《上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)Word版含解析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

2020-2021學(xué)年上海市復(fù)旦附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題）.1．不等式＜1的解集為　　．2．設(shè)集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，則A∩B＝　?。?．若，則＝　?。?．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z＝　　．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k存在兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是　?。?．已知某圓錐的體積是12π，底面半徑等于3，則該圓錐的側(cè)面積為　?。?．x（x﹣2）5展開式中的x4項的系數(shù)為　?。?．5名志愿者進入3個不同的場館參加工作，則每個場館至少有一名志愿者的概率為　?。?．若數(shù)列{an}的通項公式，則＝　?。?0．已知數(shù)列{an}的前n項和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an對任意n∈N*恒成立，則λ的取值范圍為　?。?1．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為　　．12．若關(guān)于x的不等式的解集為R，且存在實數(shù)x0，使得，則a的取值集合為　?。?、選擇題13．下列命題中，錯誤的是（　?。〢．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交B．平行于同一平面的兩個不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．若直線l不平行平面α，則在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線14．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積（單位：cm）為（　?。?/p>

1A．32B．36C．40D．4815．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量為＝（1，1）的直線與C交于兩點A、B，若線段AB的中點為（4，1），則雙曲線C的漸近線方程是（　?。〢．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝016．已知數(shù)列{an}的通項公式為，a5是數(shù)列{an}的最小項，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。〢．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]三、解答題17．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sincos的取值范圍．18．在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入80元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入G（x）（萬元）與年產(chǎn)量x（萬臺）滿足如下關(guān)系式：．（1）寫出年利潤W（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤＝銷售收入﹣成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．19．在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

220．已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）＝b恒成立，則稱f（x）為“J﹣函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)f1（x）＝x，是否是“J﹣函數(shù)”；（2）若g（x）＝tanx是一個“J﹣函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b）；（3）若定義域為R的函數(shù)f（x）是“J﹣函數(shù)”，且存在滿足條件的有實數(shù)對（0，1）和（1，4），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當(dāng)x∈[﹣2020，2020]時，函數(shù)f（x）的值域．21．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍；（3）若（n∈N*），從數(shù)列{cn}中抽出部分項（奇數(shù)項與偶數(shù)項均不少于兩項），將抽出的項按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列．當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，求所有滿足條件的等差數(shù)列．

3參考答案一、填空題1．不等式＜1的解集為?。ī仭蓿龋?，+∞）　．解：不等式＜1，即＞0，即（x﹣6）（2x﹣3）＞0，求得x＜或x＞6，故答案為：（﹣∞，）∪（6，+∞）．2．設(shè)集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，則A∩B＝　?。猓阂驗榧螦＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝，x∈R}＝{x|}，所以A∩B＝．故答案為：．3．若，則＝　　．解：∵，∴sinx＝﹣3cosx，tanx＝﹣3，∴＝﹣sinx?cosx＝＝．故答案為：．4．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z＝　1+2i?。猓涸O(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則＝a﹣bi，代入得2（a+bi）+a﹣bi＝3+2i，即3a+bi＝3+2i，∴a＝1且b＝2．∴z＝1+2i．故答案為：1+2i．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k存在兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是　（0，1]　．解：由g（x）＝f（x）﹣k＝0，得f（x）＝k令y＝k與y＝f（x），作出函數(shù)y＝k與y＝f（x）的圖象如圖：

4當(dāng)x≤0時，0＜f（x）≤1，當(dāng)x＞0時，f（x）∈R，∴要使函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k存在兩個零點，則k∈（0，1]．故答案為：（0，1]．6．已知某圓錐的體積是12π，底面半徑等于3，則該圓錐的側(cè)面積為　15π?。猓涸O(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，則，解得h＝4，所以，故圓錐的側(cè)面積為＝15π．故答案為：15π．7．x（x﹣2）5展開式中的x4項的系數(shù)為　40?。猓骸撸▁﹣2）5展開式中的通項公式為Tr+1＝?（﹣2）r?x5﹣r，∴x（x﹣2）5展開式中的通項公式為Tr+1＝x??（﹣2）r?x5﹣r＝（﹣2）r??x6﹣r，令6﹣r＝4，求得r＝2，∴x4項的系數(shù)為?（﹣2）2＝40，故答案為：40．8．5名志愿者進入3個不同的場館參加工作，則每個場館至少有一名志愿者的概率為　?。猓?名志愿者進入3個不同的場館的方法數(shù)為35＝243種，每個場館至少有一名志愿者的情況可分兩類考慮：第一類，一個場館去3人，剩下兩場館各去1人，此類的方法數(shù)為＝3×10×2＝60種；第2類，1個場館去1人，

