《廣東省韶關(guān)市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)Word版含解析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

2020-2021學(xué)年廣東省韶關(guān)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，那么（?UA）∩B＝（　?。〢．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣∞，1）2．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z（1+i）＝i，則|z|＝（　　）A．B．C．1D．3．“α是三角形的內(nèi)角”是“sinα＞0”的（　?。〢．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．如圖，在直角三角形AOB中，OA＝1，C為邊AB上一點(diǎn)，且AB＝4AC，則?＝（　?。〢．B．﹣C．D．﹣5．已知α是第一象限，滿足，則cos2α＝（　?。〢．B．﹣C．D．±6．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，則S5＝（　　）A．或5B．或5C．D．7．已知某物種經(jīng)過(guò)x年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：，當(dāng)x＝0時(shí)，y的值表示2021年年初的種群數(shù)量．若t（t∈N*）年后，該物種的種群數(shù)量不超過(guò)2021年初種群數(shù)量的，則t的最小值為（　?。▍⒖贾担簂n2≈0.693）A．6B．7C．8D．98．已知函數(shù)f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　?。〢．B．

1C．D．二、多項(xiàng)選擇題：木題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．某學(xué)校為研究高三800名學(xué)生的考試成績(jī)，在高三的第一次模擬考試中隨機(jī)抽取100名高三學(xué)生的化學(xué)成績(jī)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），把頻率看作概率，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（　?。〢．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80）的人數(shù)為360B．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)平均分為71C．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是D．從高三學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中3人成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的概率為10．已知函數(shù)f（x）＝的最小正周期為，則（　?。〢．函數(shù)f（x+）為奇函數(shù)B．函數(shù)f（x）在[，]上單調(diào)遞增C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝﹣cos3x的圖象11．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝，∠ADC＝，E為CD中點(diǎn)，將△DAE沿AE折起，使D點(diǎn)到達(dá)P的位置（點(diǎn)P不在平面ABCE內(nèi)），連結(jié)PB，PC（如圖2），則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（　　）

2A．BC∥平面PAEB．PB⊥AEC．存在某個(gè)位置，使PC⊥平面PAED．PB與平面ABCE所成角的最大值為12．已知M（1，﹣3），過(guò)拋物線C：y2＝4x焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．過(guò)M與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條B．|PM|與P到拋物線C的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3C．若|AF|，|OM|，|BF|成等比數(shù)列，則|AB|＝10D．拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線互相垂直三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為　?。?4．已知C（m，0），若以C為圓心的圓C與直線3x+y﹣1＝0相切于點(diǎn)T（1，n），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是　?。?5．已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　，若點(diǎn)A在橢圓＝2（m＞0，n＞0）上，則m+n的最小值為　?。?6．已知三棱錐P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝4，平面PAC⊥平面ABC、若三棱錐P﹣ABC的外接球面積為68π，則三棱錐P﹣ABC的體積最大值為　?。摹⒔獯痤}：本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}，若_____．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．從下列個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解．①a1+a2+a3+…+an＝n2；

3②a1＝1，a4＝7，2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）；③a1＝1，點(diǎn)A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直線上．18．已知△ABC中，AB＝AC＝4，sinA＝，內(nèi)角A為銳角，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD．（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）求△BDC的面積．19．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠BCD＝60°，CDEF是直角梯形，EF∥CD，ED⊥CD，且EF＝ED＝2．（1）求證：AC⊥BE；（2）求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值．20．某校為了提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、本學(xué)期初開始動(dòng)員學(xué)生利用課外時(shí)間閱讀科普讀物、為了了解學(xué)生平均每周課外閱讀科普讀物所花的時(shí)間、學(xué)期末該校通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法收集了20名學(xué)生平均每周課外閱讀的時(shí)間（分鐘）的數(shù)據(jù)、得到如表統(tǒng)計(jì)表（設(shè)x表示閱讀時(shí)間，單位：分鐘）組別時(shí)間分組頻數(shù)男生人數(shù)女生人數(shù)130≤x＜60211260≤x＜901046390≤x＜1204314120≤x＜1502115150≤x＜180220（1）完成下面的2×2列聯(lián)表、并回答能有90%的把認(rèn)為“平均每周至少閱讀120分鐘與性別有關(guān)”？

