《離散數(shù)學(xué)第三章 集合論》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、第三章集合論離散數(shù)學(xué)陳志奎主編人民郵電出版社集合論的創(chuàng)立與康托爾的遭遇19世紀(jì)末期，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了一件引人注目的事情。一位名叫格奧爾格·康托爾（G.Cantor，1845－1918）的德國數(shù)學(xué)家提出一種令人費解的古怪理論----集合論。它的內(nèi)容是如此與常識格格不入，以致于一出世就引起了一場軒然大波。集合論的創(chuàng)立與康托爾的遭遇自從17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分理論體系之后，在近一二百年時間里，微積分理論一直缺乏一個嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。出于這一目的，康托爾用集合的觀點重新考察各種數(shù)量關(guān)系，特別是無窮數(shù)量關(guān)系。在無窮的世界里，整體的所有元素和部分的所有

2、元素之間可以是一一對應(yīng)的。另外，無窮集合并不都是相等的，比如所有實數(shù)和所有有理數(shù)之間就不是一一對應(yīng)的。因而，無窮集合是有大小的。集合論用“基數(shù)”這個概念來表示無窮集合間的區(qū)別。集合論的創(chuàng)立與康托爾的遭遇康托爾的研究成果發(fā)表之后，遭到了德國數(shù)學(xué)家克隆尼克的激烈攻擊?！吧系蹌?chuàng)造了自然數(shù)，其余的一切才是人做的工作”集合論的創(chuàng)立與康托爾的遭遇法國數(shù)學(xué)家彭加勒說：“我個人，而且還不只我一人，認(rèn)為重要之點在于，切勿引進(jìn)一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當(dāng)作一個有趣的“病理學(xué)的情形”來談，并且預(yù)測說：“后一代將把（Cantor）集合論當(dāng)作

3、一種疾病，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過來了”。德國數(shù)學(xué)家魏爾認(rèn)為，康托爾關(guān)于基數(shù)的等級觀點是霧上之霧。菲利克斯．克萊因也不贊成集合論的思想。數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲原來是康托爾的好友，但他由于反對集合論而同康托爾斷交公理化集合論的建立在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了。”然而這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。不久，集合論有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。公理化集合論的建立羅素構(gòu)造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R?，F(xiàn)

4、在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。公理化集合論的建立1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論。在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。PART01PART02PART03集合的概念及其表示集合的運算及恒等式有窮集的計數(shù)和包含排斥原理主要內(nèi)容3.1集合的概念及其表示集合是一個不能精確定

5、義的基本概念。一般地說，把具有共同性質(zhì)的一些事物匯集成一個整體，就叫做集合。而這些事物就是這個集合的元素。例如，全體中國人是一個集合，每個中國人都是這個集合的元素；全體自然數(shù)是一個集合，每個自然數(shù)都是這個集合的元素；圖書館的藏書是一個集合，每本書都是這個集合的元素；全國的高校也形成一個集合，每所高校都是這個集合的元素。集合一般用大寫的英文字母表示，集合中的事物，即元素用小寫的英文字母表示。若元素屬于集合，記作，讀作“屬于”；反之，寫作，讀作“不屬于”。一個集合的元素個數(shù)是有限的，則稱作有限集，否則稱作無限集。103.1集合的概念及其表示1．枚

6、舉法：把集合中的元素寫在一個花括號內(nèi)，元素間用逗號隔開。例如：2．構(gòu)造法：構(gòu)造法又叫謂詞法。如果是表示元素x具有某種性質(zhì)P的謂詞，則所有具有性質(zhì)P的元素構(gòu)成了一個集合，記作。顯然，。例如：11集合的表示法3.1集合的概念及其表示集合的元素是彼此不同的，如果同一個元素在集合中多次出現(xiàn)應(yīng)該認(rèn)為是一個元素，如集合的元素是無序的，如但集合中的元素還可以是集合。例如應(yīng)該說明的是，但，同理但。12集合的表示法3.1集合的概念及其表示在本書中定義一些通用的集合的符號，自然數(shù)集合N，整數(shù)集合Z，有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C。為了體系上的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們規(guī)

7、定，對于任何集合A都有。133.1集合的概念及其表示14集合間的關(guān)系3.1集合的概念及其表示15集合間的關(guān)系3.1集合的概念及其表示定理3.1空集是任意集合的子集，即對于任意集合A，有16集合間的關(guān)系3.1集合的概念及其表示定義3.6給定集合A，由集合A的所有子集為元素組成的集合稱為集合A的冪集，記為。例如定理3.2若有限集合A有n個元素，則它的冪集有個元素。17集合間的關(guān)系PART01PART02PART03集合的概念及其表示集合的運算及恒等式有窮集的計數(shù)和包含排斥原理主要內(nèi)容3.2集合的運算及恒等式集合之間的關(guān)系和初級運算可以用文氏圖給予

8、形象的描述。文氏圖的構(gòu)造方法是首先畫一個大矩形表示全集（有時為簡單起見可將全集省略），其次在矩形內(nèi)畫一些圓（或任何其他適當(dāng)?shù)拈]曲線），用圓的內(nèi)部表示集合。不同的圓代