《四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學校2022-2023學年高二下學期期中理科數(shù)學 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

敘州區(qū)第一中學2023年春期高二期中考試數(shù)學（理工類）試卷第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】分析：首先根據題中所給的復數(shù)z，可以求得其共軛復數(shù)，并且可以求出復數(shù)的模，代入求得，從而求得結果.詳解：根據，可得，且，所以有，故選C.點睛：該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)的共軛復數(shù)、復數(shù)的模、以及復數(shù)的加法運算，屬于基礎題目.2.某校高中生共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取一個容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取人數(shù)分別為A.15,5,2B.15,15,15C.10,5,30D.15，10，20【答案】D【解析】【分析】根據分層抽樣的定義求出在各層中的抽樣比，即樣本容量比上總體容量，按此比例求出在各年級中抽取的人數(shù)．【詳解】根據題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為=，則在高一年級抽取的人數(shù)是300×=15人，高二年級抽取的人數(shù)是200×=10人， 高三年級抽取的人數(shù)是400×=20人，故答案為D【點睛】本題的考點是分層抽樣方法，根據樣本結構和總體結構保持一致，求出抽樣比，再求出在各層中抽取的個體數(shù)目．3.是邊長為1正三角形，那么的斜二測平面直觀圖的面積（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出原三角形的面積，再根據原圖和直觀圖面積之間的關系即可得解.【詳解】以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，畫對應的軸，軸，使，如下圖所示，結合圖形，的面積為，作，垂足為，則，，所以的面積，即原圖和直觀圖面積之間的關系為，所以，的面積為.故選：A.【點睛】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的關系，屬于基礎題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（） A.B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)，可求周期為4，，由題意可知【詳解】由函數(shù)的周期為，，，，，.故選：C【點睛】本題考查了程序框圖求和，正弦型三角函數(shù)的周期等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.5.十二生肖是中國特有的文化符號，有著豐富的內涵，它們是成對出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對.每對生肖相輔相成，構成一種完美人格.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，按照上面的配對分成六份.甲、乙、丙三位同學依次選一份作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，如果甲、乙、丙三位同字選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)共有（）A.12種B.16種C.20種D.24種【答案】B【解析】 【分析】對甲選擇的吉祥物分成選擇?；蝰R兩種情況，分別討論在每種情況下的選擇種類數(shù)，相加即可得到總的選法種數(shù).【詳解】對甲選擇的吉祥物分成選擇?；蝰R兩種情況；當甲選擇鼠和牛這份吉祥物時，乙從馬和羊吉祥物、狗和豬吉祥物中二選一，丙從余下的4份中選擇一份，即，當甲選擇馬和羊這份吉祥物時，乙從鼠和牛吉祥物、狗和豬吉祥物中二選一，丙從余下的4份中選擇一份，即，則如果甲、乙、丙三位同字選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)共有種；故選：B6.設直角三角形的直角邊長，均為區(qū)間內的隨機數(shù)，則斜邊長小于的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據幾何概型的概率公式即可得到結論．【詳解】根據題意可得，斜邊長.∵斜邊長小于∴∴直角三角形的直角邊長，均為區(qū)間內的隨機數(shù)，則斜邊長小于的概率為.故選：A.考點：幾何概型.7.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 【分析】根據直線和圓相切可得，再根據充分條件，必要條件的定義即可判斷．【詳解】因為直線與圓相切，所以，.所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了直線和圓位置關系，以及充分條件和必要的條件，屬于基礎題．8.已知函數(shù)的圖象在處的切線為，則與坐標軸圍成的三角形的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)解析式得且，，可求，進而求與坐標軸的交點坐標，即可求與坐標軸圍成的三角形的面積.【詳解】由題意，且，，得，，∴的方程為，則與坐標軸的交點的坐標分別是(0,2)，，∴故與坐標軸圍成的三角形的面積．故選：B.9.某學習小組有甲、乙、丙、丁四位同學，某次數(shù)學測驗有一位同學沒有及格，當其他同學問及他們四人時，甲說：“沒及格的在甲、丙、丁三人中”；乙說：“是丙沒及格”；丙說：“是甲或乙沒及格”；丁說：“乙說的是正確的”.