《數(shù)值分析--數(shù)值積分與數(shù)值微分.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在PPT專區(qū)-天天文庫(kù)。

1、在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1引言來求定積分。前面公式雖然在理論上或在解決實(shí)際問題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題。因?yàn)槎ǚe分的計(jì)算常常會(huì)碰到以下三種情況:(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡(jiǎn)單的函數(shù),例如等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表

2、達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計(jì)算角度來看,計(jì)算量太大。如圖4.1,若用左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式同樣可得到右矩形公式圖4.1如圖4.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計(jì)算定積分的梯形公式(1―1)如圖4.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(或辛普生公式)(1―2)圖4.2圖4.3二、代數(shù)精度的概念三、插值型求積公式四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性2牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個(gè)既簡(jiǎn)單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),用φ(

3、x)代替被積函數(shù)f(x),于是有現(xiàn)用第2章介紹的插值多項(xiàng)式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即有取基點(diǎn)為等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b利用拉格朗日插值多項(xiàng)式(2―1)其中(2―2)這里yi=f(xi),對(duì)式(2―1)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)。令x=x0+sh,0≤s≤n(2―3)(2―4)(2―5)我們稱(2―6)稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時(shí),可算得此時(shí)式(2―5)為(2―7)這是梯形公式。當(dāng)n=2時(shí),可得于是(2―8)這是拋物線公式。當(dāng)n=3時(shí),代入(2―5)式得到求

4、積公式(2―9)類似地可分別求出n=4,5,…時(shí)的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果見表4―1。從表中可以看出,當(dāng)n≤7時(shí),柯特斯系數(shù)為正;從n≥8開始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n≥8時(shí),誤差有可能傳播擴(kuò)大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用?？绿厮瓜禂?shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足(2―10)事實(shí)上,式(2―5)對(duì)f(x)=1是準(zhǔn)確成立的。例1試分別用梯形公式和拋物線公式計(jì)算積分解利用梯形公式利用拋物線公式原積分的準(zhǔn)確值表4―12.2誤差估計(jì)現(xiàn)對(duì)牛頓―柯特斯求積公式所產(chǎn)生的誤差作一個(gè)分析。由式(2―4),牛

5、頓―柯特斯求積公式的余項(xiàng)為易知,牛頓―柯特斯求積公式(2―5)對(duì)任何不高于n次的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。這是因?yàn)閒(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡0一般說來,若某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≡0),而對(duì)于某一次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數(shù)精確度為m。牛頓―柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點(diǎn)個(gè)數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為由于ω1(x)=(x-a)

6、(x-b)證由式(2―4)知,梯形公式的余項(xiàng)為(2―11)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號(hào),f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理參見有關(guān)《數(shù)學(xué)分析》教材中“一元函數(shù)積分學(xué)第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式的誤差為(2―12)證由式(2―4)知§4.3復(fù)化求積公式4.3.1復(fù)合梯形公式對(duì)于定積分,將積分區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［xi,xi+1］,這里步長(zhǎng)在每一個(gè)子區(qū)間［xi,xi+1］上使用梯形公式,則相加后得(3―1)(3―

7、2)若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得因而于是得到復(fù)合梯形公式(3―3)其余項(xiàng)為例2若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解由余項(xiàng)(3―3)式則當(dāng)0＜x＜1時(shí),有因?yàn)橛止视捎谠e分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足兩邊取對(duì)數(shù)得整理后得到4.3.2復(fù)化拋物線（辛普森）公式類似復(fù)合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設(shè)每個(gè)子區(qū)間上的中點(diǎn)為x2i+1(i=0,1,…,n-1),

8、且在每一個(gè)子區(qū)間［x2i,x2i+2］上利用拋物線公式得(3―4)相加后得(3―5)圖5.4圖5.4若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復(fù)合拋物線公式(3