《四川省南充高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

南充高中高2021級高三第一次月考數(shù)學(xué)試題（理科）考試時(shí)間：120分鐘滿分150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，僅將答題卡交回.一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，，所以.故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和模長公式計(jì)算即可. 【詳解】，故，.故選：B3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A.100，10B.100，20C.200，10D.200，20【答案】D【解析】【分析】由抽取的學(xué)生求出樣本容量，再計(jì)算出高中生抽取的人數(shù)，結(jié)合近視率計(jì)算出抽取的高中生近視人數(shù)；【詳解】依題意可得樣本容量為，其中高中生抽取人，因?yàn)闃颖局懈咧猩慕暵蕿?，所以抽取的高中生近視人?shù)為人；故選：D4.過函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，則切線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率的范圍，進(jìn)而求得傾斜角的范圍.【詳解】依題意，，則，即切線的斜率的取值范圍是， 所以傾斜角的取值范圍是.故選：B5.已知等比數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，公比為q．若數(shù)列也是等比數(shù)列，則（）A.1B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和公式列方程，從而求得公比.【詳解】依題意，是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，即，，，解得或（舍去）.所以.故選：D6.已知，為偶函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊點(diǎn)以及函數(shù)奇偶性確定正確答案.【詳解】，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.依題意，是偶函數(shù)， ，所以，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以A選項(xiàng)正確.故選：A7.在中，，，，是中點(diǎn)，則（）A.B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】由于是中點(diǎn)，所以.故選：A8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（）A.B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)為，由題意知，，解得.又知，解得， 所以，即，所以雙曲線C的離心率是故選：C.9.若點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，且，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.4【答案】A【解析】【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，則，不妨設(shè)，關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，由于，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，所以的最小值為.故選：A10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為和的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點(diǎn)規(guī)律即可找出第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)，而m的取值范圍就在第10個(gè)零點(diǎn)和第11個(gè)零點(diǎn)之間.【詳解】由得是一個(gè)周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因此，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖：為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因?yàn)榕c均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，若在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)，則第10個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，第11個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此.故選：A11.對非空有限數(shù)集定義運(yùn)算“”：表示集合A中的最小元素.現(xiàn)給定兩個(gè)非空有限數(shù)集A，B，定義集合，我們稱為集合A，B之間的“距離”，記為.現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①若，則；②若，則； ③若，則；④對任意有限集合A，B，C，均有.其中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件可得①③正確，通過舉反例可得②④錯(cuò)誤.【詳解】對于①，若，則A，B中最小的元素相同，則，故①為真命題；對于②，取集合，，滿足，而，故②為假命題；對于③，若，則A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故③為真命題；對于④，取集合，，，可知，，，則不成立，故④假命題.綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B12.的周長為18，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）A.1B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換得到，，作出圖形，設(shè)出邊長，的內(nèi)切圓半徑為，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求出答案.【詳解】由題意得，因?yàn)椋?，即，即，故?又，分子分母同除以可得，，如下圖，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，顯然，，故，即，，整理可得，，將代入中得，，因?yàn)椋矗?所以，故，解得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的內(nèi)切圓半徑的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】4【解析】【詳解】作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.14.若在關(guān)于的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為4，則的系數(shù)是______________． 【答案】【解析】【分析】將式子轉(zhuǎn)化為兩個(gè)式子相加的形式，再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】，展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng)為，故.分別取和得到的系數(shù)是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15.劉微（約公元225-295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一．他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限思想的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，當(dāng)變得很大時(shí)，這個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為______（結(jié)論用圓周率表示）【答案】【解析】【分析】將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，根據(jù)題意，可知個(gè)等腰三角形的面積和近似等于圓的面積，從而可求的近似值.【詳解】將一個(gè)圓的內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形，設(shè)圓的半徑為，則，即，所以.故答案為：16.已知點(diǎn)，，是圓錐表面上的點(diǎn)，該圓錐的側(cè)面展開圖為以點(diǎn)為圓心，4為半徑的半圓，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)（如圖），以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球被平面所截，則截面面積為______. 