已知四人中有且只有兩人的說法是正確的，則由此可推斷未及格的同學是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】由題意可知乙、丁說的同真或同假，然后分同真、同假分別推理即可得答案【詳解】 注意到乙、丁說的同真或同假，當同真時，甲說的也真，不成立，故同假，所以甲、丙說的同真，故甲未及格.故選：A10.已知點是雙曲線上的動點，點為圓上的動點，且，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，由此得出，由于為定值，則取最小值時，則取最小值，根據雙曲線的性質得出點在為雙曲線的頂點時，取最小值，再由勾股定理以及離心率公式求解即可.【詳解】因為，所以，即，且若取最小值，則取最小值由雙曲線的性質可知，當點在為雙曲線的頂點時，取最小值此時，此時，所以故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，涉及了向量數(shù)量積公式的應用，屬于中檔題.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，當與圓相切時，的中點到的準線的距離為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，設直線的方程為，由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與拋物線方程，結合焦半徑公式即可得到結果. 【詳解】由題意知，設直線的方程為.因為直線與圓相切，所以圓心到的距離，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以的中點到的準線的距離為.故選:D12.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】，令，計算函數(shù)的單調性，得到，計算得到答案.【詳解】，令，則，故當時，，單調遞減，當時，單調遞增，，從而當時，，在區(qū)間上單調遞增.設，則在上單調遞減，在上單調遞增，， 存在，使成立，等價于.，解得.故選：D.【點睛】本題考查了能成立問題，轉化為函數(shù)的值域問題是解題的關鍵，得出參數(shù)與函數(shù)的最值的大小關系.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）【答案】-189【解析】【詳解】由二項式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．14.下面是兩個變量的一組數(shù)據：12345678191625364964這兩個變量之間的線性回歸方程為，變量中缺失的數(shù)據是___________．【答案】4；【解析】【分析】由于線性回歸直線一定過樣本中心點，所以將中心點坐標代入可求得結果【詳解】解：設變量中缺失的數(shù)據為，則，，因為這兩個變量之間的線性回歸方程為，所以，解得， 故答案為：415.某校進行定點投籃訓練，甲、乙、丙三個同學在固定的位置投籃，投中的概率分別，，p，已知每個人投籃互不影響，若這三個同學各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則p＝______________.【答案】##【解析】【分析】由已知結合對立事件的概率關系及相互獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意可知，解得.故答案為：.16.古希臘數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球．該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是，現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為______．【答案】【解析】【分析】利用圓柱的表面積求出球的表面積，然后求出球的半徑，最后求出圓柱的底面半徑和高，利用圓柱和球的體積差，求出水的體積即可.【詳解】設球的半徑為，由題意得球的表面積為，所以，所以圓柱的底面半徑為2，高為4，所以最多可以注入的水的體積為．故答案為：三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21 題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分17.某學科的試卷中共有12道單項選擇題，（每個選擇題有4個選項，其中僅有一個選項是正確的，答對得5分，不答或答錯得0分）．某考生每道題都給出了答案，已確定有8道題答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這12道選擇題，試求：（1）該考生得分為60分的概率；（2）該考生所得分數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．【答案】（1）（2）ξ的分布列為ξ4045505560P【解析】【詳解】解：（1）要得60分，其余四道題必須全做對，所以得60分的概率為（2）依題意，該考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分為40表示只做對了8道題，其余4題都做錯，故求概率為；同樣可求得得分為45分的概率為； 于是ξ的分布列為ξ4045505560P故該考生所得分數(shù)的數(shù)學期望為……18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，.（1）求證：BC//平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，進而得到//，然后利用線面平行的判定定理證得；（2）由線面垂直的條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解.【詳解】（1）因為，所以.所以.因為，所以//.因為平面. 因為平面，所以BC//平面；（2）過作的垂線交于點.因為平面，所以，.如圖建立空間直角坐標系.則，，，.因為為中點，所以.所以，，.設平面的法向量為，則即令，則，,于是.