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邢臺市2022~2023學年高二（上）教學質(zhì)量檢測數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．2．已知等比數(shù)列的前n項和為n，若，則（）A．3B．1C．D．3．在平行六面體中，，則（）A．B．C．D．4．某地全域旅游地圖如圖所示，它的外輪廓線是橢圓，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得該橢圓的焦距為（）A．B．C．D．5．在長方體中，，，則（）A．3B．13C．4D．96．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個簡單的圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律（小正方形的擺放規(guī)律相同）擺放，設第n個圖形包含個小正方形，則（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

1A．192B．181C．175D．2037．已知點，拋物線的焦點為F，射線與拋物線C相交于點M，與其準線交于點N，若，則（）A．1B．2C．D．38．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式．所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，數(shù)列1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列．已知數(shù)列，，，且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．數(shù)列為二階等差數(shù)列B．C．數(shù)列為二階等差數(shù)列D．數(shù)列的前n項和為二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知的圓心在直線上，且過點，，直線，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的方程為B．圓心O到直線l的距離的最大值為C．若直線l與相切，則或D．若直線l被所截得的弦長為4，則10．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，M為PD的中點，則（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

2A．直線CM與AD所成角的余弦值為B．C．D．點M到直線BC的距離為11．已知橢圓的右焦點為F，過F作x軸的垂線交橢圓C于點P（P在第一象限），直線OP（O是坐標原點）與橢圓C另交于點A，直線AF與橢圓C另交于點B，若，直線PA，PB，AB的斜率分別記為，，，橢圓C的離心率為e，則（）A．B．C．D．12．若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)．對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，被稱為歐拉函數(shù)，例如，，，則（）A．，，成等差數(shù)列B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列的前n項和為，則存在，使成立D．數(shù)列的前n項和為，則對任意，恒成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______．14．已知平面的一個法向量為，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為______．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

315．在數(shù)列中，，，若，則M的一個值可能是______．16．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，，，P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為______；若點Q為拋物線上的動點，拋物線C的焦點為F，則的最小值為______．（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知拋物線，直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，O是坐標原點．（1）證明：直線AB過定點．（2）求面積的最小值．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，已知，，．（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知是數(shù)列的前n項和，，，的等差中項為．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．20．（12分）如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，E為學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

4的中點，過，D，E的平面交于點F．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知遞增數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．22．（12分）已知，，動點滿足直線與的斜率之積為3．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過原點O作直線l，直線l被曲線C截得的弦長為，將直線l向左、右分別平移2個單位長度得到直線，，且直線，被曲線C截得的弦長分別為，，證明：．邢臺市2022～2023學年高二（上）教學質(zhì)量檢測數(shù)學參考答案1．B設雙曲線C的一個焦點為，因為雙曲線C的漸近線為，所以．因為，所以，，所以雙曲線C的離心率為．2．D因為，所以．因為為等比數(shù)列，所以，所以．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

53．A因為，所以得，所以．4．C由圖可知長軸長為，短軸長為，所以，，故焦距為．5．D因為，所以．6．B觀察可知，，，，，所以可推出，故．7．D過M作C的準線的垂線，垂足為K（圖略）．則，因為，所以，所以直線的斜率為，由，得．8．C因為，所以，所以是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為二階等差數(shù)列，故A正確；因為，所以，故B正確；因為，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

6所以不是二階等差數(shù)列，故C錯誤；數(shù)列的前項和，所以，故D正確．9．AC因為的中點坐標為，所以直線的斜率，所以直線的垂直平分線的方程為，即．聯(lián)立方程組解得即圓心，半徑，所以的方程為，故A正確．因為直線l過定點，當直線時，圓心O到直線l的距離最大，且最大值為，故B錯誤．圓心到直線l的距離，當直線l與相切時，，解得或，故C正確．若直線l被所截得的弦長為4，則，解得或，故D錯誤．10．ABD過A作，垂足為E，則，以A為坐標原點，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．，，，，，．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

7因為，所以直線CM與AD所成角的余弦值為，故A正確．因為，所以B正確．因為，所以BM與PC不垂直，故C不正確．設點M到直線BC的距離為d，則，即點M到直線BC的距離為，故D正確．11．ABD易知，，，設．因為，所以．因為，所以．因為A，F(xiàn)，B共線，所以，所以，，，故A，B正確．因為，且，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

8所以，故C錯誤，D正確．12．ABD因為，，，所以A正確．因為2為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，所以．因為3為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個數(shù)為，所以，故B正確．因為，所以是等比數(shù)列，所以，故C錯誤．因為，所以，所以，兩式相減得，所以，故D正確．13．4046．14．因為，平面的一個法向量為，所以點P到平面的距離．15．1（或8或13或16，只需寫出一個答案即可）當時，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

9，所以，，，．16．；2設，則，即，化簡得．因為等于Q到拋物線準線的距離，所以的最小值為2．17．（1）證明：易知直線AB的斜率存在且不過原點，設直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組可得，則，．因為，所以，解得（舍去）或，所以直線的方程為，過定點．（2）解：由（1）知，所以當時，的面積取得最小值，且最小值為1，即面積的最小值為1．18．解：以為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

10（1）證明：因為，，所以，所以．（2）設平面的法向量為，因為，，所以令，得．因為，所以，即直線的一個方向向量為．設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19．解：（1）因為，的等差中項為，所以．當時，，，當時，，所以，所以．因為，所以（當時不滿足），所以（2）由（1）知所以．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

11因為，所以．20．（1）證明：連接，由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面．因為平面，且平面平面，所以．（2）解：由（1）知F為的中點，設．以A為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，之軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．設平面EFD的法向量為，因為，，所以令，得．設平面的法向量為，因為，，所以令，得．設二面角為，則為銳角，，所以二面角的余弦值為．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

1221．解：（1）因為，所以，．因為，所以，所以．因為，所以,所以．（2）因為，所以．當時，，當時，，所以，所以（當時也滿足）．因為，所以，兩式相減得學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

13，所以．22．（1）解：因為，，，所以，，所以，所以，即動點P的軌跡C的方程為．（2）證明：易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程組得，所以，，且．因為，所以．設，，直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，，所以．由對稱性可知，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

14所以，即．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司

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