《廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試（8月） 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

2024屆高三開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分為150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡和答卷密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上.2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔和平整.第一部分選擇題（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.2.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a＝（）A.-3B.C.3D.【答案】A【解析】 【分析】先進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，化簡(jiǎn)，再根據(jù)條件得虛部為零，計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，即，所以.故選：A.3已知正項(xiàng)等比數(shù)列，若，則（）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)，先求出，然后根據(jù)求出公比，最后求【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)，，又是正項(xiàng)數(shù)列，故（負(fù)值舍去）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，即，解得（正項(xiàng)等比數(shù)列公比不可是負(fù)數(shù)，負(fù)值舍去），故故選：B4.已知向量，滿足，且，，則（）A.5B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)的計(jì)算即可求解.【詳解】，所以，故選：D5.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平局、甲每局贏的概率為，已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求得甲最后獲勝的頻率.【詳解】因?yàn)榍皟删旨锥驾斄?，所以甲需要連勝四局或第三局到第六局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為.故選：C6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再用賦值法，排除ABD，即可.【詳解】由，得，所以為偶函數(shù)，故排除BD.當(dāng)時(shí)，，排除A故選：C.7.已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由，考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)椋?，考慮構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將被比較的數(shù)化為結(jié)構(gòu)相似的形式，考慮構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.8.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的定義和性質(zhì)表示出各邊長(zhǎng)，再利用直角三角形的邊角關(guān)系及余弦定理求出即可. 【詳解】由雙曲線得出.因?yàn)?，所?作于C，則C是AB的中點(diǎn).設(shè)，則由雙曲線的定義，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷. 【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈?，是最大值，則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：BD.10.已知是兩兩異面的三條直線，，，直線d滿足，，，，則c與d的位置關(guān)系可以是（） A.相交B.異面C.平行D.垂直【答案】BC【解析】【分析】作出正方體模型，確定，，所在直線分別為，符合題意，然后考慮直線c的位置情況，根據(jù)空間的線面位置關(guān)系，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】如圖，在正方體中，E是上一點(diǎn)（異于），，，所在直線分別為．當(dāng)所在直線為c時(shí)，符合題中條件，此時(shí)c與d平行，C正確；當(dāng)f所在直線為c時(shí)，符合題中條件，此時(shí)c與d異面，B正確；若c與d相交，則a垂直于確定的平面，又a垂直于確定的平面，則在同一個(gè)平面內(nèi)，即b與c共面，與已知矛盾，A錯(cuò)誤；若c與d垂直，則c垂直于確定的平面，而b垂直于確定的平面，推出b與c平行或重合，與已知矛盾，D錯(cuò)誤，故選：BC．11.如圖是函數(shù)（，，）的部分圖像，則（）A.的最小正周期為 B.是的函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)D.若函數(shù)（）在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)圖像可得，即可判斷A；令解出即可判斷B，接下來求得，即可得到的解析式，根據(jù)圖象平移判斷C；令，解出函數(shù)零點(diǎn)，然后根據(jù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式解即可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，即，故A正確；，此時(shí)，又在圖像上，，解得，，，，，當(dāng)是函數(shù)的一條對(duì)稱軸時(shí)，此時(shí)不符合題意，故B錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，，不合題意時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；又因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，解得，故D正確.故選：AD. 12.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如圖是一個(gè)“羨除”模型，該“羨除”是以為頂點(diǎn)的五面體，四邊形為正方形，平面，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.該幾何體的外接球的表面積為D.與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】過E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，將該幾何體分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐，取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，則EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，然后求出表面積可判斷A；連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，可證得FT⊥面ABCD，求出一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐的體積，可得該幾何體的體積，從而判斷B；連接AC，BD交于點(diǎn)O，可求得O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，求出表面積即可判斷C；取AB的中點(diǎn)N，得AE∥FN，則與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)N到面FBC的距離為h，利用等體積法，由求得，進(jìn)而可得與平面所成角的正弦值，可判斷D．【詳解】∵EF∥平面ABCD，EF在平面ABFE內(nèi)，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥DC，∵∴ABFE，DCFE均為等腰梯形，過E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，連接KM，過F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，連接GH， ∴EF∥KG∥MH，EF＝KG＝MH＝2，AK＝GB＝DM＝HC＝1，∵AB∥DC，F(xiàn)H⊥DC，∴AB⊥FH，又AB⊥GF，GF，F(xiàn)H在平面FGH內(nèi)，GF∩FH＝F，∴AB⊥面FGH，同理，AB⊥面EKM，∴面FGH∥面EKM，∴該幾何體被分為一個(gè)棱柱與兩個(gè)棱錐.