《高中數(shù)學(xué)解題基本方法換元法及訓(xùn)練習(xí)題集》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

高中數(shù)學(xué)解題基本方法換元法及訓(xùn)練習(xí)題集解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα，α∈[0,

1]，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問(wèn)題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.設(shè)f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），則f(x)的值域是_______________。3.已知數(shù)列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項(xiàng)a＝___________。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋；

22小題：設(shè)x＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log4]；3小題：已知變形為－＝－1,設(shè)b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；4小題：設(shè)x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小題：設(shè)3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小題：設(shè)log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2

3此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻坑蒘＝x＋y，設(shè)x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，則xy＝±代入①式得：4S±5=5，移項(xiàng)平方整理得100t+39S－160S＋100＝0?！?9S－160S＋100≤0解得：≤S≤∴＋＝＋＝＝【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x＋y與三角公式cosα＋sinα＝1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值換元的思路，設(shè)x＝＋t、y＝－t，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。

4例2．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全國(guó)理）【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得；由“A＋C＝120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè)，再代入可求cosα即cos?！窘狻坑伞鰽BC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，設(shè)，代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝?！玖斫狻坑葾＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，設(shè)＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，兩式分別相加、相減得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，

5cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝?！咀ⅰ勘绢}兩種解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和積互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝y(tǒng),,－x例3.設(shè)a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

6【解】設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]t＝-時(shí)，取最小值：－2a－2a－當(dāng)2a≥時(shí)，t＝，取最大值：－2a＋2a－；當(dāng)0<2a≤時(shí)，t＝2a，取最大值：?！鄁(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為?！咀ⅰ看祟}屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4.設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）

7【分析】不等式中l(wèi)og、log、log三項(xiàng)有何聯(lián)系？進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法?！窘狻吭O(shè)log＝t，則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3－t）x＋2tx－2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：，解得∴t<0即log<00<<1，解得0

8【解】設(shè)＝＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：＋＝＝即：＋＝設(shè)＝t，則t＋＝,解得：t＝3或∴＝±或±【另解】由＝＝tgθ，將等式②兩邊同時(shí)除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，設(shè)tgθ＝t，則3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±?！咀ⅰ康谝环N解法由＝而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為＝，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgθ，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6.實(shí)數(shù)x、y滿足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范圍。

9【分析】由已知條件＋＝1，可以發(fā)現(xiàn)它與a＋b＝1有相似之處，于是實(shí)施三角換元。【解】由＋＝1，設(shè)＝cosθ，＝sinθ，即：代入不等式x＋y－k>0得：3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5時(shí)不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題（或者是解析幾何問(wèn)題）化為了含參三角不等式恒成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。

10yxx＋y－k>0k平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax＋by＋c>0(a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終位于平面上x(chóng)＋y－k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，方程組有相等的一組實(shí)數(shù)解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時(shí)原不等式恒成立。Ⅲ、鞏固性題組：1.已知f(x)＝lgx(x>0)，則f(4)的值為_(kāi)____。A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg42.函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]3.設(shè)等差數(shù)列{a}的公差d＝，且S＝145，則a＋a＋a＋……＋a的值為_(kāi)____。A.85B.72.5C.60D.52.54.已知x＋4y＝4x，則x＋y的范圍是_________________。

111.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則＋的范圍是____________。2.不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。3.函數(shù)y＝2x＋的值域是________________。4.在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。yDCABOx5.實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。6.已知矩形ABCD，頂點(diǎn)C(4,4)，A點(diǎn)在曲線x＋y＝2(x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。