《《高二數(shù)學(xué)幾何概型》PPT課件》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、3．3幾何概型3．3.1幾何概型1．幾何概型的概念與計(jì)算公式(1)如果事件A可以理解為區(qū)域Ω的一個(gè)子區(qū)域．事件A發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概型．(2)在幾何概型中，設(shè)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)為μΩ，構(gòu)成事件A的區(qū)域的幾何度量為μA，則事件A的概率為P(A)＝.2．幾何概型的特點(diǎn)(1)，在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)，每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的．3．古典概型與幾何概型的區(qū)別古典概型與幾何概型中基

2、本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有個(gè)，幾何概型的基本事件有個(gè)．無(wú)限性等可能性有限無(wú)限多重點(diǎn)：幾何概型的概念及應(yīng)用．難點(diǎn)：幾何概型的判斷與計(jì)算．1．在古典概型中利用等可能性的概念，成功地解決了某一類問題的概率．不過，古典概型要求可能結(jié)果的總數(shù)必須有限．我們希望能把這種做法推廣到無(wú)限多結(jié)果而又有某種等可能性的場(chǎng)合，得到隨機(jī)事件的概率，這便是幾何概型所能解決的問題．對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果我們將每個(gè)基本事件理解為從某特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，則這個(gè)區(qū)域就是所有基本事件構(gòu)成的集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域，如果該區(qū)域內(nèi)

3、的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而事件A的發(fā)生則可以理解為恰好取上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，這里的區(qū)域可以是線段，也可以是平面圖形、立體圖形，這樣我們就把隨機(jī)事件與幾何區(qū)域聯(lián)系在一起了．如圖事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，事件A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積與體積)成正比，滿足上述條件的試驗(yàn)稱為幾何概型．2．幾何概型作為一種概率模型有兩個(gè)特點(diǎn)：無(wú)限性和等可能性．幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的，都屬于“比例算法”，即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的圖形的長(zhǎng)度(面積或體

4、積)”與“試驗(yàn)的所有基本事件組成的集合所占的總長(zhǎng)度(面積或體積)”的比來表示．它的特征是在一區(qū)域內(nèi)均勻分布，其概率只與區(qū)域的大小有關(guān)，而與區(qū)域的位置與形狀無(wú)關(guān)，如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積都是0，則它發(fā)生的概率為0，但它不是不可能事件；如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它發(fā)生的概率為1，但它不是必然事件，這是幾何概型與古典概型的重要區(qū)別．我們?cè)诮鉀Q幾何概率問題時(shí)和古典概型的基本思路、步驟是一致的，計(jì)算方法上主要搞清：(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型．(2)與面積有關(guān)的幾何概型．(3

5、)與體積有關(guān)的幾何概型．3．計(jì)算幾何概率就要先計(jì)算基本事件空間與事件A所包含的基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)，而這往往遇到計(jì)算困難，這是本節(jié)難點(diǎn)之一．實(shí)際上本節(jié)的重點(diǎn)不在于計(jì)算，而在于如何利用幾何概型，把問題轉(zhuǎn)化為各種幾何概率問題，為此可考慮應(yīng)用如下方法：(1)適當(dāng)選擇觀察角度；(2)把基本事件空間轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域；(3)把事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域；(4)如果事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域不好處理，可以用對(duì)立事件概率公式逆向思維；(5)利用概率公式計(jì)算．同時(shí)要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴(yán)謹(jǐn)思維，切忌

6、想當(dāng)然，需要從問題的實(shí)際背景中去判斷．[例1](1)如圖有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤上每個(gè)扇形的面積都相等，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向A區(qū)域(陰影部分)時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，在(a)(b)兩種情形下，甲獲勝的概率分別是多少？(2)取一根長(zhǎng)度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，求剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1米的概率．[解析](1)在玩轉(zhuǎn)盤時(shí)，指針指向轉(zhuǎn)盤上任一位置都是隨機(jī)的等可能的，也就是說試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)，而且每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的，因而甲獲勝的概率只與字母A所在扇形區(qū)域的圓弧長(zhǎng)度有關(guān)，

7、而與字母A所在區(qū)域的位置無(wú)關(guān)，只要字母A所在扇形區(qū)域的圓弧長(zhǎng)度不變，不管這些區(qū)域是相鄰還是不相鄰，甲獲勝的概率都是不變的．(2)從每一個(gè)位置剪斷繩子，都是一個(gè)基本事件，剪斷位置有無(wú)窮多點(diǎn)，∴基本事件有無(wú)限多個(gè)，而且每一個(gè)基本事件都是等可能的，因此事件發(fā)生的概率只與剪斷的繩子的長(zhǎng)度有關(guān)．設(shè)事件A＝“剪成兩段的長(zhǎng)都不小于1米”，把繩子三等分，當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)事件A發(fā)生，而中間一段長(zhǎng)度μA＝1，又μΩ＝3，[例2]如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT為60°角的終邊，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任作一條射線OA，求射線OA落在

8、∠xOT內(nèi)的概率．[解析]以O(shè)為起點(diǎn)作射線OA是隨機(jī)的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．設(shè)事件A＝“射線OA落在∠xOT內(nèi)”．事件A的幾何度量是60°，區(qū)域Ω的幾何度量是360°，所以，由幾何概率公式得P(A)[點(diǎn)評(píng)]角度型幾何概型實(shí)質(zhì)上仍然是長(zhǎng)度型幾何概型．在圓心角為90°的扇形中，以圓