《黎曼積分與勒貝格積分比較》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、畢業(yè)論文題目黎曼積分與勒貝格積分的比較學(xué)院****************姓名****專業(yè)班級(jí)********學(xué)號(hào)*********指導(dǎo)教師提交日期..原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名：年月日論文指導(dǎo)教師簽名：年月日..黎曼積分與勒貝格積分的比較摘要本文介紹了黎曼積分和勒貝

2、格積分的概念，通過對(duì)兩類積分的基本性質(zhì)，可積條件,結(jié)合相關(guān)定理，分析了勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處，并結(jié)合具體實(shí)例，具體說明了黎曼積分和勒貝格積分之間的聯(lián)系與區(qū)別.關(guān)鍵字黎曼積分；勒貝格積分；比較；可測(cè)函數(shù)；可積函數(shù)...目錄引言11定義11.1黎曼積分的定義11.2勒貝格積分的定義22黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì)22.1黎曼積分的基本性質(zhì)22.2勒貝格積分的基本性質(zhì)33黎曼可積與勒貝格可積的條件43.1黎曼可積的條件43.2勒貝格可積的條件54相關(guān)定理54.1與勒貝格積分有關(guān)的定理

3、54.2與黎曼積分有關(guān)的定理65黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系66黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別87實(shí)例10總結(jié)11參考文獻(xiàn)12致謝13....黎曼積分與勒貝格積分的比較引言勒貝格積分相對(duì)于黎曼積分要遲發(fā)展了半個(gè)世紀(jì).我們知道，黎曼積分在求積、物體質(zhì)心、矩量等問題中起著重要作用.黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù)，就從數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序，牛頓-萊布尼茨公式等來看，在黎曼積分情形所加條件，沒有勒貝格積分情形那樣方便.而用勒貝格積分處理這一類問題是相當(dāng)靈活的.事實(shí)上，如果不用

4、勒貝格測(cè)度概念，數(shù)學(xué)分析中的一些道理很難講清楚.下面就具體比較一下勒貝格積分和黎曼積分的不同處理方法.1定義1.1黎曼積分的定義設(shè)在上有定義1）作劃分.在上添加個(gè)分點(diǎn)得到，將分成個(gè)小區(qū)間，記小區(qū)間的長(zhǎng)度為.2）取近似.任取點(diǎn)，用底為，高為的矩形面積近似代替小的曲邊梯形的面積.3）求和.這些小矩形面積之和為.4）取極限.令，當(dāng)時(shí)，極限存在.則稱在上黎曼可積，且有..1.2勒貝格積分的定義設(shè)是有界可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)1）(簡(jiǎn)單函數(shù)的積分)設(shè)上簡(jiǎn)單函數(shù)，其中等為互不相交的可測(cè)集，等互異，表示的特征函數(shù).和為簡(jiǎn)單函數(shù)在上的積分，并

5、記為2）(非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分)取簡(jiǎn)單函數(shù)滿足，另變動(dòng)，定義在上積分為如果此量為有限，則稱在上可積，否則只說在上積分為（這時(shí)在上有積分但不可積）.3)（一般可測(cè)函數(shù)的積分）對(duì)于一般可測(cè)函數(shù)，當(dāng)與不同時(shí)為時(shí)，定義在上的積分為當(dāng)此式右端兩項(xiàng)均為有限項(xiàng)時(shí)，的積分是有限的，稱在上可積.2黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì)2.1黎曼積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1若在上黎曼可積，為常數(shù)，則在上黎曼可積，且.性質(zhì)2若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且...性質(zhì)3若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積.性質(zhì)4在上黎曼可積的充要條件是:任給，在與都黎曼

6、可積，且有等式.性質(zhì)5設(shè)為上的黎曼可積函數(shù).若，，則.性質(zhì)6若在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且.2.2勒貝格積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，，等均可測(cè)且兩兩不相交，則有.性質(zhì)2設(shè)在有界可測(cè)集上可積，則對(duì)任意正數(shù)，有正數(shù)，使當(dāng)時(shí)就有.性質(zhì)3設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，，等均可測(cè)且兩兩不相交，則.性質(zhì)4設(shè)在上可積，則對(duì)任何實(shí)數(shù)，也可積，且.性質(zhì)5設(shè)在，上均可積,則也可積，且...性質(zhì)6設(shè)在，上均可積,且，則.3黎曼可積與勒貝格可積的條件3.1黎曼可積的條件充分條件：1、若為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則在上黎曼可積

7、.2、若為定義在上的只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上黎曼可積.3、若為定義在上的單調(diào)函數(shù)，則在上黎曼可積.4、若為定義在上的有界函數(shù)，是的間斷點(diǎn)，且，則在上黎曼可積.充要條件：設(shè)在上有界1、在上黎曼可積的充要條件是：在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即設(shè)為對(duì)的任意分割.由在上有界，它在每個(gè)上存在上、下確界：，作和，，則有.2、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的一個(gè)分割，使得...3、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的某一分割，使得（其中，稱為在上的振幅）.必要條件：若函數(shù)在上黎曼可積，則在上必定有界.

8、3.2勒貝格可積的條件充分條件：1、若是有界可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則在上勒貝格可積.2、若可測(cè)函數(shù)，在可測(cè)集上幾乎處處滿足，則當(dāng)可積時(shí)，也可積.3、設(shè)為定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，若黎曼可積，則必然勒貝格可積.充要條件：1、設(shè)是可測(cè)集上的有界函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測(cè).2、設(shè)是可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)