4平均每周閱讀時(shí)間不少于120分鐘平均每周閱讀時(shí)間少于120分鐘合計(jì)男女合計(jì)附：．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）為了選出1名選手代表學(xué)校參加全市中小學(xué)生科普知識(shí)比賽，學(xué)校組織了考組對(duì)選手人選進(jìn)行考核，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩名學(xué)生成為進(jìn)入最后階段的備選選手．考核組設(shè)計(jì)了最終確定人選的方案：請(qǐng)甲、乙兩名學(xué)生從6道試題中隨機(jī)抽取3道試題作答，已知這6道試題中，甲可正確回答其中的4道題目，而乙能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩名學(xué)生對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．若從數(shù)學(xué)期望和方差的角度進(jìn)行分析，請(qǐng)問(wèn)：甲、乙中哪位學(xué)生最終入選的可能性更大？21．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝f（x）+x2．（1）若a＝2e，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥λx2恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

5參考答案一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，那么（?UA）∩B＝（　?。〢．（﹣1，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣∞，1）解：全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣1）＞0}＝{x|x＜0或x＞1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴?UA＝{x|0≤x≤1}，∴（?UA）∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．故選：C．2．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z（1+i）＝i，則|z|＝（　?。〢．B．C．1D．解：∵復(fù)數(shù)z（1+i）＝i，∴z＝＝＝+i，則|z|＝＝．故選：B．3．“α是三角形的內(nèi)角”是“sinα＞0”的（　?。〢．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解：①若α是三角形的內(nèi)角，則α∈（0°，180°），∴sinα＞0，故充分性成立，②若sinα＞0，可得0°+k?360°＜α＜180°+k?360°，（k∈Z），故必要性不成立，綜上所述，p是條件q的充分不必要條件．故選：A．4．如圖，在直角三角形AOB中，OA＝1，C為邊AB上一點(diǎn)，且AB＝4AC，則?＝（　?。?/p>

6A．B．﹣C．D．﹣解：∵OA＝1，AB＝4AC，且OA⊥OB，∴?＝＝＝．故選：D．5．已知α是第一象限，滿足，則cos2α＝（　?。〢．B．﹣C．D．±解：∵，∴cos（）＝，∵α是第一象限，∴是第二象限角，則sin（）＝，∴cos2α＝sin（2α+）＝2sin（α+）cos（α+）＝2×＝．故選：B．6．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，則S5＝（　　）A．或5B．或5C．D．解：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，3a1+2a2＝4，9S3＝8S6，∴當(dāng)公比q＝1時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)公比q≠1時(shí)，，解得a1＝1，q＝，

7∴S5＝＝．故選：C．7．已知某物種經(jīng)過(guò)x年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：，當(dāng)x＝0時(shí)，y的值表示2021年年初的種群數(shù)量．若t（t∈N*）年后，該物種的種群數(shù)量不超過(guò)2021年初種群數(shù)量的，則t的最小值為（　?。▍⒖贾担簂n2≈0.693）A．6B．7C．8D．9解：由題意可知，，∴，即k?，∴，即．故選：B．8．已知函數(shù)f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）A．B．C．D．解：函數(shù)f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)根，也就是函數(shù)y＝與y＝ax+1的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝＝，y′＝，設(shè)直線y＝ax+1與切于（），則曲線y＝在切點(diǎn)處的切線方程為y﹣＝（x﹣x0），

