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1、遞推公式求函數(shù)的通項公式哈十四中數(shù)學(xué)組王麗娜教學(xué)目標(biāo)知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法；了解數(shù)列遞推公式的意義，會根據(jù)給出的遞推公式求出通項公式。重點難點熟練掌握已知遞推公式求函數(shù)通項公式的幾種基本形式，并能熟練的應(yīng)用到解題過程中。教學(xué)過程一．情境引入國王和農(nóng)夫打賭，農(nóng)夫贏了，按照事先的規(guī)定國王要按指數(shù)冪的情況送給農(nóng)夫麥粒，那么農(nóng)夫會得到多少麥粒呢？歸結(jié)成數(shù)學(xué)模型，這是一個數(shù)列數(shù)列{an}的通項公式是，依次用n=1,2,3,?,64代替公式中的n，就可以求出這個數(shù)列的各項。數(shù)列{an}還可以用如下方法給出：

2、第1個格子里的麥粒數(shù)是1，從第2個格子起，每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，也就是說，a1=1，an=2an-1(2≤n≤64)（參照教科書）由上面數(shù)列的第1項，根據(jù)項an與an-1間的關(guān)系式，可以得出這個數(shù)列的各項。如果已知數(shù)列｛an｝的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。二．例題1.已知數(shù)列｛an｝的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項。（參考教科書）解：2．已知，求．（疊

3、加法）解一：可以寫出：，，，，……觀察可得：解二：由題設(shè)：∴∴小結(jié)：遞推模型為an+1=an+f(n)可以用疊加法，如上述兩種解法。第一種解法只適合小題。如果是大題，第一種解法的基礎(chǔ)上應(yīng)該用數(shù)學(xué)歸納法證明。練一練：（2008全國）在數(shù)列｛an｝中，a1=1,，設(shè)bn=.求證：｛bn｝是等差數(shù)列。求an證明：=1.{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列。∴從而例3.已知，求．（疊乘法）解一：觀察可得：解二：由∴即∴∴小結(jié)：遞推模型為an+1=an.f(n)可以用采用疊加法，例4.已知數(shù)列｛an｝中，，.(

4、nN﹡)解：{}是以1為首項，為公差的等差數(shù)列。小結(jié)：遞推模型為，可以取倒數(shù)化為等差數(shù)列。練一練：例：（2004年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷理）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,（1）寫出數(shù)列的前3項a1,a2,a3;（1）求數(shù)列的通項公式（2）證明：對任意的整數(shù)，有這個題由Sn=2an+(-1)n與Sn-1=2an-1+(-1)n-1相減得：求出a2,a3，從表面看是由a1,a2,a3猜出通項an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.但是從a1,a2,a3或再求出a4,a5也很難猜想出

5、其通項公式，所以要讓學(xué)生單獨解決這個問題就很困難了。如果在解決這類問題之前，能夠有一些訓(xùn)練，可能就容易一些。例5.（2007年山東省模擬題）數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn.Sn.=2an-3n.(nN﹡)求｛an｝的通項公式。解：當(dāng)時，，與已知條件二式作差，得即。{}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列。小結(jié)：遞推模型可以通過待定系數(shù)法化為（an+1+）=c(an+),化為等比數(shù)列練一練：已知：a1=1,an=2an-1+1（1）求證：{an+1}是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列{an}的通項公式.解：（1）an=2a

6、n-1+1,an+1=2(an-1+1){an+1}是以a1+1=2為首項，以2位公比的等比數(shù)列.（1）由已知得：an=2n-1例6．已知數(shù)列｛an｝滿足，，(nN﹡)求a2010解：所以數(shù)列｛an｝以3為周期。a2010=0小結(jié)：｛an｝為周期數(shù)列，則周期為T(T為正整數(shù))時，,可將an轉(zhuǎn)化為a1,a2,……aT處理。五、練習(xí)：例7.（08年浙江模擬）在數(shù)列｛an｝中，已知a1=1,且當(dāng)時，則a3+a3等于()A.B.CD小結(jié)：an與前n-1項均有關(guān)。在例1中如果只給第2個問題，而沒有第1個問題，怎么辦

7、？你能不能想到把例1的遞推關(guān)系化成an+a=2(an-1+a)(1)的形式.例如：要把a(bǔ)n=2an-1+5化為an-a=2(an-1-a),還原回去，an=2an-1-a,對照得:a=-5,a+5=2(an-1+5)數(shù)列{an+5}是以a1+5=6為首項，以2為公比的等比數(shù)列.從而，已知型的遞推公式，求通項公式就可以解決了。解決的基本思想方法是，采用待定系數(shù)法。設(shè)an-a=p(an-1-a)，還原回去后求a，從而得數(shù)列{an-a}是以a1-a為首項,以p為公比的等比數(shù)列.逆向考慮這個問題。若an-2n是以

8、3為公比，以1為首項的等比數(shù)列，把它還原成遞推公式的形式是怎樣的?an-2n=3(an-1-2n-1).a1-21=1，也就是說已知a1=3,an=3an-1-2n-1,其中an=3an-1-2n-1可化為an-2n=3(an-1-2n-1),a1-21=1,數(shù)列{an-2n}是以a1-21=1為首項，以3為公比的等比數(shù)列.an-2n=3n-1an=3n-1+2n能不能用類比的方法，解決下面的問題：已知a1=1,an=2an-