《傅里葉級(jí)數(shù) Fourier Series》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、傅里葉級(jí)數(shù)FourierSeries法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?，后世稱傅里葉級(jí)數(shù)為一種特殊的三角級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。1來源法國數(shù)學(xué)家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時(shí)提出。從而極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級(jí)數(shù)與多元傅里葉級(jí)數(shù)。他首先證明多元三角級(jí)數(shù)球形和的唯一性定理，并揭示了

2、多元傅里葉級(jí)數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級(jí)數(shù)曾極大地推動(dòng)了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學(xué)物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。2公式給定一個(gè)周期為T的函數(shù)，那么它可以表示為無窮級(jí)數(shù)：（1）其中，j為虛數(shù)單位，可以按下式計(jì)算：（2）注意到是周期為T的函數(shù)，故k取不同值時(shí)的周期信號(hào)具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個(gè)共同周期T）。k=0時(shí)，（1）式中對(duì)應(yīng)的這一項(xiàng)稱為直流分量，k=1時(shí)具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等。3性質(zhì)收斂性傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級(jí)數(shù)

3、都收斂。狄利赫里條件如下：在任何周期內(nèi)，須絕對(duì)可積；在任一有限區(qū)間中，只能取有限個(gè)最大值或最小值；在任何有限區(qū)間上，只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。吉布斯現(xiàn)象：在的不可導(dǎo)點(diǎn)上，如果我們只?。?）式右邊的無窮級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)作和，那么在這些點(diǎn)上會(huì)有起伏。一個(gè)簡單的例子是方波信號(hào)。正交性所謂的兩個(gè)不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個(gè)向量之間沒有任何相關(guān)性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實(shí)上，正交是垂直在數(shù)學(xué)上的的一種抽象化和一般化。一組n個(gè)互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個(gè)

4、n維空間，也就是說，空間中的任何一個(gè)向量可以用它們來線性表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：奇偶性奇函數(shù)；可以表示為正弦級(jí)數(shù)，而偶函數(shù)；則可以表示成余弦級(jí)數(shù)：只要注意到歐拉公式：，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級(jí)數(shù)的公式中導(dǎo)出。廣義傅里任何正交函數(shù)系，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x）只具有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那么如果f(x）滿足封閉性方程：（4）那么級(jí)數(shù)（5）必然收斂于f(x），其中：（6）事實(shí)上，無論（5）時(shí)是否收斂，我們總有：成立，這稱作貝塞爾(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推

5、出的，因?yàn)閷?duì)于任意的單位正交基，向量x在上的投影總為。