得，同理，， 所以，所以點的橫坐標為，點的縱坐標為，所以的斜率，記，，取的方向向量分別為，故，當時，，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為，所以當時，取到最小值為. 【點睛】求解直線和拋物線相交有關的問題，如果交點有兩個，可設直線方程為的形式，這個設法包括了直線斜率不存在的情況，但不包括直線與軸平行的情況.求解最值有關的問題，可根據(jù)表達式的結(jié)構，利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來求.22.設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)均有2個零點，求的取值范圍；（3）設且，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，對參數(shù)進行分類討論即可.（2）由（1）可知的單調(diào)性，結(jié)合題意有，轉(zhuǎn)換為不等式恒成立問題來求解即可.（3）首先利用分析法，兩邊取對數(shù)將不等式變形為，進一步采用倒序相加法，則只需證，結(jié)合（2）中結(jié)論即可求證.【小問1詳解】由題：，（i）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（ii）當時，解為，且，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為. 【小問2詳解】由（1）知當時，有減區(qū)間為，增區(qū)間為,由題可知：對任意，均有成立，等價于恒成立，令，則，得，且，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以；所以當時，，注意到，所以，所以的取值范圍為.【小問3詳解】由題意，其中且，，因為 由（2）可知：，取，代入上式得，，所以，得證!