5剩下兩場館各2人，此類的方法數(shù)為＝90種，所以每個場館至少有一名志愿者的概率為P＝＝．故答案為：．9．若數(shù)列{an}的通項公式，則＝　?。猓簲?shù)列{an}的通項公式，可得Sn＝2+4+＝6+（1﹣），＝[6+（1﹣）]＝6+＝．故答案為：．10．已知數(shù)列{an}的前n項和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an對任意n∈N*恒成立，則λ的取值范圍為?。ī仭?，）　．解：當(dāng)n＝1時，有，得a1＝4，當(dāng)n≥2時，，，兩式相減得，即，∴＝，又，∴數(shù)列{}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．∴，則，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an等價于5?λ＞＝，

6記，n≥2時，，∴當(dāng)n≥3時，＜1，則，∴5?λ＞，即λ＜5?，∴λ的取值范圍是：（﹣∞，）．故答案為：（﹣∞，）．11．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為　a≠0且a≠1?。猓寒?dāng)0＜x＜1時，＜0，|a﹣|≥0恒成立，此時a∈R；當(dāng)x＝0或1時，＝0，|a﹣|＞0恒成立，只需a﹣≠0，可得a≠0且a≠1．綜上可得，a的取值范圍是a≠0且a≠1．故答案為：a≠0且a≠1．12．若關(guān)于x的不等式的解集為R，且存在實數(shù)x0，使得，則a的取值集合為　　．解：由題意可得，f（x）＝|x+1|+|ax+1|的最小值為，∵f（x）的圖像是一條折線，∴f（x）的最小值在折點處，即滿足x+1＝0或ax+1＝0，函數(shù)f（x）才可能取到最小值，當(dāng)a＝0時，f（x）＝|x+1|+1≥1，當(dāng)x＝﹣1時，f（x）的最小值為1，故a≠0，①當(dāng)x＝﹣1時，則|﹣a+1|＝，解得a＝或，∴f（x）＝或，∵f（x）的最小值為，∴，②當(dāng)x＝時，則，解得a＝﹣2或，

7∴或，∴a＝﹣2，綜上所述，a的取值集合為{}．故答案為：{}．二、選擇題13．下列命題中，錯誤的是（　?。〢．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交B．平行于同一平面的兩個不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．若直線l不平行平面α，則在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線解：由直線與平面相交的性質(zhì)，知一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交，故A正確；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的兩個不同平面平行，故B正確；由直線與平面垂直的判定定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β，故C正確；若直線l不平行平面α，則當(dāng)l?α?xí)r，在平面α內(nèi)存在與l平行的直線，故D不正確．故選：D．14．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積（單位：cm）為（　?。〢．32B．36C．40D．48解：由三視圖還原原幾何體如圖，

8該幾何體為三棱錐，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．則BC⊥PC．∴該幾何體的表面積S＝．故選：A．15．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量為＝（1，1）的直線與C交于兩點A、B，若線段AB的中點為（4，1），則雙曲線C的漸近線方程是（　?。〢．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0解：設(shè)方向向量為＝（1，1）的直線方程為y＝x+m，聯(lián)立，消去y，得：（b2﹣a2）x2﹣2a2mx﹣a2m2﹣a2b2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵線段AB的中點為（4，1），∴x1+x2＝＝8，y1+y2＝8+2m＝2，解得m＝﹣3，∴，∴a＝2b，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝x，即x±2y＝0．故選：B．16．已知數(shù)列{an}的通項公式為，a5是數(shù)列{an}的最小項，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

9A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]解：由條件有對任意的n∈N*，由an≥a5恒成立，即，整理得．當(dāng)n≤4時，不等式化簡為a≥5n（n﹣6）恒成立，所以a≥﹣25；當(dāng)n≥6時，不等式化簡為a≤5n（n﹣6）恒成立，所以a≤0；綜上：﹣25≤a≤0．故選：D．三、解答題17．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sincos的取值范圍．解：（1）由＝．得＝．即2sinAcosB＝sin（B+C），即2sinAcosB＝sinA，又A為三角形內(nèi)角，∴sinA≠0，所以cosB＝，從而B＝；（2）cos2﹣sincos＝﹣＝，＝，＝+，∵，∴，所以cos2﹣sincos的取值范圍為（）．18．在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入80元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入G（x）（萬元）與年產(chǎn)量x（萬臺）滿足如下關(guān)系式：