8把（0，1）代入，可得，解得x0＝4，則直線y＝ax+1與y＝相切時(shí)的切線的斜率為a＝．結(jié)合圖象及對(duì)稱性可知，要使函數(shù)f（x）＝﹣ax﹣1在R上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：木題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．某學(xué)校為研究高三800名學(xué)生的考試成績(jī)，在高三的第一次模擬考試中隨機(jī)抽取100名高三學(xué)生的化學(xué)成績(jī)繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），把頻率看作概率，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（　?。〢．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80）的人數(shù)為360B．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)平均分為71C．估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是D．從高三學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中3人成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的概率為解：對(duì)于A，本次測(cè)試化學(xué)分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80）的頻率為：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝0.3，∴估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，80）的人數(shù)為800×0.3＝240人，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)平均分為：＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，故B正確；對(duì)于C，[40，70）的頻率為：（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，[70，80）的頻率為：0.3，∴估計(jì)該校本次測(cè)試化學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是：70+＝，故C正確；

9對(duì)于D，成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的頻率為0.25＝，∴從高三學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，其中3人成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的概率為：P＝＝，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10．已知函數(shù)f（x）＝的最小正周期為，則（　?。〢．函數(shù)f（x+）為奇函數(shù)B．函數(shù)f（x）在[，]上單調(diào)遞增C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝﹣cos3x的圖象解：函數(shù)f（x）＝的最小正周期為＝，∴ω＝3，f（x）＝sin（3x﹣）．故函數(shù)f（x+）＝sin3x為奇函數(shù)，故A正確；在[，]上，3x﹣∈[0，]，函數(shù)f（x）沒(méi)有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；令x＝，求得f（x）＝1，為最大值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故C正確；函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（3x﹣π）＝﹣sinx的圖象，故D錯(cuò)誤，故選：AC．11．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DA＝AB＝BC＝，∠ADC＝，E為CD中點(diǎn)，將△DAE沿AE折起，使D點(diǎn)到達(dá)P的位置（點(diǎn)P不在平面ABCE內(nèi)），連結(jié)PB，PC（如圖2），則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．BC∥平面PAEB．PB⊥AE

10C．存在某個(gè)位置，使PC⊥平面PAED．PB與平面ABCE所成角的最大值為解：∵AB＝CD，E為CD中點(diǎn)，∴AB＝CE，∵AB∥CE，所以四邊形ABCE為平行四邊形，所以BC∥AE，因?yàn)锽C?平面PAE，AE?平面PAE，所以BC∥平面PAE，故A正確；連接BE，取AE中點(diǎn)O，連接PO，BO，由PO⊥AE，BO⊥AE，∵PO∩BO＝O，PO，BO?平面POB，∴AE⊥平面POB，∵PB?平面POB，∴AE⊥PB，故B正確；若PC⊥平面PAE，則PC⊥PE，在Rt△PEC中，必有EC＞PE，與EC＝PE矛盾，故C錯(cuò)誤；∠PBO為直線PB與平面ABCE所成的角，顯然∠PBO∈（0，），故D錯(cuò)誤；故選：AB．12．已知M（1，﹣3），過(guò)拋物線C：y2＝4x焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（　?。〢．過(guò)M與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條B．|PM|與P到拋物線C的準(zhǔn)線距離之和的最小值為3C．若|AF|，|OM|，|BF|成等比數(shù)列，則|AB|＝10D．拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線互相垂直解：過(guò)M與拋物線C相切的直線由兩條，y＝﹣3與拋物線C相交且有一個(gè)公共點(diǎn)，共3條，故A錯(cuò)誤；F（1，0），|PM|與P到拋物線C的準(zhǔn)線距離之和等于|PM|+|PF|≥|MF|＝3，故B正確；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線BA的方程為x＝my+1，代入拋物線的方程可得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，因?yàn)閨AF||BF|＝（x1+1）（x2＝1）＝x1x2+x1+x2+1＝x1+x2+2＝|OM|2＝10，