分別取AD，BC的中點(diǎn)P，Q，連接FQ，EP，∵，∴EP⊥AD，F(xiàn)Q⊥BC，∴FQ＝，∴，F(xiàn)G＝，，又，∴該幾何體的表面積為，故A正確；連接PQ，交GH于T，則T為GH的中點(diǎn)，連接FT，∵AB⊥面FGH，F(xiàn)T在面FGH內(nèi)，∴FT⊥AB，∵GF＝FH＝EK＝EM，∴FT⊥GH，又AB，GH在面ABCD內(nèi)，AB∩GH＝G，∴FT⊥面ABCD，∴FT＝， ∴，∵，∴，∴該幾何體的體積為，故B正確；連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O也在PQ上，連接OE，OF，∵EF∥OQ，EF＝OQ，∴EFQO為平行四邊形，∴EO＝FQ＝，同理，F(xiàn)O＝EP＝，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝，∴O為該幾何體的外接球的球心，半徑R＝，∴該幾何體的外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；取AB中點(diǎn)N，連接FN，NC，∵EF∥AN，EF＝AN，∴EFNA為平行四邊形，∴AE∥FN，∴與平面所成角等于FN與平面所成角，設(shè)為，設(shè)N到面FBC的距離為h， ∵，∴，∴，∴，∴，即與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選：ABD．第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則函數(shù)在點(diǎn)（2，）處的切線方程為________________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)可得，得，因而切線的斜率而，由點(diǎn)斜式可得切線方程為即14.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，若，且，則的通項(xiàng)公式為______．【答案】##【解析】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由已知可得，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因此，.故答案為：. 15.已知二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則________．【答案】2【解析】【分析】表示有5個(gè)因式相乘，根據(jù)的來源分析即可求出答案.【詳解】表示有5個(gè)因式相乘，來源如下：有1個(gè)提供，有3個(gè)提供，有1個(gè)提供常數(shù)，此時(shí)系數(shù)是，即，解得：故答案為：.16.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則______．【答案】【解析】【分析】采用賦值的方式可求得，令和可證得的對(duì)稱軸和奇偶性，由此可推導(dǎo)得到的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.【詳解】令，則，；令，，則，又，；令，則，關(guān)于直線對(duì)稱；令，則，不恒成立，恒成立，奇函數(shù)，，，是周期為的周期函數(shù)，.故答案為：. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)的周期性求解函數(shù)值的問題，解題關(guān)鍵是能夠通過賦值的方式，借助已知中的抽象函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性，以及所需的函數(shù)值，進(jìn)而借助對(duì)稱性和奇偶性推導(dǎo)得到函數(shù)的周期.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A的平分線交線段于點(diǎn)D．（1）證明；（2）若，，，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由題得，再代入面積公式即得證；（2）由題得，，求出，再利用余弦定理得解.【詳解】（1）證明：依題意為的平分線，設(shè)∴∵故，設(shè)A點(diǎn)到的距離為h，則可知 ∴可知（2）由，又∴可知，在中，∴在中，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的主要考點(diǎn)有正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，解答三角形問題時(shí)，主要從這幾個(gè)考點(diǎn)出發(fā).18.中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1道B類試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知小明同學(xué)A類試題中有7道題會(huì)作答，而他答對(duì)各道B類試題的概率均為.（1）若小明同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率；（2）若小明只作答A類試題，設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望21【解析】【分析】（1）分A類試題答對(duì)和B類試題答對(duì)兩種類型計(jì)算概率；（2）列出X所有可能的取值，求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值，即可求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】小明僅答對(duì)1題的概率.【小問2詳解】可能的取值為0，10，20，30，，， ，，所以X的分布列為X0102030P所以.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足求最小的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)一切正整數(shù)k均成立．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明.（2）根據(jù)奇偶項(xiàng)的特點(diǎn)，由裂項(xiàng)求和和分組求和，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解，由不等式的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由已知得，，所以．因?yàn)椋?所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．【小問2詳解】證明：（2）由（1），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，故，由所以m的最小值為．20.如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到 ，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【小問1詳解】證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面【小問2詳解】解：過點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以； 設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.21.設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，已知的面積為，．（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與平行的直線，滿足直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在滿足條件的直線，方程為或．【解析】【分析】（Ⅰ）由的面積得，又根據(jù)得，結(jié)合關(guān)系即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；公眾號(hào)：全元高考（Ⅱ）可設(shè)直線的方程代入橢圓方程求得兩根關(guān)系，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)求取值，即可求得直線方程．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)，則的面積等于，所以．①由，即，得．因?yàn)樵谥苯侵?，，，，所以，所以．②由①②及，得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）因?yàn)橹本€的斜率為，所以可設(shè)直線的方程為，代入，整理得．由，得．設(shè)，，則，．若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即，得，所以，得．因?yàn)?，所以．公眾?hào)：全元高考 所以存在滿足條件的直線，方程為或．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．22.已知函數(shù)，.（1）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）將有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的根，根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題，進(jìn)而即可求解.【小問1詳解】公眾號(hào)：全元高考的定義域?yàn)?，由，得，則，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，所以， 所以，解得，【小問2詳解】，則，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，，所以在上有兩個(gè)不同的根，此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的根，則，且，解得，若不等式恒成立，則恒成立，因?yàn)椴环猎O(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的根，求出的范圍，再將不等式恒成立，則 恒成立，然后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.