10．（1）寫出年利潤W（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤＝銷售收入﹣成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．解：（1）．（2）當(dāng)0＜x?20時，W（x）＝﹣2x2+100x﹣50＝﹣2（x﹣25）2+1200，∴W（x）max＝W（20）＝1150，當(dāng)x＞20時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝29時等號成立，∴W（x）＝W（29）＝1360，∵1360＞1150，當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺時，該公司獲得的利潤最大為1360萬元．19．在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．解：（1）在四棱錐P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝BOtan60°＝，而底面菱形的面積為2．∴四棱錐P﹣ABCD的體積V＝×2×＝2．（2）解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．

11在Rt△AOB中OA＝，于是，點A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中點，則E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．設(shè)與的夾角為θ，有cosθ＝，θ＝arccos，∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中點F，連接EF、DF．由E是PB的中點，得EF∥PA，∴∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角），在Rt△AOB中AO＝ABcos30°＝＝OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA＝，則EF＝．在正△ABD和正△PBD中，DE＝DF＝，cos∠FED＝＝∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos．

1220．已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）＝b恒成立，則稱f（x）為“J﹣函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)f1（x）＝x，是否是“J﹣函數(shù)”；（2）若g（x）＝tanx是一個“J﹣函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b）；（3）若定義域為R的函數(shù)f（x）是“J﹣函數(shù)”，且存在滿足條件的有實數(shù)對（0，1）和（1，4），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當(dāng)x∈[﹣2020，2020]時，函數(shù)f（x）的值域．解：（1）函數(shù)f1（x）＝x，因為（a﹣x）（a+x）＝a2﹣x2＝b不可能恒成立，故f1（x）不是“J﹣函數(shù)”；函數(shù)，因為2a﹣x?2a+x＝22a＝b恒成立，故f2（x）是“J﹣函數(shù)”；（2）因為g（x）＝tanx是一個“J﹣函數(shù)”，所以g（a+x）g（a﹣x）＝＝恒成立，則tana＝±1，解得，又b＝1，故所有的有序?qū)崝?shù)對為；（3）由題意，f（x）f（﹣x）＝1，f（1+x）f（1﹣x）＝4，故f（x+1）＝，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，故x∈[﹣1，0]時，f（x）的值域為[，1]，所以x∈[﹣1，1]時，f（x）的值域為[，2]，故x∈[1，3]時，f（x）的值域為[2，8]，x∈[3，5]時，f（x）的值域為[23，25]，x∈[﹣3，﹣1]時，f（x）的值域為[2﹣3，2﹣1]，

13x∈[﹣5，﹣3]時，f（x）的值域為[2﹣5，2﹣3]，以此類推，可得當(dāng)x∈[﹣2020，2020]時，函數(shù)f（x）的值域為[2﹣2020，22020]．21．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍；（3）若（n∈N*），從數(shù)列{cn}中抽出部分項（奇數(shù)項與偶數(shù)項均不少于兩項），將抽出的項按照某一順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列．當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，求所有滿足條件的等差數(shù)列．解：（1）當(dāng)n＝1時，由得，，得a1＝1，當(dāng)n≥2時，由得，，兩式相減得，，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，∵數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，∴an﹣an﹣1＝2，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴＝，∴＝＝，令，則＝，∴f（n）是單調(diào)遞增函數(shù)，數(shù)列{Tn}遞增，∴，又，

14∴Tn的取值范圍為；（3），設(shè)奇數(shù)項取了s項，偶數(shù)項取了k項，其中s，k∈N+，s≥2，k≥2，因為數(shù)列{cn}的奇數(shù)項均為奇數(shù)，偶數(shù)項均為偶數(shù)，因此，若抽出的項按照某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列中相等的項必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，假設(shè)抽出的數(shù)列中有三個偶數(shù)，則每兩個相鄰偶數(shù)的等差中項為奇數(shù)，設(shè)抽出的三個偶數(shù)從小到大依次為2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），則為奇數(shù)，而i≥1，j≥2，則2j﹣1為偶數(shù)，2i﹣1為奇數(shù)，所以i＝1，又為奇數(shù)，而j≥2，p≥3，則2j﹣1，2p﹣1均為偶數(shù)，矛盾，又∵k≥2，∴k＝2，即偶數(shù)項只有兩項，則奇數(shù)項最多有3項，即s+k的最大值為5，設(shè)此等差數(shù)列為d1，d2，d3，d4，d5，則d1，d3，d5為奇數(shù)，d2，d4為偶數(shù)，且d2＝2，由d1+d3＝2d2＝4得d1＝1，d3＝3，此數(shù)列為1，2，3，4，5．同理，若從大到小排列，此數(shù)列為5，4，3，2，1．綜上，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，滿足條件的數(shù)列為1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．