《高中數(shù)學(xué)解題思路與技巧》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、~《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略第一講數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性——善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：（1）善于觀察心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的

2、具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和.這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為，這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程的兩個(gè)根，所以或.

3、可見，聯(lián)想可使問題變得簡(jiǎn)單。（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?！ぁ可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知,,求證、、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法

4、解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。二、思維訓(xùn)練實(shí)例（1）觀察能力的訓(xùn)練雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1已知都是實(shí)數(shù)，求證思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的

5、距離公式很相似，而xyO圖1－2－1左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明不妨設(shè)如圖1－2－1所示，則在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。因此，思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。例2已知，試求的最大值。解由得··~又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思路分析

6、要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：由得當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例2已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖1－2－2思路分析由已知條件可知，在與左右等距離

7、的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。解（如圖1－2－2）由，知是以直線為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。（1）聯(lián)想能力的訓(xùn)練例3在中，若為鈍角，則的值··~(A)等于1(B)小于

8、1(C)大于1(D)不能確定思路分析此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面