《數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題羅增儒引言數(shù)論的認(rèn)識(shí)：數(shù)論是關(guān)于數(shù)的學(xué)問(wèn)，主要研究整數(shù)，重點(diǎn)對(duì)象是正整數(shù)，對(duì)中學(xué)生可以說(shuō)，數(shù)論是研究正整數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支．什么是正整數(shù)呢？人們借助于“集合”和“后繼”關(guān)系給正整數(shù)（當(dāng)時(shí)也即自然數(shù)）作過(guò)本質(zhì)的描述，正整數(shù)1，2，3，…是這樣一個(gè)集合：（1）有一個(gè)最小的數(shù)1．（2）每一個(gè)數(shù)的后面都有且只有一個(gè)后繼數(shù)；除1之外，每一個(gè)數(shù)的都是且只是一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)．這個(gè)結(jié)構(gòu)很像數(shù)學(xué)歸納法，事實(shí)上，有這樣的歸納公理：（3）對(duì)的子集，若，且當(dāng)時(shí)，有后繼數(shù)，則．就是這么一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)集，里面卻有無(wú)窮無(wú)盡的奧秘，有的奧秘甚至使得人們懷疑：人類的智慧還沒有成熟到解決它的程度．比如

2、，哥德巴赫猜想：1742年6月7日，普魯士派往俄國(guó)的一位公使哥德巴赫寫信給歐拉，提出“任何偶數(shù)，由4開始，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)和的形式，任何奇數(shù)，由7開始，都可以表示為三個(gè)素?cái)?shù)的和．后者是前者的推論，也可獨(dú)立證明（已解決）．“表示為兩個(gè)素?cái)?shù)和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，簡(jiǎn)稱1+1．歐拉認(rèn)為這是對(duì)的，但證不出來(lái)．1900年希爾伯特將其歸入23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè)問(wèn)題．1966年陳景潤(rùn)證得：一個(gè)素?cái)?shù)+素?cái)?shù)素?cái)?shù)（1+2），至今仍無(wú)人超越．●陳景潤(rùn)的數(shù)學(xué)教師沈元很重視利用名人、名言、名事去激勵(lì)學(xué)生，他曾多次在開講時(shí)，說(shuō)過(guò)這樣的話:“自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論，哥德巴赫猜想則是

3、皇冠上的明珠．……”陳景潤(rùn)就是由此而受到了啟示和激勵(lì)，展開了艱苦卓絕的終生奮斗和燦爛輝煌的奮斗終生，離摘取“皇冠上的明珠”僅一步之遙．●數(shù)論題涉及的知識(shí)不是很多，但用不多的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題往往就需要較強(qiáng)的能力和精明多的技巧，有人說(shuō)：用以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論教材更好的課程了．任何學(xué)生如能把當(dāng)今一本數(shù)論教材中的練習(xí)做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，勸他（她）將來(lái)去從事數(shù)學(xué)方面的工作（U．Dudley《數(shù)論基礎(chǔ)》前言）．下面，是一個(gè)有趣的故事．當(dāng)代最高產(chǎn)的數(shù)學(xué)家厄爾多斯聽說(shuō)一個(gè)叫波薩（匈牙利，1948）的小男孩很聰明，就問(wèn)了他一個(gè)問(wèn)題加以考察（1959）：如果你手頭上有個(gè)正整數(shù)，

4、這些正整數(shù)小于或等于，那么你一定有一對(duì)整數(shù)是互素的，你知道這是什么原因嗎？不到12歲的波薩只用了1分半鐘，就給出了問(wèn)題的解答．他將1～分成（1，2），（3，4），…，（）共個(gè)抽屜，手頭的個(gè)正整數(shù)一定有兩個(gè)屬于同一抽屜，這兩個(gè)數(shù)是相鄰的正整數(shù)，必定互素．通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，厄爾多斯認(rèn)定波薩是個(gè)難得的英才，就精心加以培養(yǎng)，不到兩年，14歲的波薩就發(fā)表了圖論中“波薩定理”．●重視數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已經(jīng)廣泛采用數(shù)論題目，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽四大支柱47之一，四大支柱是：代數(shù)，幾何，初等數(shù)論，組合初步（俗稱代數(shù)題、幾何題、算術(shù)題和智力題）．高中競(jìng)賽加試四道題正好是四大模塊各一題，分別是幾何題、代數(shù)題、數(shù)

5、論題、組合題，一試中也會(huì)有數(shù)論題．?dāng)?shù)論受到數(shù)學(xué)競(jìng)賽的青睞可能還有一個(gè)技術(shù)上的原因，就是它能方便地提供從小學(xué)到大學(xué)各個(gè)層面的、新鮮而有趣的題目．?dāng)?shù)論題的主要類型：在初中競(jìng)賽大綱中，數(shù)論的內(nèi)容列有：十進(jìn)制整數(shù)及表示方法；整除性，被2、3、4、5、8、9、11等數(shù)整除的判定；素?cái)?shù)和合數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)；奇數(shù)和偶數(shù)，奇偶性分析；帶余除法和利用余數(shù)分類；完全平方數(shù)；因數(shù)分解的表示法，約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算；簡(jiǎn)單的一次不定方程．在高中競(jìng)賽大綱中，數(shù)論的內(nèi)容列有：同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余類，二次剩余，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無(wú)窮遞降法，歐拉定理，

6、孫子定理．根據(jù)已出現(xiàn)的試題統(tǒng)計(jì)，中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題的主要有8個(gè)重點(diǎn)類型：（1）奇數(shù)與偶數(shù)（奇偶分析法、01法）；（2）約數(shù)與倍數(shù)、素?cái)?shù)與合數(shù)；（3）平方數(shù)；（4）整除；（5）同余；（6）不定方程；（7）數(shù)論函數(shù)、高斯函數(shù)、歐拉函數(shù)；（8）進(jìn)位制（十進(jìn)制、二進(jìn)制）．下面，我們首先介紹數(shù)論題的基本內(nèi)容（10個(gè)定義、18條定理），然后，對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題作分類講解．47第一講數(shù)論題的基本內(nèi)容中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題涉及的數(shù)論內(nèi)容主要有10個(gè)定義、18條定理．首先約定，本文中的字母均表示整數(shù)．定義1（帶余除法）給定整數(shù)如果有整數(shù)滿足，則和分別稱為除以的商和余數(shù)．特別的，時(shí)，則稱

7、被整除，記作，或者說(shuō)是的倍數(shù)，而是的約數(shù)．（的存在性由定理1證明）定義2（最大公約數(shù)）設(shè)整數(shù)中至少有一個(gè)不等于零，這個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是能整除其中每一個(gè)整數(shù)的最大正整數(shù)，記作．中的沒有順序，最大公約數(shù)也稱最大公因數(shù)．簡(jiǎn)單性質(zhì)：．一個(gè)功能：可以把對(duì)整數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)非負(fù)整數(shù)的研究．定義3（最小公倍數(shù)）非零整數(shù)的最小公倍數(shù)是能被其中每一個(gè)所整除的最小正整數(shù)，記作．簡(jiǎn)單性質(zhì)：如果是正整數(shù)的公倍數(shù)，則存在正整數(shù)使證明　若不然，有（），由都是的公倍數(shù)得也是的公倍數(shù)，但，與的最小性矛盾．故．定