11所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝10，故C正確；不妨設(shè)y2＜0＜y1，由y＝2得y′＝，由y＝﹣2得y′＝﹣，所以拋物線C在A處的切線的斜率為，在B處的切線的斜率為﹣，因?yàn)?（﹣）＝﹣＝﹣1，所以兩條切線相互垂直，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為　20?。猓赫归_式的通項(xiàng)為Tr+1＝C6rx6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T4＝C63＝20故答案為2014．已知C（m，0），若以C為圓心的圓C與直線3x+y﹣1＝0相切于點(diǎn)T（1，n），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是?。▁﹣7）2+y2＝40．?。猓焊鶕?jù)題意，圓C與直線3x+y﹣1＝0相切于點(diǎn)T（1，n），則T（1，n）在直線3x+y﹣1＝0上，則有3+n﹣1＝0，解可得n＝﹣2，又由圓心C的坐標(biāo)為（m，0），直線3x+y﹣1＝0的斜率為﹣3，則有＝，解可得m＝7，圓的半徑r＝|TC|＝＝，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣7）2+y2＝40；故答案為：（x﹣7）2+y2＝40．15．已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為?。?，1）　，若點(diǎn)A在橢圓＝2（m＞0，n＞0）上，則m+n的最小值為　?。猓簩?duì)于函數(shù)y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝1，可得它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（2，1）．

12若點(diǎn)A（2，1）在橢圓＝2（m＞0，n＞0）上，則+＝2，即+＝1，則m+n＝（m+n）?（+）＝++≥+2＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)，等號(hào)成立，故m+n的最小值為，故答案為：（2，1）；．16．已知三棱錐P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝4，平面PAC⊥平面ABC、若三棱錐P﹣ABC的外接球面積為68π，則三棱錐P﹣ABC的體積最大值為　?。猓喝鐖D，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、E，連接PE，則M為三角形ABC的外心，當(dāng)P到平面ABC的距離最大時(shí)，三棱錐P﹣ABC的體積最大，此時(shí)PE⊥AC，即PA＝PC，由平面PAC⊥平面ABC，得PE⊥平面ABC，設(shè)D為△PAC的外心，O為三棱錐P﹣ABC的外接球的球心，由球的性質(zhì)可知OD⊥平面ABC，OM⊥平面ABC，則四邊形OMED為矩形，由三棱錐P﹣ABC的外接球面積為68π，得OB＝OP＝，PD＝，OM＝DE＝，又PE＝PD+DE＝4，∴．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}，若_____．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

13（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．從下列個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解．①a1+a2+a3+…+an＝n2；②a1＝1，a4＝7，2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）；③a1＝1，點(diǎn)A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直線上．解：若選①，則（1）由a1+a2+a3+…+an＝n2，所以n≥2，a1+a2+a3+…+an﹣1＝（n﹣1）2，兩式相減可得：n≥2，an＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而在a1+a2+a3+…+an＝n2中令n＝1可得：a1＝1，符合上式，故an＝2n﹣1．（2）由（1）知：，所以Tn＝[（1﹣）+（﹣）+…+]＝＝．若選②，則（1）由2an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n≥2）可得：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又因?yàn)閍1＝1，a4＝7，所以a4﹣a1＝3d，即d＝2，所以an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（2）同上．若選③，則（1）由點(diǎn)A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直線上得：，即an+1﹣an＝2，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列且an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（2）同上．18．已知△ABC中，AB＝AC＝4，sinA＝，內(nèi)角A為銳角，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD．（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）求△BDC的面積．解：（1）因?yàn)閟inA＝，內(nèi)角A為銳角，所以cosA＝＝，所以BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA＝42+42﹣2×4×4×＝4，可得BC＝2．（2）因?yàn)椋?，即＝?/p>

14所以sin∠ABC＝，所以sin∠CBD＝sin（π﹣∠ABC）＝，故S△BDC＝×2×2×＝．19．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠BCD＝60°，CDEF是直角梯形，EF∥CD，ED⊥CD，且EF＝ED＝2．（1）求證：AC⊥BE；（2）求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值．【解答】（1）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，ED⊥CD，∴ED⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，∴ED⊥AC，又BD∩ED＝D，BD、ED?平面BDE，∴AC⊥平面BDE，∵BE?平面BDE，∴AC⊥BE．（2）解：取AB的中點(diǎn)M，連接DM，∵ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠BCD＝60°，∴DM⊥AB，DM⊥AC，

