《江蘇省淮安市五校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2021級(jí)高二年級(jí)第一學(xué)期期中學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用垂直及中點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件求出的值，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題意可得故答案為：B．2.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是（）A.(－∞，－1)B.(3，＋∞)C.(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.【答案】A【解析】【分析】把圓方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用，解出k的取值范圍.【詳解】方程可化為(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1時(shí)才能表示圓．故選：A.3.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）

1A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線截距式方程求解作答.【詳解】依題意，直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，直線方程為，所以所求直線方程為或.故選：C4.圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離可能為（）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】【分析】求出圓心到點(diǎn)的距離，則距離在之間，選項(xiàng)一一比較即可.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，坐標(biāo)為，則，所以距離范圍為，即，而5在此范圍內(nèi)，故選：B.5.雙曲線的漸近線方程是：，則雙曲線的焦距為（）A.3B.6C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程是：，則求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是：，所以，，

2所以焦距為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.在數(shù)列中，，.若為等差數(shù)列，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由數(shù)列是等差數(shù)列知，先求，，從而求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，再求即可．【詳解】解：，，且數(shù)列是等差數(shù)列，，，，.故選：A7.設(shè)分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用余弦定理建立關(guān)系，結(jié)合橢圓范圍求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，，，

3，中，由余弦定理得：，整理得，則，化簡(jiǎn)得：，即，于是得，即，而，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A8.已知拋物線在點(diǎn)處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則C的離心率為（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得在點(diǎn)處的切線的斜率，進(jìn)而得到雙曲線的一條漸近線的斜率求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以時(shí)，，則，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，即雙曲線的一條漸近線的斜率為，所以曲線C的離心率為，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列

4為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列，其中是“差遞減數(shù)列”的有（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】分別求出四個(gè)選項(xiàng)中數(shù)列對(duì)應(yīng)的，再進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)，若，則，所以不為遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)，若，則，所以為遞增數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)，若，則，所以為遞減數(shù)列，故正確；對(duì)，若，則，由函數(shù)在遞減，所以數(shù)為遞減數(shù)列，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、數(shù)列單調(diào)性及遞推關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.10.當(dāng)時(shí)，方程表示的軌跡可以是（）A.兩條直線B.圓C.橢圓D.雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】將分為三種情況進(jìn)行分類討論，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，.方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.當(dāng)時(shí)，，方程化為，表示兩條直線.

5當(dāng)時(shí)，，.方程可化為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.所以曲線不可能表示圓.故選ACD.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線、圓、橢圓和雙曲線軌跡方程的特征，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11.關(guān)于圓錐曲線下列敘述中正確的有（）A.過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為10的直線共有3條B.設(shè)是兩個(gè)定點(diǎn)，k是非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支C.雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)D.以過拋物線的焦點(diǎn)的一條弦為直徑作圓，則該圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【解析】【分析】求出雙曲線的通徑及實(shí)軸長(zhǎng)判斷A；利用雙曲線定義判斷B；求出雙曲線、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷C；利用拋物線的定義判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為10，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與兩支相交的直線被雙曲線所截弦長(zhǎng)為10的直線只有1條，雙曲線的通徑長(zhǎng)為，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與一支相交的直線被雙曲線所截弦長(zhǎng)為10的直線有2條，因此過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為10的直線共有3條，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，B不正確；

6對(duì)于C，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；對(duì)于D，不妨令拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P，Q作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為，如圖，令線段的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作于，因此線段是直角梯形的中位線，則，即以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D正確.故選：ACD12.已知橢圓：的左，右兩焦點(diǎn)分別是，，其中直線l：與橢圓交于，兩點(diǎn)．則下列說法中正確的有（）A.若，則的周長(zhǎng)為B.若，則橢圓的離心率的取值范圍是C.若的中點(diǎn)為，則D.弦AB長(zhǎng)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用橢圓的定義判斷A；利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式求解判斷B；利用“點(diǎn)差法”計(jì)算判斷C；利用弦AB的意義確定弦長(zhǎng)范圍判斷D作答.

7【詳解】對(duì)于A，由橢圓定義知，，則的周長(zhǎng)為：，A正確；對(duì)于B，設(shè)，，則，即，因此，解得，即，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，則，于是得，而直線OM的斜率，因此，C不正確；對(duì)于D，因過橢圓焦點(diǎn)的最短弦為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為，過橢圓焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為橢圓的長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)為，而弦AB不垂直于橢圓x軸，所以弦AB長(zhǎng)的取值范圍是.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.以雙曲線的下焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的下焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為拋物線的焦點(diǎn)，則，代入即可.【詳解】由雙曲線得：，因?yàn)殡p曲線的下焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線方程為，所以故答案為：.