設直線與平面所成的角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為. 19.已知函數(shù)，（1）若曲線與在處相切，求的表達式；（2）若在內是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)分別對與求導,利用導數(shù)的幾何意義列出斜率的關系求解即可.(2)由題知在內恒成立,再參變分離構造函數(shù)求最值即可.【詳解】（1），.又曲線與在處相切，（2），即又，即，，.（2）在內是減函數(shù)，在內恒成立，，∴只需在內恒成立，，.，當且僅當時取等號，，即.故實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與恒成立的問題,屬于中等題型.20.如圖，已知橢圓與拋物線，過橢圓下頂點作直線與拋物線交于、兩點，且滿足，過點作于直線傾斜角互補的直線交橢圓于、兩點.（1）證明：點的縱坐標為定值，并求出該定值； （2）當?shù)拿娣e最大時，求拋物線的標準方程.【答案】（1）證明見解析，定值；（2）.【解析】【分析】（1）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求得，由可得出，可得出，代入拋物線方程可求得的值，即可得出結論；（2）根據（1）中結論可得出直線的方程為，設，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出，計算出點到直線的距離，可得出的面積關于的表達式，利用基本不等式求出面積的最大值，利用等號成立的條件求出的值，即可得出拋物線的方程.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率存在，可設直線，、，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，整理得，所以.由，得，則.因為點在拋物線上，所以，所以.因此，點的縱坐標為定值；（2）連接、， 因為，所以.由直線與直線的傾斜角互補，可得直線，又，故.令，則，與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由題意得，得，設、，則，，則，又點到直線的距離，所以 ，當且僅當，即時，的面積最大.由，得，故，得拋物線的標準方程為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù)（1）討論的極值；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）當時，無極值；當時，有極大值，無極小值；（Ⅱ）【解析】【詳解】【試題分析】（1）先對函數(shù)，求導，再分和兩種情形討論導函數(shù)值（）的符號，進而判定函數(shù)單調區(qū)間，求出函數(shù)的極值；（2）先將原不等式等價轉化為，進而構造函數(shù)（），將問題轉化為求出.然后借助題設條件先對函數(shù)（）求導，再對實數(shù)分類運用導數(shù)的知識求出=0，進而確定所求實數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）依題意（），①當時，，在上單調遞增，無極值；②當時，，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞增；所以，無極小值.綜上可知，當時，無極值；當時，有極大值，無極小值.（Ⅱ）原不等式可化，記（），只需.可得.（1）當時，，，所以，在上單調遞增，所以當時，，不合題意，舍去.（2）當時，，①當時，因為，所以，所以，所以在上單調遞減.故當時，，符合題意.②當時，記（），所以，在上單調遞減. 又，，所以存在唯一，使得.當時，，從而，即在上單調遞增，所以當時，，不符合要求，舍去.綜上可得，.點睛：解答本題的第一問時，先對函數(shù)，求導，再分和兩種情形討論導函數(shù)值（）的符號，進而判定函數(shù)單調區(qū)間，求出函數(shù)的極值；解答本題的第二問時，先將原不等式等價轉化為，進而構造函數(shù)（），將問題轉化為求.然后借助題設條件先對函數(shù)（）求導，再對實數(shù)分類運用導數(shù)的知識求出=0，進而確定所求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標與參數(shù)方程）22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求直線l的直角坐標方程與曲線C的普通方程；（2）已知點P的直角坐標為，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求的值．【答案】（1）；； （2）.【解析】【分析】（1）由曲線的參數(shù)方程消去即可得曲線的普通方程；由直線的極坐標方程為及，即可得直線的直角坐標方程；（2）根據題意得直線標準參數(shù)方程為（為參數(shù)），把它代入曲線的直角坐標方程，利用直線的參數(shù)的幾何意義解題即可.【小問1詳解】由曲線C的參數(shù)方程得．∴曲線C的普通方程為．直線l的極坐標方程化簡為．由極坐標與直角坐標的互化關系，，得直線l的直角坐標方程為．【小問2詳解】設直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，整理可得．．設，是方程的兩個實數(shù)根．則，． ∴．選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）求的解集；（2）記函數(shù)的最小值為M，若，且，求的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）通過討論的范圍，求出不等式的解集即可；（2）由絕對值不等式的性質即可求得的最小值為，從而可得的值，再由不等式的基本性質即可求解的最小值．【小問1詳解】（1）由得或或，解得或，∴解集為．【小問2詳解】，∴的最小值，則，又，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為8.