【答案】【解析】【分析】還原圓錐，作出示意圖，求得底面圓半徑，進(jìn)而根據(jù)等體積法求得底面圓心到截面圓的距離，從而求得截面圓的半徑，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，還原圓錐如下所示：D點(diǎn)在如圖示的中點(diǎn)處，不妨設(shè)該圓錐底面半徑為，高為，底面圓圓心為，根據(jù)題意，，圓錐底面圓周長為，解得，由勾股定理可得，平面截以圓錐底面圓心為球心，半徑為2的球的截面為一個(gè)圓，不妨設(shè)截面圓半徑為，設(shè)球心到面的距離為，在中，，，則，由等體積法可得，，即，解得，故可得，，故截面圓面積為，故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知中，角的對邊分別為，．（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)D，且，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此求得.（2）根據(jù)三角形的面積公式、角平分線的性質(zhì)求得，從而求得的面積．【小問1詳解】由以及正弦定理得，所以.【小問2詳解】依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，，由，，， 由余弦定理得，即，，，則由得，所以.18.為調(diào)查某公司五類機(jī)器的銷售情況，該公司隨機(jī)收集了一個(gè)月銷售的有關(guān)數(shù)據(jù)，公司規(guī)定同一類機(jī)器銷售價(jià)格相同，經(jīng)分類整理得到下表：機(jī)器類型第一類第二類第三類第四類第五類銷售總額（萬元）銷售量（臺）利潤率利潤率是指：一臺機(jī)器銷售價(jià)格減去出廠價(jià)格得到的利潤與該機(jī)器銷售價(jià)格的比值．（Ⅰ）從該公司本月賣出的機(jī)器中隨機(jī)選一臺，求這臺機(jī)器利潤率高于0.2的概率；（Ⅱ）從該公司本月賣出的銷售單價(jià)為20萬元的機(jī)器中隨機(jī)選取臺，求這兩臺機(jī)器的利潤率不同的概率；（Ⅲ）假設(shè)每類機(jī)器利潤率不變，銷售一臺第一類機(jī)器獲利萬元，銷售一臺第二類機(jī)器獲利萬元，…，銷售一臺第五類機(jī)器獲利，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一臺機(jī)器獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）先由題意確定，本月賣出機(jī)器的總數(shù)，再確定利潤率高于0.2的機(jī)器總數(shù)，即可得出結(jié)果；（Ⅱ）先由題意確定，銷售單價(jià)為20萬元的機(jī)器分別：是第一類有臺，第三類有臺，共有臺，記兩臺機(jī)器的利潤率不同為事件，由即可結(jié)果； （Ⅲ）先由題意確定，可能取的值，求出對應(yīng)概率，進(jìn)而可得出，再由求出均值，比較大小，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（Ⅰ）由題意知，本月共賣出30臺機(jī)器，利潤率高于0.2的是第一類和第四類，共有10臺．設(shè)“這臺機(jī)器利潤率高于0.2”為事件，則．（Ⅱ）用銷售總額除以銷售量得到機(jī)器的銷售單價(jià)，可知第一類與第三類的機(jī)器銷售單價(jià)為20萬，第一類有臺，第三類有臺，共有臺，隨機(jī)選取臺有種不同方法，兩臺機(jī)器的利潤率不同則每類各取一臺有種不同方法，設(shè)兩臺機(jī)器的利潤率不同為事件，則．（Ⅲ）由題意可得，可能取的值為，，，，因此；又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，以及離散型隨機(jī)變量的均值，熟記古典概型的概率計(jì)算公式，以及離散型隨機(jī)變量的相關(guān)概念即可，屬于常考題型.19.如圖所示，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，且，，，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)． （1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）欲證平面平面，只需證明平面，只需證明即可，由已知易證.（2）證明兩兩互相垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值，注意觀察圖形是鈍角.【詳解】（1）證明：因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過點(diǎn)，所以．因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：因?yàn)槠矫妫忠驗(yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)?，所以，則兩兩互相垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 因，，，所以，，所以在中，由勾股定理，得，則點(diǎn)，，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則由得解得不妨令，得則是平面的一個(gè)法向量．由（1）知，平面，又因?yàn)?，所以平面，所以向量是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，根據(jù)圖形判斷為鈍角，則，所以二面角的余弦值是．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明、二面角平面角的求法，證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直或線線垂直，求二面角的平面角的余弦值可建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為求法向量的夾角余弦值，注意判斷夾角的范圍；是中檔題. 20.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．且，P為橢圓上一點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)弦長公式求得，由直線的方程與直線求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【小問1詳解】依題意，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，，，，設(shè)，則，， ..的中點(diǎn)為，則，即，直線的方程為，令，得，即，而，所以，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題，主要是根據(jù)已知條件求得，是兩個(gè)參數(shù)，需要想要求得，需要兩個(gè)已知條件，如本題中以及 ，再結(jié)合橢圓中的隱藏條件，就可以求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21.已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)，，若對任意，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(Ⅰ)答案不唯一，見解析；(Ⅱ)(0，2]【解析】【分析】（1）先求出，然后討論在定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)符號問題.即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）先根據(jù)的單調(diào)性，以及的單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，從而得新函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，即恒成立，求出參數(shù)的范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?0，+∞)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在(0，+∞)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?一∞，0)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在(一∞，0)單調(diào)遞增.(Ⅱ)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?0，+∞)，在(0，1]上遞增，在(0，1]上遞減，不妨設(shè)，則∴等價(jià)于即 令等價(jià)于函數(shù)在(0，1]上是減函數(shù)，∴令即在(0，1]恒成立，分離參數(shù)，得令，.∴在(0，1]遞減，∴，又t∈[3，4]，∴，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍為(0，2].【點(diǎn)睛】（1）討論函數(shù)單調(diào)性，可以先求出函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的函數(shù)值符號問題.（2）恒成立為題常注意一下幾種情況的等價(jià)轉(zhuǎn)化：1.恒成立2.恒成立3.任意的都有恒成立恒成立，令，轉(zhuǎn)化為（1）的情況4.任意的都有恒成立恒成立本題屬于第4種情況.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.[選修4—5：不等式選講]23.已知正實(shí)數(shù)滿足（1）解關(guān)于的不等式；（2）證明：. 【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）用表示并求得的取值范圍，結(jié)合絕對值不等式的解法求得原不等式的解集.（2）化簡后利用基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1），且，故.，解得.（2）且，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.