《微積分同步輔導(dǎo)與考研指南》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、第五章不定積分一．內(nèi)容提要：1.不定積分的概念、性質(zhì)：l原函數(shù)的定義：若定義在區(qū)間I上的函數(shù)以及可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系：對(duì)于任意，都有，則稱為在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).l原函數(shù)存在定理：如果在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)，使任意，都有.簡(jiǎn)單地說就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).l不定積分的定義：在區(qū)間I上，函數(shù)的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間I上的不定積分，記作：，則l不定積分的幾何意義：不定積分在幾何上表示積分曲線族l不定積分的性質(zhì)：2.不定積分的求法：l換元積分法：第一類換元積分法（又叫湊微分法）：設(shè)具有原函數(shù)，即看和沒有湊之前相等不相等，如果不相等也僅差一

2、個(gè)符號(hào)或者常數(shù).第二類換元積分法：設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且，又設(shè)228具有原函數(shù)，則有換元法：其中是的反函數(shù).也就是說，給出的不定積分不會(huì)求，這時(shí)我們引入變量代換，化成就可以求出了，求出的原函數(shù)用的反函數(shù)代換即可.在第二換元積分法中最簡(jiǎn)單、最常見的是三角代換和倒代換，我們?cè)诘湫屠}中說明這兩種情形.l分部積分法：降次法：也就是被積函數(shù)由多項(xiàng)式與三角函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)的積的形式出現(xiàn)，設(shè)多項(xiàng)式為u.轉(zhuǎn)換法：也就是被積函數(shù)是多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)的積的形式，設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)為u.循環(huán)法：也就是被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正弦(或余弦)函數(shù)的積時(shí)，兩

3、個(gè)函數(shù)任選一個(gè)作為u，積分一次再積分一次，第一次選哪種類型數(shù)作為u,第二次用分部積分法時(shí)還選那類函數(shù)作為u，積分后移項(xiàng)即可.遞推法：被積函數(shù)是某一簡(jiǎn)單函數(shù)的高次冪，利用一次分部積分法，使冪降一次，連續(xù)積分即可，這種方法叫遞推法.l有理函數(shù)的積分：被積函數(shù)是有理函數(shù)的形式，將被積函數(shù)分解成部分分式的形式，再積分.l不定積分積分公式：228一．典型例子解析：例1.求下列不定積分：例2.求下列不定積分：228例1.求下列不定積分：228例1.求下列不定積分：228例1.利用到代換求：228例1.例2.求下列不定積分：228228一．本章習(xí)題全解習(xí)題5-1

4、1.求下列不定積分：2282282281.一曲線通過點(diǎn),且在任意一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求曲線的方程。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：.將曲線的方程為2.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t的函數(shù)(a,b為常數(shù))，設(shè)此產(chǎn)品的產(chǎn)量為函數(shù)，且，求.解:根據(jù)題意：習(xí)題5-21.求下列不定積分：228228228利用輔助三角形228利用輔助三角形2282281.用指定的換元法求下列不定積分：228習(xí)題5-31.求下列不定積分：2282281.利用指定的變量代換求下列不定積分：228習(xí)題5-41.計(jì)算下列積分：228228228總復(fù)習(xí)五1.求下列不定積分（其

5、中a、b是常數(shù)）：228228.2282282282282281.設(shè)某商品的需求函數(shù)Q是單價(jià)p的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000（即p=0時(shí)Q=1000）,已知需求量的變化率為，求需求量關(guān)于價(jià)格的彈性.一．考研真題精選：1.（89.數(shù)四，3分）下列等式中正確的結(jié)果是：（A）2.（89.數(shù)四，5分）求不定積分2281.（90.5分）求下列不定積分解：被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，因此在求不定積分時(shí)考慮用分部積分法.2.（91.5分）求不定積分.解：本題和90年的題目類似，求不定積分時(shí)考慮用分部積分法.3.（92.8分）解:被積函數(shù)含有反三角函數(shù)

6、，考慮用分部積分法.4.（93年，3分）.2281.（94年,6分）.2.（95年，6分）求不定積分.解:連續(xù)兩次運(yùn)用分部積分法：3.（96年，3分）設(shè)4.（98年，3分）.2281..2.（00年，3分）2281.（02年，6分）設(shè)2.(02年，3分)已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，則.綜上，考生在復(fù)習(xí)中要熟練掌握以下幾點(diǎn)：①熟練掌握不定積分的基本積分公式。②熟練掌握不定積分的換元積分法，特別是第一類換元積分法（又叫湊微分法）湊微分比較靈活，需做大量的習(xí)題才行。特別是各種類型題目做夠做好，總結(jié)到位。③分部積分法在考研中經(jīng)常用到，這種方法要熟練掌握，在利用

7、分部積分法時(shí)，那個(gè)函數(shù)作為u是關(guān)鍵。第五章定積分及其應(yīng)用一．內(nèi)容提要1.定積分的概念：l定積分的定義：設(shè)函數(shù)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)：把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度是，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，，做乘積（228做近似值l可積的條件：①在區(qū)間[a,b]上連續(xù)一定可積；②在區(qū)間[a,b]上有界，且有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在區(qū)間[a,b]上一定可積.l定積分的幾點(diǎn)說明：①定積分的值與區(qū)間有關(guān)；②定積分與積分變量無關(guān).即l定積分的幾何意義：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)在[a,b]上既有正值又有負(fù)值時(shí)：2.定積分的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2

8、：性質(zhì)3：（定積分對(duì)區(qū)間具有可加性）設(shè)性質(zhì)4：228性質(zhì)5：性質(zhì)6：推論：性質(zhì)7：設(shè)M、m分別是在區(qū)間[a,b]上的最大值