15以D為原點(diǎn)，DM，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），F(xiàn)（0，2，2），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣2，2），設(shè)平面BCF的法向量為＝（x，y，z），則，即，令y＝，則x＝1，z＝，∴＝（1，，），同理可得，平面ADE的一個(gè)法向量為＝（1，，0），∴cos＜，＞＝＝＝，由圖知，平面ADE與平面BCF所成角為銳角，故平面ADE與平面BCF所成角的余弦值為．20．某校為了提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、本學(xué)期初開始動(dòng)員學(xué)生利用課外時(shí)間閱讀科普讀物、為了了解學(xué)生平均每周課外閱讀科普讀物所花的時(shí)間、學(xué)期末該校通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法收集了20名學(xué)生平均每周課外閱讀的時(shí)間（分鐘）的數(shù)據(jù)、得到如表統(tǒng)計(jì)表（設(shè)x表示閱讀時(shí)間，單位：分鐘）組別時(shí)間分組頻數(shù)男生人數(shù)女生人數(shù)130≤x＜60211260≤x＜901046390≤x＜1204314120≤x＜1502115150≤x＜180220（1）完成下面的2×2列聯(lián)表、并回答能有90%的把認(rèn)為“平均每周至少閱讀120分鐘與性別有關(guān)”？平均每周閱讀時(shí)間不少于120分鐘平均每周閱讀時(shí)間少于120分鐘合計(jì)男女合計(jì)

16附：．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）為了選出1名選手代表學(xué)校參加全市中小學(xué)生科普知識(shí)比賽，學(xué)校組織了考組對(duì)選手人選進(jìn)行考核，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩名學(xué)生成為進(jìn)入最后階段的備選選手．考核組設(shè)計(jì)了最終確定人選的方案：請(qǐng)甲、乙兩名學(xué)生從6道試題中隨機(jī)抽取3道試題作答，已知這6道試題中，甲可正確回答其中的4道題目，而乙能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩名學(xué)生對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．若從數(shù)學(xué)期望和方差的角度進(jìn)行分析，請(qǐng)問(wèn)：甲、乙中哪位學(xué)生最終入選的可能性更大？解：（1）由頻數(shù)分布表，可推得2×2列聯(lián)表：每周閱讀時(shí)間不少于120分鐘每周閱讀時(shí)間少于120分鐘總計(jì)男3811女189總計(jì)41620∵，∴沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“平均每周至少閱讀120分鐘與性別有關(guān)”．（2）設(shè)甲學(xué)生正確作答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列為：X123P∴E（X）＝，D（X）＝＝，設(shè)乙學(xué)生正確作答的題數(shù)為Y，Y～B（3，）則E（Y）＝3×，D（Y）＝3×＝，∵E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），

17∴甲學(xué)生入選的可能性更大．21．已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣2x，g（x）＝f（x）+x2．（1）若a＝2e，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥λx2恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解：（1）當(dāng)a＝2e時(shí)，f（x）＝2elnx﹣2x，所以f′（x）＝﹣2＝，x∈（0，+∞），令f′（x）＝0，得x＝e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）有最大值為f（e）＝2e﹣2e＝0．（2）因?yàn)間（x）＝x2﹣2x+alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）＝2x﹣2+＝，令g′（x）＝0?2x2﹣2x+a＝0，又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），所以2x2﹣2x+a＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2），所以Δ＞0?0＜a＜，且x1+x2＝1，a＝2x1﹣2x12，從而0＜x1＜＜x2＜1，由不等式g（x1）≥λx2恒成立，所以λ≤＝恒成立，又＝＝（1﹣x1）﹣+2x1lnx1，令h（t）＝1﹣t﹣+2tlnt（0＜t＜），所以h′（t）＝1﹣+2lnt＜0，當(dāng)0＜t＜時(shí)恒成立，所以函數(shù)h（t）在（0，）上單調(diào)遞減，所以h（t）＞h（）＝﹣﹣ln2，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（﹣∞，﹣﹣ln2]．

18