814.設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為_______.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】首先設(shè)點(diǎn)，得到，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到，若成立的點(diǎn)有四個(gè)，則在有兩實(shí)數(shù)解，則有，解出其范圍即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),,即.設(shè)，,由,可得,又因?yàn)樵跈E圓上,即,所以,要使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè),則,解得,所以的值可以是任意一個(gè)值，故答案為：0(答案不唯一)15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第______項(xiàng).【答案】28【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，再推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，令，即有，則，因此，即

9，有，于是得數(shù)列的通項(xiàng)為，，由得：，所以數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第28項(xiàng).故答案為：2816.已知P為上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)為M、N，若使得的點(diǎn)P有8個(gè)，則m的取值范圍是_______.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為線段與以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（除線段端點(diǎn)外）求解作答.【詳解】因過點(diǎn)P的圓O：的切線（M、N為切點(diǎn)），滿足，因此有，則有，點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓上，而點(diǎn)P在上，曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，圓與曲線都關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱，要符合條件的點(diǎn)P有8個(gè)，則線段與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（除線段端點(diǎn)外），于是得點(diǎn)都在圓外，且直線與圓相交，因此，而，解得，所以m的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：曲線C的方程為，(1)如果，則曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)如果，則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)如果，則曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

10四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.過點(diǎn)作直線，使它被兩直線和所截得的線段恰好被M所平分，求此直線的方程.【答案】x＋4y－4＝0.【解析】【詳解】(解法1)由于過點(diǎn)M(0，1)且與x軸垂直的直線顯然不合題意，故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，與已知兩條直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組xA＝，xB＝，∵點(diǎn)M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直線方程為x＋4y－4＝0.(解法2)設(shè)所求的直線與已知兩條直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn)，∵點(diǎn)B在直線l2：2x＋y－8＝0上，∴設(shè)B(t，8－2t)，由于M(0，1)是線段AB的中點(diǎn)，∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得A(－t，2t－6)，而A點(diǎn)在直線l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．故所求直線方程為x＋4y－4＝0.18.已知數(shù)列滿足，設(shè)．（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）數(shù)列是等差數(shù)列,理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得，即，即可作出判斷；（2）利用（1）的結(jié)論，可求得的表達(dá)式，繼而利用求得答案.【小問1詳解】由可得：，故由可知，，故數(shù)列為等差數(shù)列；

11【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，故，即，由于是數(shù)列的前項(xiàng)和，故，當(dāng)時(shí)，，適合上式，故.19.已知圓C：.（1）若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；（2）從圓C外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先由配方法求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心，半徑為，再由題設(shè)條件設(shè)得直線l為，再利用相切得到關(guān)于的方程，從而求得直線l的一般式方程；（2）利用圓的切線長(zhǎng)的性質(zhì)及，得到，再利用兩點(diǎn)距離公式代入化簡(jiǎn)，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程.【小問1詳解】由配方得，所以圓C的圓心，半徑為，因?yàn)橹本€l在x軸，y軸上的截距相等，所以設(shè)直線l為，即，則由直線l與圓C相切得，解得或，∴直線l的方程為或.【小問2詳解】

12由圓上切點(diǎn)的性質(zhì)知，又因?yàn)?，所以，所以，整理得，故點(diǎn)P的軌跡方程為.20.給出下列條件：①焦點(diǎn)在軸上；②焦點(diǎn)在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于；④拋物線的準(zhǔn)線方程是.（1）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線：從以上四個(gè)條件中選出兩個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線的方程是，并說明理由；（2）過點(diǎn)的任意一條直線與交于，不同兩點(diǎn)，試探究是否總有？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總有，證明見解析【解析】【分析】（1）通過焦點(diǎn)位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不適合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；（2）假設(shè)總有，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在軸上，所以條件①適合，條件②不適合.又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為：，所以條件④不適合題意，當(dāng)選擇條件③時(shí)，，此時(shí)適合題意，故選擇條件①③時(shí)，可得拋物線的方程是；（2）假設(shè)總有，由題意得直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，

13由得設(shè)，所以恒成立，，，則，所以，所以，綜上所述，無論如何變化，總有.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.21.已知雙曲線:,直線:,,為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),與雙曲線的一條漸近線平行且過其中一個(gè)焦點(diǎn)．（1）求雙曲線方程;（2）設(shè)與的交點(diǎn)為,求的角平分線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依題意,雙曲線的漸近線方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,即可求雙曲線的方程;(2)設(shè)與的交點(diǎn)為,求出的坐標(biāo),利用夾角公式,即可求的角平分線所在直線的方程．【詳解】(1)與雙曲線的一條漸近線平行且過其中一個(gè)焦點(diǎn)雙曲線的漸近線方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,雙曲線方程為；(2)聯(lián)立雙曲線和直線得:解得:故

14顯然的角平分線所在直線斜率存在,且,,,根據(jù)角分線性質(zhì)可得:,解得為所求．即:【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程和角平分線所在直線的方程.解題關(guān)鍵掌握雙曲線方程幾何性質(zhì)和角分線性質(zhì),考查了分析能力和計(jì)算能力.22.已知橢圓（）右焦點(diǎn)為，是C上一點(diǎn)，點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，且交橢圓C于點(diǎn)D，E，證明：直線AD與BE的斜率乘積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，據(jù)此算出c，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可算出a，b；(2)根據(jù)條件設(shè)定直線DE的方程，，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求出D，E坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)其中，則，即，又點(diǎn)在曲線C上，所以，將代入，整理得，解得，或（舍），所以，

15所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】由題意，，，設(shè)，，直線方程為：，，聯(lián)立直線DE與橢圓方程，消去y得，，當(dāng)，即且時(shí)，，，，所以，即是定值；綜上，橢圓方程為：.

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