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1、第二章數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行處理，除了傳統(tǒng)的時(shí)域分析之外，各種各樣的變換發(fā)揮了重要作用，從最熟悉的傅立葉（Fourier）變換，到現(xiàn)在的小波（wavelet）變換，以及主成分分析（principalcomponentanalysis），獨(dú)立成分分析（independentcomponentanalysis）和稀疏成分分析（sparsecomponentanalysis）。每一種變換都有其獨(dú)特的視野，為信號(hào)的分析處理提供了不同的思路。這里我們將介紹最基本的一種變換，在線性時(shí)不變系統(tǒng)中廣泛使用的傅立葉變換以及頻譜分析，本章還是以離散數(shù)據(jù)為主，介紹離散

2、傅立葉變換（DFT）的有關(guān)知識(shí)。第一節(jié)傅立葉變換及其意義（FourierTransform）傅立葉分析方法的建立有過一段漫長(zhǎng)的歷史，涉及到很多人的工作和不同物理現(xiàn)象的研究。在近代歐拉、伯努利、傅立葉、狄里赫利等學(xué)者的努力完善下，建立了傅立葉分析方法，他們主要是集中在連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分析問題上。與此同時(shí)，對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析方法卻有著不同的發(fā)展過程，用于處理離散數(shù)據(jù)以產(chǎn)生數(shù)值近似的有關(guān)內(nèi)插、積分和微分等方面的公式早在17世紀(jì)的牛頓時(shí)代就被研究過，從事時(shí)間序列的研究曾吸引了18、19世紀(jì)包括高斯在內(nèi)的許多著名科學(xué)家，從而為離散傅立葉變換提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在2

3、0世紀(jì)60年代中期，庫(kù)利（Cooley）和圖基（Tukey）獨(dú)立發(fā)表了一篇論文，也就是快速傅立葉變換算法（FFT）。FFT是非常高效的算法，使得計(jì)算變換所需要的時(shí)間減少了幾個(gè)數(shù)量級(jí)，由于計(jì)算機(jī)速度的迅速提高，越來(lái)越多的連續(xù)時(shí)間信號(hào)被離散化，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。2.1.1傅立葉變換的意義及各種變換對(duì)利用“三角函數(shù)和”的概念來(lái)描述周期性過程至少可以追溯到古代巴比倫人時(shí)代，三角函數(shù)和也即是成諧波關(guān)系的正弦和余弦或周期復(fù)指數(shù)函數(shù)的和。這些成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)在LTI系統(tǒng)分析中變得十分有用：如果一個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入可以表示為周期復(fù)指數(shù)的線性組合，則輸出也一定能表示

4、成這種形式，并且輸出線性組合中的加權(quán)系數(shù)與輸入中對(duì)應(yīng)的系jw數(shù)有關(guān)，如圖2.1所示，x(n)表示輸入或者激勵(lì)，y(n)表示系統(tǒng)輸出或者響應(yīng)，H(e)表示系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的頻率響應(yīng)。x(n)y(n)x(n)y(n)jwjwH(e)H(e)ejw0njw0jw0nAejwknAH(ejwk)ejwknH(e)e∑k∑kkk圖2.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)在研究LTI系統(tǒng)時(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)的重要性就體現(xiàn)在圖2.1中：一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)也是同樣一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的只是乘了一個(gè)復(fù)振幅因子H(ejwk)，頻率并沒有發(fā)生變化，由于是復(fù)數(shù)因子，就有了

5、幅度和相位或者實(shí)部和虛部的變化。表2.1簡(jiǎn)要地綜合了連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換表達(dá)式，有時(shí)候?yàn)榱私y(tǒng)一，也把周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示利用單位脈沖序列或單位沖激函數(shù)表示成傅立葉變換。表2.1各種信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉變換+∞~jwkt1+∞jwtx(t)=∑ae0x(t)=X(jw)edtk∫時(shí)域k=?∞2π?∞時(shí)域是連續(xù)非周期的時(shí)域是連續(xù)周期的a=1~x(t)e?jw0ktdt+∞?jwtk∫X(jw)=∫xt)(edtTT0?∞頻域0頻域是連續(xù)非周期的頻域是離散非周期的~x(n)=a~ejk2(π/N)n1jwjwn∑

6、kx(n)=∫X(e)edwk=(N)2π時(shí)域2π時(shí)域是離散周期的時(shí)域是離散非周期的+∞a~=1~x(n)e?jk2(π/N)njw?jwnk∑X(e)=∑x(n)e頻域Nn=(N)n=?∞頻域是離散周期的頻域是連續(xù)周期的從表2.1可以發(fā)現(xiàn)傅立葉變換在LTI系統(tǒng)分析中的思想，就是把一個(gè)無(wú)論多復(fù)雜的輸入信號(hào)分解成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，那么系統(tǒng)的輸出也能通過圖2.1的關(guān)系表達(dá)成相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，并且在輸出中的每一個(gè)頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)上乘以系統(tǒng)在那個(gè)頻率的頻率響應(yīng)值。系數(shù){a}稱為信號(hào)~x(t)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)或線譜等；X(jw)稱為x(t)的kjw

7、頻譜；X(e)也稱為x(n)的頻譜。作為線性組合所取的形式從求和過渡到積分，就是利用傅立葉的思想，一個(gè)非周期信號(hào)可以看成是周期無(wú)限長(zhǎng)的周期信號(hào)，當(dāng)周期增加時(shí)，基頻w0越小，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上越來(lái)越近，當(dāng)周期變得無(wú)窮大時(shí)，離散的線譜就形成了一個(gè)連續(xù)譜，也就從求和變成了積分。從表2.1中時(shí)域和頻域的關(guān)系還能得到如下規(guī)律：時(shí)域的離散必然導(dǎo)致頻域的周期化，頻域的離散必然導(dǎo)致時(shí)域的周期化。簡(jiǎn)單的說，就是一個(gè)域離散必然另外一個(gè)域周期，相反的，如果一個(gè)域連續(xù)必然另外一個(gè)域是非周期的。掌握了這個(gè)規(guī)律，我們很快就能判斷出一個(gè)信號(hào)在頻域的表現(xiàn)形式。2.1.2離散傅立葉變

8、換（DFT）表2.1中給的四對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換