《關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的探究---》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的探究姓名：***學(xué)號(hào)：20074051****指導(dǎo)教師：***摘要:本文對(duì)泰勒公式及其在高等數(shù)學(xué)上的幾個(gè)重要應(yīng)用與技巧進(jìn)行了探究，比如在求極限、近似計(jì)算、等式和不等式的證明、求某點(diǎn)處函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、研究函數(shù)性質(zhì)以及求行列式值等上的應(yīng)用.其中每一應(yīng)用都給出了相應(yīng)的實(shí)例，這樣有助于我們加深對(duì)每一應(yīng)用的理解與掌握，進(jìn)而能夠很好地把泰勒公式這一多功能數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到解題過程中.關(guān)鍵詞:泰勒定理麥克勞林公式應(yīng)用StudyontheTaylorformulaanditsapplicationAbstract:Thispapermakeresearchesi

2、nTaylorformulaandseveralimportantapplicationsandskillsinhighermathematics,suchascalculationoflimit,approximatecalculation,proofofequationandinequality,solutionsoffunctionofhigher-orderderivative,studyofpropertiesoffunction,thevalueofdeterminantapplication,etc.Eachoftheseapplicationsaregi

3、venthecorrespondinginstance,andthishelpsustodeepentheunderstandingofeachapplication,thenwecanputthemulti-functionmathematicaltoolsofTaylorformulaintoapplicationofproblem-solvingprocess.KeyWords:Taylor’stheorem;Maclaurin`sformula;application.1.引言我們知道只能使用加、減、乘三種運(yùn)算的多項(xiàng)式是初等函數(shù)里最簡(jiǎn)單的函數(shù),可想而之知假如能用

4、多項(xiàng)式函數(shù)初近似代替初等超越函數(shù)、無理函數(shù)以及有理分式函數(shù)，并且又在誤差允許范圍內(nèi)的情況下，那么這將對(duì)函數(shù)值的近似計(jì)算以及函數(shù)性態(tài)的研究都有著很是重要的意義.由此想到一個(gè)函數(shù)在滿足什么樣條件下才能使用多項(xiàng)式函數(shù)來近似代替呢？所求函數(shù)與替代它的多項(xiàng)式函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系如何呢？?jī)烧咧g的誤差又將怎么樣呢？學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析，我們了解到泰勒公式恰好是利用了一種叫“無限逼近”思想近似地把某些繁雜的函數(shù)表示成了簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),掌握了這種化繁為簡(jiǎn)的思想對(duì)于我們分析和研究其他數(shù)學(xué)問題就像搬運(yùn)重物時(shí)使用的一個(gè)有力杠桿.132.研究?jī)?nèi)容2.1預(yù)備知識(shí)2.1.1泰勒公式（1）帶有佩亞諾（P

5、eano）型余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)于一個(gè)函數(shù)若能滿足以下兩個(gè)條件：①在點(diǎn)的某領(lǐng)域有直到階的連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)；②存在.則可以表示為：（2）帶有拉格朗日（Lagrange）型余項(xiàng)的泰勒公式我們知道對(duì)于帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,需要引起注意的有兩點(diǎn)：其一，適用范圍很小，它只適用于那些“自變量必須充分接近于點(diǎn)”的函數(shù)，即帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式只“在小范圍內(nèi)”刻畫了函數(shù)；由此我們更想“在大范圍內(nèi)”也能那樣做；其二，得到的誤差也應(yīng)該有清晰、明確的表達(dá)式，那樣才便于我們求解.從這以上兩個(gè)方面做進(jìn)一步的研究，我們很容易得到一下的結(jié)果：①函數(shù)在閉區(qū)間上有直到階的連續(xù)函數(shù)；②函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有階

6、導(dǎo)數(shù).則對(duì)于,至少存在一點(diǎn)，使得泰勒定理又稱泰勒中值定理，上式即稱作在點(diǎn)處泰勒公式，13稱為在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，稱為在點(diǎn)處泰勒公式的余項(xiàng)，另外若在時(shí)，泰勒定理即為拉格朗日中值定理.泰勒公式在時(shí)又變?yōu)樯鲜椒Q作(帶有拉格朗日型余項(xiàng)的)麥克勞林公式.2.1.2常見簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒展開式及其應(yīng)用2.1.2.1常見簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒展開式（1）（2）（3）（4）（5）（6）132.1.2.2簡(jiǎn)單應(yīng)用例1求下列函數(shù)的階展開(1)（2）解:（1)因?yàn)?，所以?)由于又，所以求函數(shù)的展開式關(guān)鍵是求出高階導(dǎo)數(shù)并寫出余項(xiàng)，可以用前面求高階導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、方法和技巧來完成.這種間接法展開則是一種常用方

7、法，結(jié)合給出的展開式、四則運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算就可解決，這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.132.2泰勒公式常見的一些應(yīng)用2.2.1在求極限上的應(yīng)用很多時(shí)候我們需要對(duì)極限進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算,而這時(shí)如果我們?cè)囍锰├照归_式來代替原來的難以化簡(jiǎn)的單項(xiàng)式,使其轉(zhuǎn)變?yōu)轭愃贫囗?xiàng)式的有理式極限,或許就能起到事半功倍的效果。比如下面的例子：例2.求極限.分析：上式是型的極限,可用我們學(xué)習(xí)過得洛必達(dá)法則這種常用求解極限的方法來求解此題，但顯然過程復(fù)雜不易求解,若將、兩者分別運(yùn)用泰勒公式展開,則就能化簡(jiǎn)此比式型極限.解：由，用代替2.1.2.1節(jié)公式（1）中的，便得則得極限在利